二次函数中的旋转平移对称变换

1、二次函数中的旋转、平移、对称变换1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点，顶点为D。(1)求抛物线的解析式；(2)将OA瞰点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式；(3)设(2)中平移后，所得抛物线与y轴的交点为Bi,顶点为Di,若点N在平移后的抛物线上，且满足NBB的面积是NDD面积的2倍，求点N的坐标。解：(1)已知抛物线 y=x2+bx+c 经过 A (1, 0) , B (0, 2),0=1+方+匚肚=-3.2=° + ° + ',解得匕=2 ，所求抛物线

2、的解析式为y=x2-3x+2 ;(2) A (1, 0) , B (0, 2) ,OA=1, OB=2可得旋转后C点的坐标为(3, 1),当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2, 可知抛物线y=x2-3x+2过点(3, 2),将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C,平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1 ；(3) 丁点 N在 y=x2-3x+1 上，可设 N点坐标为(x。, xq2-3xg+1),3,一，,x ，其对称轴为 2,-/二1将 y=x2-3x+1 配方得3口辱3时，如图，,5*1*斗二以1*1*1万一今此时宕一眈+1 =T .点n的坐标为(1, -1 )；3当时，如图,同理

3、可得此时君-3%+1=1，点N的坐标为(3,1),综上，点N的坐标为(1,-1)或(3,1)。2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为(m,1)(m>0),将此矩形绕O点逆时针旋转90°,得到矩形OAB'.C'(1)写出点A、A'、C'的坐标；(2)设过点A、A'、C'的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,求此抛物线的解析式；(a、b、c可用含m的式子表示)(3)试探究：当m的值改变时，点B关于点。的对称点D是否可能落在(2)中的抛物线上？若能，求出此时m的值.解：(1)二.四边形ABCO是矩形

4、，点B的坐标为(m,1)(m>0),.A(m,0),C(0,1),矩形OAB'值矩形OABC旋转而成，A'(0,m),C'(-1,0);(2)设过点A、A'、C'的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,.A(m,0),A'(0,m),C'(-1,0),，此抛物线的解析式为：y=-x2+(m-1)x+m;(3)存在.点B与点D关于原点对称，B(m,1),，点D的坐标为：(-m,-1),抛物线的解析式为：y=-x2+(m-1)x+m;假设点D(-m,-1)在(2)中的抛物线上，则y=-(-m)2+(m-1)x(-m)+m=-1,即-2m2

5、+2m+1=0,=22-4X(-2)X1=12>0,，此点在抛物线上，解得m=2或m=2(舍去).3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-2,0),点B(0,2),点E,点F分别为OA,OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形 OE'D'F',记旋转角为 人（I）如图，当 “=90° ,求AE', BF'的长；（II）如图，当 后 135° ,求证 AE' =BF',且 AE'，BF'（出）若直线 AE'与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即

6、可）解：（I）当于因r时，克e与点f重合，如图.丁变A<-2i0）点B（0,工L3OA=OB2.,点E，点F分别为OA，OE的中点，OE=OF=1V正方形DEDF是正方形OEDF绕点。顺时钟旋转90,得到的，AOE'=OI=1*OF=OF-1.在RtAAEO中,珏'Foa'hje?二五，1%二岳在RtAEOF中，BF二血产国居J二诋'AAEr，BF的长都等于小.（Il）当bl泞时，如图.v正方形OFDF是由正方形0EDF线点01顺时针旋转I花所得，J.ZAOE-ZBOF-135在AO£BOF中，AO=BO，zaoe'=zbof"

7、，QE'=0F'AAAOEABOF（SAS）./.AE=BF»EZOAEZOBFrZACZCAO-ZAOC=ZCBWCPB，ZCAOZCBP，工ZCPB"AOCWAAE'XBF.(I)在第一象限内，当点D与点P重含时，点P的纵坐标最大.过点P作PELL*触，垂足为H，如图所示.“J/AE'O=90%Er0=li_A0=2f,WE'AOO,AE'=V3-1ap=V5i.'/ZAHP-90SzPAH=305»/.ph=Aap=1.22A点P的纵坐标的最大值为亨.4、如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(

8、-1,0),B(5,0)两点，直线y=-x+3与4y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF，x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE=5EF,求m的值；(3)若点E'是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得:，抛物线的解析式为:y= - x2+4x+5 .-1-b+c=0(b二4,解得，-25+5b+c=0c=5(2)二点P的横坐标为m,1-P(m,m2+4m+5),E(m,卫m+3),

9、F(m,0).4.PE=|yp-yE|=|(-m2+4m+5)(m+3)|=|-m2+m+2|,44EF=|yEyF|=|(m+3)0|=|-m+3|.44由题意，PE=5EF,即：|-m2+m+2|=5|-m+3|=|m+15|444若-m2+生m+2=-Im+15,整理得：2m2-17m+26=0解得：m=2或m2;442若一m2+_!m+2=(义m+15),整理得：m2-m-17=0,解得：m=l+V或m=l-.4422由题意，m的取值范围为：-1vmv5,故m=曰、m=_迅屈这两个解均舍去.221. m=2或m=_HH.2（3）假设存在.作出示意图如下： 点E、E'关于直线PC对称，1=Z2,CE=CE；PE=PE'.PE平行于y轴,1=P3,2=Z3,，PE=CE, .PE=CE=PE=CE即四边形PECE'是菱形.一一，、5?一,一一由直线CD解析式y=-x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.4过点E作EM/x轴，交y轴于点M,易得ACEMCDO, 幽？，即Hllg,解得CE=|m|,F 一， , 一，.PE=CE=-|m|,又由(2)可知: 4若-m2+¥m+2=±m,整理得:44OD'CD4"54PE=|m2+(m+2|-m2+-