考点9-正弦定理和余弦定理

1、考点 9- 正弦定理和余弦定理考点 9正弦定理和余弦定理1.（2010·天津高考理科· 7）在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别是a,b,c ，若 a2 b23bc ， sin C23 sin B ，则A=()（A） 300（B） 600（C） 1200（D）1500【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。【规范解答】 选 A，根据正弦定理及 sin C2 3 sin B 得：c 2 3bb2 c2 a2 c2(a2c2 ) c23bc3cos A2bc2bc2 ，2bc00 A 1800

2、, A 300。【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。2. （2010·北京高考文科· 7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（A） 2sin2cos2 ；（ B） sin（ C） 3sin（ D） 2sin3 cos33 cos1cos1第2页共11页.【命题立意】本题考查解三角形的相关知识，用到了面积公式、余弦定理等知识。【思路点拨】在等腰三角形中利用余弦定理求出底边，从而班徽的面积等于四个等腰三角形的面积与正方形的面积之和。【规范解答】选A

3、。等腰三角形的底边长为121221 1cos22cos。 所以班徽的面积为4111sin( 22cos)22sin2 2cos。23. （2010·湖南高考理科· 4）在 ABC中，角 A，B，C所对的边长分别为 a,b,c ，若 C=120°，c2a , 则（）A、a>bB 、a<bC 、a=bD、a 与 b 的大小关系不能确定【命题立意】以三角形为依托，以余弦定理为明线，以方程的解为暗线考查学生的运用知识和等价转化的能力。【思路点拨】由余弦定理得到边的二元等量关系，然后从方程的角度消元求解 .【 规 范 解 答 】 选 A. C=120°

4、 ， c2a ， b22222b22a =a +b -2abcos120 °， a =b +ab，（ a ） +a -1=0 ，b51 a =2<1， b<a.【方法技巧】三角形是最简单的平面图形，是中学数学第3页共11页.所学知识最多的图形，在高考中是重点 . 常常考查边角关系，余弦定理和正弦定理，常常结合不等式和方程来解. 尤其是均值不等式的考查 .4. （2010·北京高考理科· 0）在 ABC中，若 b =1，c = 3 ， C2 ，则 a =。3【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。【思路点拨】对C 利用余弦定理，通过解方程可解出a 。【

5、规范解答】 由余弦定 理得， a2122 a 1 cos 23 ，即3a2a 2 0 ，解得 a 1或 2 （舍）。B323C1A【答案】 1【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。5. （2010·广东高考理科· 11）已知 a,b,c 分别是ABC的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 , A+C=2B,则 sinC= .【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用.【思路点拨】由已知条件求出B 、 A 的大小，求出而求出 sin C.【规范解答】C ，从第 4页共11页.由 A+C=2B及 A B C 180得 B 60 ，由正弦定理

6、得13得sin A sin 60sin A1 ，由 a b 知 AB 60，所以 A 30 ，C 180 AB290 ，所以 sin C sin 901.【答案】 16. （2010·山东高考理科· 15）在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a，b，c，若 a2 ， b 2 ， sin B cos B2 ，则角 A 的大小为【命题立意】本题考查了三角恒等变换、 已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】先根据 sin B cos B2 求出 B，再利用正弦定理求出 sin A ，最后求出 A.【规范解答】由 sin B

7、cos B2 得1 2sin B cosB 2，即 sin 2B 1 ，因为 0<B< ，所以 B=45 ，又因为 a2 ， b2 ，所以在 ABC 中，221，又 a<b ，所以 A<B=45 ，由正弦定理得： sin A = sin 45 ，解得 sin A 2所以 A=30 .【答案】 30°或67. （2010·江苏高考· 3）在锐角三角形 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b a6cos C ，则 tan C tan Ca btan A tan B的值是 _。第5 页共11 页.【命题立意】考查三角形中的正

8、、余弦定理以及三角函数知识的应用，等价转化思想。【思路点拨】对条件batan Ctan C采ab6cos C 采用角化边，对 tan Atan B用弦化切并结合正弦定理解决 .【规范解答】b a6cos C6ab cosC a2b2 ， 6ab a2b2 c2a2b2, a2b23c2a b2ab2tan Ctan Csin Ccos B sin Asin Bcos Asin Csin( AB)1sin 2 C由 正tan A tan BcosCsin Asin BcosCsin Asin B cosC sin Asin B弦定理，得：上式1c2c2c24cosC ab1(a22)13c26b

9、62【方法技巧】上述解法采用了解决三角形问题的通性通法，即利用正弦定理和余弦定理灵活实现边角互化。本题若考虑到已知条件和所求结论对于角A、B 和边 a、b具有轮换性，可采用以下方法解决：当A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： cosC12 C1cosC1，tan C23 ， tan21cosC222，1tan Ctan C= 4。tan Atan BC2 ， tan Atan Btan2【答案】 48. （2010·辽宁高考文科· 17）在 ABC 中， a, b, c 分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2 c+b)sinC.第 6页共

10、11页.( ) 求 A的大小；（）若 sin B +sin C=1, 试判断 ABC的形状 .【命题立意】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理和运算求解能力。【思路点拨】 (I) 根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角(II) 利用（ I ）的结论，求出角 B （或角C），判断三角形的形状【规范解答】解：(I)由已知，根据正弦定理得： 2a2 (2b c) (2c b)c 即a2 b2 c2 bc,由余弦定理a2b2c22bc cosA故cosA1 ,又A （0， ）2A 23222(II)由（）中ac及正弦定理可得：Ibbcsin2 Asin 2 Bsin2 C

11、sin Bsin C即：（322B2C sin Bsin C2） sinsin又sinB+sinC=1 得sinB=sinC= 1 20<B<,0<C<,BC33ABC 是等腰的钝角三角形。【方法技巧】利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用 a 替换 sinA ，用 b 替换 sinB, 用 c 替换 sinC 。 sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。第7页共11页.(2) 以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中 B+C60°9. （2010·浙江

12、高考文科· 18）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c,设 S 为 ABC 的面积，满足 S3 ( a2b2c2 ) 。4（）求角 C 的大小；（）求 sin Asin B 的最大值。【命题立意】解析本题主要余弦定理、 三角形面积公式、三角变换等基础知识，同时考查三角运算求解能力。【思路点拨】利用面积公式求角 C，然后利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式化简求最值。【规范解答】( ) 由题意可知1absinC 32abcosC.所以 tan C243 . 因为 0<C<，所以 C 3.（ )由 已 知AB=A-C Asin +sinsin +sin

13、(-)sin A+sin( 2- A)3sin A+ 3 cosA+1 sin A 3 sin( A+ ) 3 . (0A2)2263当 A，即 ABC为正三角形时取等号，所以 sin A+sin B3的最大值是3 .第8页共11页.【方法技巧】求 sin A sin B 时利用 A B2 转化为关于角 A 的3三角函数 y3 sin( A) 的最值问题。610. （2010·辽宁高考理科· 17）在 ABC中， a, b, c分别为内角 A, B, C的对边，且2asin A(2 ac)sin B(2 cb)sin C.（）求 A 的大小；（）求 sin BsinC 的最

14、大值 .【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。【思路点拨】（I ）根据正统定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定理求角（ II ）由（I ）知角 C60°-B 代入 sinB+sinC中，看作关于角 B 的函数，进而求出最值【 规范解答】（）由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b (2cb)c即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22bc cos A故cos A1 ，A=120°2（）由（）得：第9页共11页.sin Bsin Csin Bsin(60B)31cosBsin B22sin(60B)故当 B30&

15、#176;时， sinB+sinC 取得最大值 1。【方法技巧】(1) 利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换 sinA ，用 b 替换 sinB, 用 c 替换 sinC 。 sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。(2) 以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用。象本例中B+C60°11. （2010·浙江高考理科· 18）在 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为1a,b,c，已知 cos 2C4(I) 求 sinC 的值；()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长【命题立意】 本题主要考察三角变换、 正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。【思路点拨】利用二倍角余弦公式求s i Cn 的值。再利用正弦定