几何问题之中点问题

1、几何问题之中1点问题山*号08工1、掌握三角形的内角和定理；2、了解三角形三边的关系，并且能进行简单的应用；3、学习用三角形边、角的关系进行简单的计算和证明;4、学习分析问题、解决问题的能力。一、中点有关联想归类：1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长

2、中线。二、与中点问题有关的四大辅助线：1、出现三角形的中线时，可以延长（简称“倍长中线”）；2、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线；3、出现三角形边上的中点，作中位线；4、出现等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一”。三、几何证明之辅助线构造技巧：1 、假如作一条辅助线，能起到什么作用；2、常作那些辅助线能与已知条件联系更紧密，且不破坏已知条件。一、基础回顾1、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。2、若点C是线段AB的中点，则：1从线段来看：AC BC AB；2从点与点的相对位置来看：点 C在点A、B之间，且点 A B关于点C对称。3、三角形的中线：连接三角形的一

3、个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中 线。一个三角形有三条中线； 每条中线平分三角形的面积；三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成 1:2的两段； 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。二、如何延长三角形的中线1、延长1倍的中线：如图，线段AD是 ABC的中线，延长线段 AD至E,使DE AD （即延长1倍的中 线），再连接BE、CE 。总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD和两对（中心选转型）全等三角形ABDECD、 ACDEBD ,且每对全等三角形都关于点 D中心对称；详细地说，就是可以转移角：BAD CED , CAD BED , ABD EC

4、D ,ACDEBD, ADBECD, ADC EDB ；可以移边：AB EC , AC EB ；可以构造平行线： AB / EC , AC / EB；可以构造边长与 AB、AC、AD有关的三角 形：ABE、 ACE。（1）延k长倍的中线：（k 0且k 1）如左（右）下图，点E为ABC中线AD （ DA延长线）上的点，延长 AD至F ,使 ED FD，连接BE、CE、BF、CF .在平行四边形BFCE中就可以得到类似（1）中 的结论。注意：通常在已知条件或Z论中测及到与 BE、CE有关的边与角时，会用这种辅助线.整体做题思路:中线倍长全等三角形平行四边形+ _.J利用性质解决问题DAB 。例1、

5、如图， ABC中，AB AC, AD是中线.求证：DAC例题2例2、如图，已知在延长BE交AC于FABC 中，.求证：AFAD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC,EF。H例题3例3、已知 ABC中，AB12, AC 30,求BC边上的中线 AD的范围。ABC 中,ABAC5, BC为BC中点，MN AC于点N ,则MN等于（.6A.一512162、如图， ABC中,A=90o,且 DE DF ,若 BE3, CFD5D为斜边BC的中点,4，试求EF的长。E、F分别为AB、AC上的点,AF3、如图，在 ABC中，AB> AC, E为BC边的中点，AD为 BAC的平分线，过E作

6、AD的平行线，交 AB于F ,交CA的延长线于G 。求证：BF CG 。4、如图所示，已知 D为BC中点，点A在DE上，且AB CE ,求证： 12。备用图争戳一一、出现直角三角形斜边的中点，作斜边中线1、如图，在Rt ABC中， ACB 90°,直角 ACB所对白边AB称为Rt ABC的斜边,由 ACB BCA ,过点C作CD交AB于点D ,且 DAC ACD。Q DAC ACD , AD CD .Q ACB 90°,BAC ABC 900,又 Q ACD BCD 90°,BCD ABC ,BD CD ,BD CD AD ,2、发现线段CD为斜边AB上的中线，且

7、等于斜边的一半。3、作斜边中线，可以构造出等腰三角形，从而得到相等的边、相等的角。4、通常在知道直角三角形斜边的中点的情况下，想到作斜边中线这条辅助线。二、出现三角形边上的中点，作中位线1、中位线：连接三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线；也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线；以上是中位线的两种作法， 第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中位线，再用中位线的性质 .2、中位线的性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；3、中位线辅助线能起到的作用： 在线段大小关系上，三角形的中位线是三角形第三边的一半，起着

8、传递线段长度的功 能。在位置上，三角形的中位线平行三角形的第三边，起着角的位置转移和计算角的的功A4、通常在以下两种情况下，会作中位线辅助线：有两个（或两个以上）的中点时； 有一边中点，并且已知或求证中涉及到线段的倍分关系时。 熟悉以下两个图形：CD的延长线分别交 EF的延长线G、H。求证： BGE CHE 。在AC延长线上取点E ,连D4皿例题4 iir1例4、如图，在四边形ABCD中,AB CD ,点E、F分别是BC、AD的中点，BA、网闻例题5DDCBE例5、已知：如图，结DE交BC于点FABC中，AB AC ,在AB上取点D , ，若F是DE中点，求证：BD CE 。AACCBBEEA

9、、心例题6例6、如图， ABC中，D是BC边的中点，E是AD边的中点，连结BE并延长交AC于点F 。求证：FC 2AF 。内一例题7例7、如图1-1 ,已知Rt ABC中，AB AC ,在Rt ADE中，AD DE ,连结EC ,取EC中点M ,连结DM和BM , (1)若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1-1 ,求证：BM DM且BM DM ; (2)将图1-1中的 ADE绕点A逆时针转小于45o的角，如图1-2,那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请 举出反例；如果成立，请给予证明。5、如图,ABC中，D是BC边的中点， BE AC于点E ,若 DAC 300,求证: