椭圆及其标准方程

1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 2008年年9月月25日晚日晚21时时10分分04秒，秒， “神神舟舟 七号七号”载人飞船在酒泉卫星发射中心发射载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空升空 ，实现了太空行走，标志着我国航天事业，实现了太空行走，标志着我国航天事业又上了一个新台阶。又上了一个新台阶。生活中的椭圆环节一环节一:认识椭圆认识椭圆 (1)取一条一定长的细绳取一条一定长的细绳 (2)把它的把它的两端两端用图钉用图钉固定固定在纸板上在纸板上 (3)当当绳长大于两图钉之间的距离绳长大于两图钉之间的距离时，用铅笔尖把绳时，用铅笔尖把绳子拉直，使笔尖子拉直，使笔尖在纸板上在纸板上慢慢移动，画出一个图

2、形慢慢移动，画出一个图形动手实验动手实验环节二环节二:尝试探究尝试探究,形成概念形成概念结合实验以及结合实验以及“圆的定义圆的定义”,思考讨论一下应该思考讨论一下应该如何定义椭圆？如何定义椭圆？反思：反思：F1F2M概念透析概念透析F1F2M1 1、椭圆的定义、椭圆的定义思考：思考：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？椭圆上的点要满足怎样的几何条件？（1 1）平面曲线）平面曲线（2 2）到两定点）到两定点F F1 1，F F2 2的距离等于定长的距离等于定长（3 3）定长）定长|F|F1 1F F2 2| |w绳长绳长12FF12FFw绳长绳长 注：定长注：定长 所成曲线是所成曲线是椭圆椭圆 定长

3、定长 所成曲线是所成曲线是线段线段 定长定长 无无法构成法构成图形图形2 21 12 21 12 21 1F FF F2a2aF FF F2a2aF FF F2a2a 理解定义的内涵和外延一定理解到位一定理解到位OXYF1F2M步骤一：建系步骤一：建系步骤二：步骤二：设点设点步骤三：列式步骤三：列式步骤四：化简步骤四：化简求曲线方程的步骤求曲线方程的步骤: 如果设轨迹上任一点如果设轨迹上任一点M到两定点到两定点的距离和为的距离和为常数常数2a，两定点之间的距离为，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还，则椭圆定义还可以用集合语言表示为：可以用集合语言表示为：P= M| |MF1 |+|MF2|=

4、2a（2a2c）解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直的垂直平分线为平分线为y轴，建立平面直角坐标系轴，建立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的点，椭圆的焦距焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的的距离的和等于正和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .（想一想：下面怎样（想一想：下面怎样化简化简？）？）aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由由椭圆的定义椭圆的定义

5、，代入坐标代入坐标OxyMF1F2环节三环节三:方程推导方程推导PxyoacbcaOP22|令12222byax122222cayaxb0ab（ ）) 0( 12222babxay012222babyax焦点在焦点在y y轴：轴：焦点在焦点在x x轴：轴：2 2、椭圆的标准方程、椭圆的标准方程: :1oFyx2FM1 12 2yoFFMx F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c ）、F2（0，c） 在椭圆的两种标准方程中，都有在椭圆的两种标准方程中，都有0 ba的要求；的要求； 所以可以根据所以可以根据分母的大小分母的大小来判来判定焦点定焦点在哪一个坐标轴上；在哪一个坐标轴上；在椭圆

6、的两种标准方程中，由于在椭圆的两种标准方程中，由于 ，22ab注意理解以下几点：注意理解以下几点：222abc, ,a b c0,0,abac椭圆的三个参数椭圆的三个参数之间的关系是之间的关系是 ，其中其中大小不确定大小不确定和bc11625)1(22yx）不等于其中0(11)3(2222mmymx分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然，反之亦然.切记：切记：下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪下列方程哪些表示的是椭圆，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并求出焦点坐标。个坐标轴上？并求出焦点坐标。0225259)2(22yx“焦点位置看大小焦

7、点位置看大小，焦点随着大的跑焦点随着大的跑” 环节四环节四:尝试应用尝试应用例例1 椭圆的椭圆的 两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（ -3 ,0）和（）和（ 3 ,0），椭圆），椭圆上一点上一点P到两焦点的距离之和等于到两焦点的距离之和等于10,求该椭圆的标准方程求该椭圆的标准方程.椭圆的椭圆的标准方程为标准方程为 192522yx解解： 因为椭圆的焦点因为椭圆的焦点 在轴上，设它的标准方程为在轴上，设它的标准方程为 x12222byax由题意可知由题意可知,102 a, 5a又又, 3c,16222cab变式训练变式训练: 椭圆的椭圆的 两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（

8、 0 ,4）和）和 （ 0 ,-4），椭圆上一点），椭圆上一点P到两焦点的距离之和到两焦点的距离之和 等于等于10, 求该椭圆的标准方程求该椭圆的标准方程.求椭圆的标准方程的步骤：求椭圆的标准方程的步骤：（1 1）首先要判断焦点位置，设出标准方程）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先（先定位）（2 2）根据椭圆定义或待定系数法求）根据椭圆定义或待定系数法求a a, ,b b （后（后定量）,环节五环节五:典例解析典例解析例例2 求过点求过点P(2,-3),且与椭圆且与椭圆14922xy有相同焦点的有相同焦点的椭圆方程椭圆方程.解解:依题意可设椭圆的方程为依题意可设椭圆的方程为14922xy)3, 2( P椭圆经过点椭圆经过点1429)3(226 或或)(6 舍去椭圆的方程为椭圆的方程为1101522xy2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc 标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点 图图 形