二次函数恒成立问题

1、、恒成立问题的根本类型:类型2类型二次函数恒成立问题1：设f(x)ax2bxc(af(x)0在xf(x)0®x2:设f(x)a0时,2021年8月莞美学校f(x)2当a0时,f(x)类型3:f(x)类型4:f(x)(xI)R上恒成立R上恒成立ax2bxc(af(x)0在x,上恒成立f(x)0在x,上恒成立对一切xI恒成立g(x)对一切xI包成立二、恒成立问题常见的解题策略:策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数f(x)ax21f(x)0在xR上恒成立0),0)2f(x)/xR上恒成立0；0。上恒成立f()0f()0,上恒成立b2af()f(x)minf(x)bx例1.假设不等式

2、(m1)x2(mb2af(f(f(b2a0对一切xb2a0b2a，f()0b2af()0I恒成立f(x)max°f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)ming(x)maxc0(a0,xR)有:1)x0；20的解集是R,求m的围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m-1是否是0。m,所以要讨论1当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意;m 1 02m 1 0时，只需(m1)2 8( m 1)，所以，m 1,9)。0策略二利用函数的最值或值域1f(x) m对任意x都成立f (x)min m；2f (x) m对任意x都成立m

3、f (x) max °简单计作：“大的大于最大的,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 2. f(x)x2 ax 3 a,假设 x 2,2, f(x) 2 恒成立，求a的取值围.解析此题可以化归为求函数f(x而闭区间上的最值问题只要对于任意x 2,2, f(x)min 2 .假设x 2,2, f(x) 2恒成立2,2, f(x)minf(x)minf(2)73a2 a 2或 2 af(x)min f( 2)a 2 2f (x) minf(2),即a的取值围为5, 2 2，2.2策略三：利用零点分布2例 3. f(x) x ax 3a ,假设 x 2,2, f(x)a的取值围.解析

4、 此题可以考虑f(x)的零点分布情况进展分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、 零点在区间的A 向口 r- M 2-右侧三种情况，即A WO或 22或f( 2) 0 f(2) 0且 2口.2,即a的取值围为-7, 2.f( 2) 0f(2) 0，可以考虑函数的零点分布情况，要求点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了变式：设f (x) x2mx 2 ,当 x 1,)时,f (x) m恒成立，数m的取值围。解：设 F(x) x22mx 2 m ,那么当x1,当 4(m 1)(m2) 0 即 2 m 1 时,F(x)当 0时，如图,F

5、(x) 0恒成立的充要条件为:0F(1)0解得3m2。综上可得实数m的取值围为3,1)。2m12策略四：别离参数法假设所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元别离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：们f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max2f(x)g(a)(a为参数)恒成立g(a)f(x)max2x2xa例4.函数f(x),x1,)，假设对任意x1,),f(x)0恒成立，数a的取值围。x解：假设对任意x1,),f(x)0恒成立，2-x2xa即对x1,),f(x)0恒成立，x2考虑到不等式的

6、分母x1,)，只需x22xa0在x1,)时恒成立而得2x 2x a 0 在 x 1,)时恒成立，只要a2x2x在x 1,)时恒成立。而易求得二次函数h(x)2x2x在1,)上的最大值为3,所以a3。变式：函数f(x)ax<4xx2,x(0,4时f(x)0恒成立，数a的取值围。4xx2解：将问题转化为a对x(0,4恒成立。x令 g(x)由 g(x).4x x2xg (x) min4x x2x4 ,一，、一 1可知g(x)在(0,4上为减函数,故g(x)min xg(4) 0a0即a的取值围为(，0)。注：别离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。策略五：确定主元在给出的含有两个变

7、量的不等式中，学生习惯把变量x看成是主元未知数，而把另一个变量a看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把取值围的变量作为主元，把要求取值围的变量看作参数，那么可简化解题过程。例5.假设不等式2x1m(x21)对满足2m2的所有m都成立，求x的围。解析：我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x21)(2x1)0,；令 f (m) m(x2 1) (2x1),那么 2 m 2时，f(m) 0恒成立，所以只需f( 2) 0'7 即f(2) 02(x2 1) (2x 1) 0 22( x2 1) (2x 1) 0总结：利用了一次函数f (x)tf (m)f(x

8、) 0包成立工、f (n)变式：对任意a 1,1,不所以x的围是x (kx b, x m,n有:0 -.、0, f (x) 0包成立享式 x2 (a 4)x 47 1.3)2,2f(m) 0f(n) 02a 0恒成立，求x的取值围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但假设把a看成主元，那么问题可转化为一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上恒成立的问题。解：令f(a)(x2)ax24x4,那么原问题转化为f(a)0恒成立a1,1。当x2时，可得f(a)0,不合题意。,八,一f(1)0一口八当x2时，应有解之得x1或x3。f(1)0故x的取值围为(，1)(3,)。策略六：消元转化例

9、6.f(x)是定义在卜1,1匹的奇函数，且f(1)=1，假设m,n1,1,mn0时f(m)f(n)0,假设f(x)t22at1对于所有的x1,1,a1,1恒成立，数tmn的取值围.解析此题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数，故f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1，那么f(x)t22at1对于所有的22x1,1,a1,1恒成立1t2at1对于所有的a1,1恒成立，即2tat0对于所有的a1,1恒成立，令g(a)2tat2,只要g(1)0,t2或t2或t0.g(1)0点评对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题，可以根据题

10、意依次进展消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值围。事实上，这些策略不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决。三、稳固练习1 .1假设关于x的不等式x2axa0的解集为（,），数a的取值围；2假设关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，数a的取值围.解：1设fxx2axa.那么关于x的不等式x2axa0的解集为（上包成立fmin x 0，即fmin x24a a40,解得4 a 02设fx x2 ax a.那么关于x的不等式x2 ax a

11、3的解集不是空集上能成立 fmin x 3,即fmin x.24a a43,解得a6或a 2.2 .假设函数yJmx26mxm8在R上恒成立，求m的取值围。分析：该题就转化为被开方数mx26mxm80在R上包成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使yJmx2_6mxm8在R上恒成立，即mx26mxm80在R上包成立。1 m0时，80m0成立m02 m0时，2,0m136m4m832mm10由，2可知，0m1232x x tx t,3 .向重a(x,x1),b(1x,t),假设函数fxab在区|可1,1上是增函数，求t的取值围.解：依定义f(x)x2(1x)t(x1)则 f (x)3x2

12、 2x t. f x在区间1,1上是增函数等价于f x 0在区间 1,1上包成立;而f x 0在区间1,1上包成立又等价于t 3x2 2x在区间1,1上包成立;设gx3x22x,x1,1进而tgx在区间1,1上恒成立等价于tgmaxX,X1,1考虑到gx3x22x,x1,1在1,-上是减函数，在-,1上是增函数，那么33gmaxxg15.于是,t的取值围是t5.4 .函数fxx33ax1,gxfxax5,其中f'x是fx的导函数.对满足1a1的一切a的值，都有gx0,数x的取值围；解法1.由题意gx3x2ax3a5,这一问外表上是一个给出参数a的围，解不等式gx0的问题，实际上，把以x

13、为变量的函数gx,改为以a为变量的函数，就转化为不等式的包成立的问题，即令a3xa3x25,1a1,那么对1a1,恒有gx0,即a0,从而转化为对1a1,a0包成立，又由a是a的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此103x2x20一2一2只需即320,解得-x1.故x-,1时，对满足1a1的103x2x80.33一切a的值，都有gx0.解法2考虑不等式gx3x2ax3a50.由1a1知，a236a600,于是，不等式的解为aa236a60aa236a60x.66a .a2 36a 606但是,这个结果是不正确的，因为没有考虑a的条件，还应进一步完善.为此，设g a由于

14、g aa.a236a60一,ha不等式化为g a6xha,1a1包成立，即9amaxxhamin,1a1.a-a36a60在1a1上是增函数，那么ga3g16maxhaa后636a60在1a1上是减函数，那么haminh11.所以，Ix1.22,1时，对潴足31 a 1的一切a的值，都有g x 0.5 .假设对任意的实数x,sin2x2kcosx2k20恒成立，求k的取值围。解法一：原不等式化为cos2x2kcosx2k10令tcosx,那么t1,即ft22kt2k1tk2k22k1在t1,1上恒大于0。1假设k1,要使f(t)0,即f(1)0,kk不存在2假设1k1,假设使f(t)0,即f(

15、k)k22k10172k1&1&k1假设k1,要使f(t)0,即f(1)0,k1由，可知，k1工。解法二：f(t)t22kt2k10,在1,1上包成立。k22k101.2k1,2k22k10f0k1.2f(1)0k1或k1由，可知，k1J2。16 .函数f(x)xax10对于一切x(0,-成立，求a的取值围27 .函数f(x)x24xm对于x(0,1恒成立，求m的取值围。11.8 .假设不等式9x6axa2a60在-x-恒成立，求a的取值围339 .函数ylgx2(a1)xa2的定义域为R,数a的取值围解：由题设可将问题转化为不等式x2(a1)xa20对xR包成立，即有(a1)24a20解得a1或a3。所以实