二次函数专题训练(三角形周长最值问题)含答案

1、1.如图所示，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P,过点1P作P已BC于点E,彳PF平行于x轴交直线BC于点F,求PEF周长的最大值；/(3)已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、MN、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由.2 .如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交

2、于点E.(1)求直线AD的解析式；/(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG，AD于点G,彳FH平行于x轴交直线AD于点H,求FGH周长的最大值；(3)如图2,点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQha以PM为对角线的平行四边形，点Q'与点Q关于直线AM对称，连接MQ',PQ'.当PMQ与APQM重合部分的面积是？APQ胸积的L时，求？APQ丽积.3 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),且OC=OBtan/

3、ACoL.(1)求抛物线的解析式;(2)若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PHLAD于点H,作PM平行于y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求PHM勺周长的最大值;(3)在(2)的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使彳导/NEW锐角，在线段EB上是否存在点G,使彳导以E,N,G为顶点的三角形与AOCf似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由.苔用图4 .如图（1）,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（xi,0）、B（X2,0）两点（xi0vx2）,与y轴交于点C（0,-3）,若抛物线的对称轴为直线x=1

4、,且tan/OAC=3（1）求抛物线的函数解析式;（2若点D是抛物线BC段上的动点，且点/D到直线BC距离为被，求点D的坐标（3）如图（2）,若直线y=mx+n经过点A,交y轴于点E（0,一），点P是直线AE下方抛物线上一点,过点P作x轴的垂线交直线/AE于点M点N在线段AM延长线上，且PM=PN是否存在点P,使PMN勺周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及PMN勺周长的最大值；若不存在，请说明理由.5 .已知：如图，直线y=-x+2与x轴交于B点，与y轴交于C点，A点坐标为(-1,0).(1)求过A、BC三点的抛物线的解析式.(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作D已BC于E,作DF

5、/y轴交BC于F,求DEF周长的最大值.(3)在满足第问的条件下，在线段BD上是否存在一点巳使/DFP=ZDBC若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.6.如图，抛物线y=-x2+(m-1)x+m(m>1)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式；(2)点D和点C关于抛物线的对称轴对称,点你F在直线AD上方的抛物线上，FG，AD于G,FH/x轴交直线AD于H,求FGH的周长的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上，使得PQR以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式.7

6、.如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式;求EFG周长的最大值；(3)若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.Q,使彳导以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF/x轴，EGy轴并交直线AD于点F、G,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴与点D,已知点8 .如图，抛物线y=-x22C(0,J.),连接AC.2(1)求直线AC的解析式;(2)点P是直线AC上方的抛物线

7、上一动点，过点P作PEE/y轴，交直线AC于点E,过点P作PGLAC,垂足为G,当PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q使|QP-QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；(3)当(2)题中|QP-QG限得最大值时，直线PG交y轴于点M把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线V'与直线AD相交的一个交点为A',在平移的过程中，是否存在点A',使得点A',P,M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由.爸用图9 .如图，抛物线y=-&x2+x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C.44(1)

8、求直线AC与直线BC的解析式；/(2)如图1,P为直线BC上方抛物线上的一点；过点P作PD±BC于点D,乍PMy轴交直线BC于点M当PDM勺周长最大时，求P点坐标及周长最大值；在的条件下，连接AP与y轴交于点E,抛物线的对称轴与x轴交于点K,若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EKKS,ST,TE,求四边形EKST周长的最小值；'(3)如图2,将AAOC顺时针旋转60°得到AA'OC,将AA'OC沿直线OC平移，记平移中的A'OC为A"O'C',直线AO与x轴交于点F,将AO'CF沿OC翻折彳#

9、到4OCF',当ACCF'为等腰三角形时，求此时F点的坐标.参考答案与试题解析1.如图所示，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作P已BC于点E,彳PF平行于x轴交直线BC于点F,求PEF周长的最大值；(3)已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、MN、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由.【解答】解：(1)把A(-1,0),

10、B(3,0)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx-3,得到一6一Q0,:9a+3h-3-0(2)如图1中，连接PR PC.设P (mq3),，抛物线的解析式为y=x2-2x-3.B(3,0),C(0,-3),OB=OC/OBC=45,.PF/OB/PFE=ZOBC=45,PE±BC,，/PEF=90,PEF是等腰直角三角形，PE最大时，PEF的面积中点，此时PBC的面积最大，贝U有SapbcfSLpobSapoSabo=?3?(-m+2m+3+?3?mn.mJ时，PBC的面积最大，此时PEF的面积也最大,2此时 p (一, ,24,直线BC的解析式为y=x-3, PEF是等腰直角三角形

11、,(3)如图2中,当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点 巳 此时思想 MNQP!正方形，易知 P (2, -3).点P横坐标为2,(舍弃)，如图3中，当四边形 PMQN1正方形时，作 PF± y轴于N, ME/ x轴，PE/ y轴.易知 PFN PEMPF=PE 设 P (m, n2- 2m- 3),2m=m 2m 3 - ( 4),.m立正或三逅.P点横坐标为三合所以满足条件的点P的横坐标为2或*2.如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D,C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.(1)求直线AD的解析式；/(2)如图1,直线AD上方

12、的抛物线上有一点F,过点F作FG，AD于点G,彳FH平行于x轴交直线AD于点H,求FGH周长的最大值；(3)如图2,点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQha以PM为对角线的平行四边形，点Q'与点Q关于直线AM对称，连接MQ',PQ'.当PMQ与APQM重合部分的面积是？APQ胸积的L时，求？APQ丽积.【解答】解：(1)令-x2+2x+3=0,解得xi=-1,x2=3, .A(-1,0),C(0,3), ,点D-C关于抛物线的对称轴对称， D(2,3),直线AD的解析式为：y=x+1;(2)设点F(x,-x2+2x+3), FH/x

13、轴， .H(-x2+2x+2,-x2+2x+3),FH=-x2+2x+2-x=-(x-L)2+上，24；二FH的最大值为,4由直线AD的解析式为：y=x+1可知/DAB=45,FH/AB,/FHGhDAB=45,FG=G故FGH周长的最大值为里2><2'=史必2;(3)当P点在AMF方时，如图1,设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),PM Q与？APQMt合部分的面积是?APQ丽积的，PQ必过AM中点N(0,2),可知Q'在y轴上，易知QQ的中点T的横坐标为1,而点T必在直线AM上,故T(1,4),从而T、M重合，？APQM矩形,易得直线AMB析式

14、为：y=2x+2,MQLAM.直线QQ:y=-=x+24+p=解得：p=-二,二Soapqm=2Saam=4Saan=4XXPNXAO=4XX2KX1=5;2当P点在AM上方时，如图2,I图2设P(0,p),易知M(1,4),从而Q(2,4+p),PMQ与？APQ城合部分的面积是?APQ丽积的.PQ必过QM43点R(二，4+.)，易得直线QQ:y=-二x+p+5,y=2x+2联立1尸pt+p+5222,解得：x=6+一口,y=22+4-,5|5.H（殳也_9±基）.H为QQ中点，55故易得Q''（义空，24）兆）,55由P（0,p）、R（多4吟）易得直线PR解析式为:

15、y=仔谒）x+p, j,5将Q，（比里，丝迎）代入到y=（昌553整理得：p2-9p+14=0,解得pi=7,p2=2（与AM中点N重合，舍去）,P(0,7),PN=5,Sbapqm=2Saam=2X=XPNX|xm-xa|=2XX5X2=10.综上所述，？APQMW积为5或10.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(aw0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),且OC=OBtan/ACoL.4(1)求抛物线的解析式；(2)若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PHLAD于点H,作PM平行于

16、y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求PHM勺周长的最大值；(3)在(2)的条件下，以点E为端点，在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使彳导/NEW锐角，在线段EB上是否存在点G,使彳导以E,N,G为顶点的三角形与AOCf似？如果存在，请求出点G的又.tan/ACO上,4OC=4.C(0,-4).oc=obOB=4B(4,0)./设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-4).;将x=0,y=4代入得：4a=-4,解得a=1,，抛物线的解析式为y=x2-3x-4./(2)二抛物线的对称轴为x=C=|,C(0,-4),点D和点.C关于抛物线的对称轴对称,D(3,-4)./设直线AD的解析式

17、为y=kx+b./将A(1,0)、D(3,-4)代入得：*+卜一°,解得k=1,b=-1,，直线AD的解析式y=-x-1.直线AD的一次项系数k=-1,/BAD=45.PMFF行于y轴,，/AEP=90.)PM=PM+MH+PH=PM+MP+_PM=(1+22设P(a,a23a4),M(a1),贝UPM=a1(a23a4)=a2+2a+3,PM=-a2+2a+3=-(aT)2+4,当a=1时，PM有最大值，最大值为4.MPH勺周长的最大值=4X(1+&)=4+4底.(3)如图1所示；当/EGN=90.ffil设点G的坐标为(a, 0),则N (a, a2 3a4). / EG

18、Nh AOC=90 ,.二三时，AOS EGNOC GN V-上,整理得：a2+a - 8=0.一注2+3a+4 4解得：a=T+'质 (负值已舍去).2.点G的坐标为(T+"' 0).2如图2所示：当/ EGN=90 .国2设点G的坐标为（a,0）,则N（a,a23a4）./EGNhAOC=90,.一上时，AOSNGEOC-EG=4,整理得：4a2-11a-17=0.一”+3a+4解得：a=I1:'"第3（负值已舍去）.8.点G的坐标为（卫力丝！，0）.8IEN在EP的右面， ./NEGC90°.如图3所示：当/ENG=90°时

19、，p图mEG=EG<x电L（W393-1）/业应.44g1612S 点G'的横坐标=一I"12§9+17G>4,128 点G'不在EG上.故此种情况不成立.综上所述，点G的坐标为（士返I,0）或（生叵过，0）.284.如图（1）,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（xi,0）、B（X2,0）两点（xi0vx2）,与y轴交于点C（0,-3）,若抛物线的对称轴为直线x=1,且tan/OAC=3（1）求抛物线的函数解析式；（2若点D是抛物线BC段上的动点，且点/D到直线BC距离为卜耳，求点D的坐标（3）如图（2）,若直线y=mx+n经过点A,交y轴

20、于点E（0,一），点P是直线AE下方抛物线上一点，过点P作x轴的垂线交直线/AE于点M点N在线段AM延长线上，且PM=PN是否存在点P,使PMN勺周长有最大值？若存在，求出点P的坐标及PMN勺周长的最大值；若不存在，请说明理由.图国【解答】解：(1)在RtAOC,tanZ，OA=1,贝UA(T,0),;抛物线的对称轴为直线x=1,则点A(-1,0)关于直线x=1的对称点设抛物线的表达式为y=a(x-3)(x+1),将点C(0J-3)代入上式得-3a=-3,解得：a=1,.抛物线的解析式为y=(x-3)(x+1)=点B(3,0)、C(0,%-3),贝UBC=3/2,'''

21、S>ABCD=-X3h2=3,设D(x,x2-2x-3),连接OD一nc一一AOC=3且OC=3OAB的坐标为(3,0),=x2-2x-3;Sbc=Saoc+SabodSaboc图1)2|z2|_-3k+9m_32I解得x=1或x=2,则点D的坐标为(1,-4(3)设直线AE解析式为将点A(1,0)、E(0,2)或(2,-3);y=kx+b,-4)代入得：q,?3?x+-?3?(-x2+2x+3)-Lx3X3323解得:,，出二13则直线AE解析式为y=-x-AAEMe)他、设P(t,t2-2t3),则M(t,-:PM=-(t2-2t-3)=-33作PGLMNTG,由PM=PN导MG=N

22、GY哼/Lmn2/AG图即由PMGo4人£。导迪=j_,EOABMG4T，当t=-L时，Cpmn|X得最大值mg=Lpm=ng5CPM=PM+PN+MNPM.555(-12+=t+豆)=325,此时p(JL,35_2295.已知：如图，直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点，A点坐标为1,0).(1)求过A、BC三点的抛物线的解析式.(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作D已BC于E,作DF/y轴交BC于F,求DEF周长的最大值.P,使/DFP=ZDBCy轴交于C点(0,2),设过A、BC的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,若存在，求出点P的坐标;把A(-1,0)

23、、B(2,0)、C(0,2)的坐标代入,a=-1,b=1,c=2,，抛物线的解析式为：y=-x2+x+2,设D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于.DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,所以x=1时，DF最大=1,OB=OC.OBE等腰直角三角形,D已BC,DF/y轴,.DEF为等腰直角三角形,.DEF周长的最大值为1+2(3)如图,当4DEF周长最大时，D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,彳PMLDF于M贝UDB=n,DH=2OH=1当/DFP=/DBC时，DFWDBF,P点的横坐标为OH+PM=1+=55P点的纵坐标

24、为D+DM=22型55P(it6.如图，抛物线y=-x2+(m-1)x+m(m>1)与x轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点D和点C关于抛物线的对称轴对称，点你F在直线AD上方的抛物线上，FGJ±AD于G,FH/x轴交2121直线AD于H,求FGH的周长的最大值；(3)点M是抛物线的顶点，直线l垂直于直线AM与坐标轴交于P、Q两点，点R在抛物线的对称轴上,使得PQR以PQ为斜边的等腰直角三角形，求直线l的解析式.骨用图【解答】解：(1)把C(0,3)代入y=-x2+(m1)x+m得m=3,，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3,(2)令y=-x2+2x+3=

25、0,解得：xi=-1,x2=3,.A(-1,0),B(3,0),C(0,3),点D和点C关于抛物线的对称轴对称，D(1,2),AD的解析式y=x+1,设AD与y轴交于E,OA=OE=1/EAO=45,FH/AB,/FHA=/EAO=45,FG±AH,.FGH是等腰直角三角形，设点F坐标(m-n2+2m+3),.点H坐标(n2+2m+2n2+2m+3,2.FH=-m+m+2.FGH的周长=(mf+m+2+2X匹(R+m+2=-(1+72)(m-)乎"工飞224FGH的周长最大值为4(3)二.抛物线y=-x2+2x+3的定点坐标为(1,4),直线AM的解析式为y=2x+2,Z;

26、直线l垂直于直线AM，设直线l的解析式为y=x+b,2与坐标轴交于P、Q两点，/，直线l的解析式为y=-Lx+b与y轴的交点P(0,b),与x轴的交点Q(2b,0),II/设R(1,a),/PR2=(-1)2+(a-b)2,QR=(2b-1)2+a2,pQ=b2+(2b)2=5b2,PQ幅以PQ为斜边的等腰直角三角形，.PR2=QR,即(-1)2+(ab)2=QR2=(2b1)2+a2,.-2a=3b-4,.1.pR+qR=pQ,即(1)2+(ab)2+(2b1)2+a2=5b2,.,2a2-2ab-4b+2=0,a=-lb=2直线l的解析式为y=-x+ 2y= -x+2.2联立解得7.如图，

27、已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A,B,C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对鬣月囹(1)直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；(2)点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点、E分别作EF/x轴，EG/y轴并交直线AD于点F、G,求EFG周长的最大值；(3)若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q,使彳导以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)将x=0代入得y=3,.C(0,3).抛物线的对称轴为x=-L=1,C(0,3),2a/D(2,3)./把y=0代入抛物线的解析式得：0=-x2+2x+3,解得

28、x=3或x=T,，A(T,0).设直线AD的解析式为y=kx+b,将点A和点D的坐标代入得：/4十仁0,解得：卜=1，b=1,I2k+b=3、，直线AD的解析式为y=x+1.(2)如图1所示:;直线AD的解析式为y=x+1,/DAB=45. .EF/x轴,EG/y轴, ./GEF=90,/GFEhDAB=45 .EFG是等腰直角三角形. .EFG的周长=EF+FG+EG=2+72)EG依题意，设E(t,-12+2t+3),则G(t,t+1).EG=-12+2t+3-(t+1)=-(t-)2+-.24EG的最大值为.4EFG的周长的最大值为+”士.24(3)存在.以AD为平行四边形的边时，PQ/

29、AD,PQ=AD.A,D两点间的水平距离为3,，巳Q两点间的水平距离也为3.'，点Q的横坐标为3或-3./将x=3和x=-3分别代入y=x2+2x+3得y=0或y=-12.Q(3,0)或L3,-12)/当AD为平行四边形的对角线时，设AD的中点为MA(1,0),D(2,3),M为AD的中点，,MI(/_I).设点Q的横坐标为x,则x*O=_L,解得x=1,22.点Q的横坐标为1.将x=1代入y=-x2+2x+3得y=4.，这时点Q的坐标为(1,4).综上所述，当点Q的坐标为Q(3,0)或(-3,-12)或(1,4)时，以A,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.8.如图，抛物线 y=2

30、_x2 Lx+3与x轴相交于msC (0, 连接 AC.A、B两点(点 A在点B的左侧)，交y轴与点D,已知点(1)求直线AC的解析式;(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PEE/ y轴，交直线 AC于点E,过点P作PGL AC,垂足为G,当PEG周长最大时，在x轴上存在一点Q使|QP-QC|的值最大，请求出这个最大值以及点P的坐标；(3)当(2)题中|QP-QG限得最大值时，直线PG交y轴于点M把抛物线沿直线AD平移，平移后的抛物线V'与直线AD相交的一个交点为A',在平移的过程中，是否存在点A,使得点A,P,M三点构成的三角形为等腰三角形，若存在，直接写出点A

31、'的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】 解：(1)令y=0则,二x2=x+3=0,解得x=3或x=2,22.A(3,0),B(2,0).设直线AC的解析式为y=kx+b,将点A和点C的坐标代入得:解得：k=，b=,习团直线AC的解析式为(2)延长PE交OA与点F,则PF±OAPF±OAPG,AC,/EFA=ZPGE又/PEGWFEA/EAF=ZEPG.O2,AO=32tan/GPE=tanZEAF二.2.sin/GPE匹,cos/GPE幺庄.55PG=PE,EG=EP.55.PEG的周=PE+PG+EG=1)PE.5当PE取得最大值时，PEC的周长最大.设点P的坐

32、标为（t,t2-Lt+3),则点E的坐标为(t,-Lt+_).点P在点E的上方,PE=-J-t2-J-t+3-(t2-t+Jl=-L(t+1)2+2.当t=-1时，PE取得最大值，此时PGE的周长取得最大值.点P（-1,3）,点E的坐标为（-PE=31=2.pg=2后pe=$y5.根据三角形的两边之差小于第三边可知:P、GQ三点共线时，|QP-QG|的值最大，此时|QP-QG|=PG=：_15(3)如图所示:CFO/PGE=zPFN/P=Z巳.PESPNF,JFNEG,IP=2,解得FN三FN.点N的坐标为（设PN的解析式为y=kx+b,将点P和点N的坐标代入得:.M(0,1).,解得：k=-

33、2,b=1.设直线AD的解析式为y=mx+3,将点A的坐标代入得:3m+3=0,解得m=1,直线AD的解析式为y=x+3.设点A'的坐标为（x,x+3）.当PM=PA时,2加尺+1)4(冥+3-3)不整理得:点A的坐标为（1,4）或（-2,1）.x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,当PM=MA时，庐五$叫可如五国整理得:2x2+4x1=0,解得：x=或x=2,22点A'的坐标为（土15返或（-2飞上运.2222当A'P=AM时，心（产"+（什3-1）斗整理彳-2X=3,解得：x=|综上所述，点A'的坐标为（1,4）或（-2,1）或（二生叵，生里K或（二生恒，±2反）或（-2,/222229.如图，抛物线y=-&x2+2x+3交x轴于A、B两点，点A在点B的左侧，交y轴于点C.44（1）求直线AC与直线BC的解析式；（2）如图1,P为直线BC上方抛物线上的一点；过点P作PD±BC于点D,彳PM/y轴交直线BC于点M当PDM勺周长最大时，求P点坐标及周长最大值；在的条件下，连接AP与y轴交于点E,抛物线的对称轴与x轴交于点K,若S为直线BC上一动点，T为直线AC上一动点，连接EK；KS,ST,TE,求四边形EKST周长的最小值；（3）如图2,将AAOC顺