34.5.3函数模型的应用

1、4. 5.3函数模型的应用研读导学尝试考点学习目标核心素养指数、对数函数模型在实际问题中的应用会利用已知函数模型解决实际 问题数学建模根据实际问题建立函数模型能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题数学建模问题导学预习教材P148-P154,并思考以下问题：1 . 一次、二次函数的表达形式分别是什么？2 .指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么?新知初探»几类常见的函数模型名称解析式条件一次函数模型y= kx+ bkw0反比例函数模型k ,卜y= 一十 b xkw0二次函数模型一般式：y = ax2 + bx + c顶点式：y = a!x+I 2ay2,4ac b4aaw 0指

2、数函数模型y = b a + ca>0 且 aw 1, bw0对数函数模型y= mlogax+ na>0 且 aw 1, m w0哥函数模型y= axn+ baw 01 .某种动物繁殖数量 y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y=alog2(x+ 1).若这 种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到()A. 300 只B. 400 只C. 500 只D. 600 只解析：选 A.由题意可得 a=100.当 x= 7 时，y= 10010g2(7+ 1)= 300.2.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率，那么经过 x年(xCN*),该产品的产量y满足()A.

3、y=a(1 + 5%x)B. y=a+5%C. y=a(1 + 5%)x 1D. y= a(1 + 5%)x解析：选D.经过1年，y=a(1 + 5%),经过2年，y=a(1 + 5%)2,，经过x年，y=a(1+ 5%)x3.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a 0.5x+b,现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为 1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为 .7= a 0.51+b,解析：由11.5= a 0.5 +b,a=- 2,得Ib = 2,所以 y=-2X0.5x+2,所以3月份产量为y=2X 0.53+2=1.75（万件）.答案：1.75万件探究点HI指

4、数型函数模型的应用例I 一片森林原来的面积为 a,计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相 等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的4,已知到今年为止，森林剩余面积为原来的半.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年？【解】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1),则a(1 x)10=2a,即(1x)10=2，解得 x= 1 _ g i10.(2)设经过m年后森林剩余面积为原来的乎,则a(1-x)m=2a,即(=则篇=2，解得m=5.故到今年为止，该森林已砍伐了 5年.

5、(3)设从今年开始，最多还能砍伐 n年，则n年后剩余面积为 乎a(1x)n.令当a(1x)n>1a,即(1 x)'、2,则。，"02，则令/ 解得 nw 15.故今后最多还能砍伐 15年.求解策指数函数模型问题的求解策略(1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1 + p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和哥函数模型y= a(1 + x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时 间)的形式.解题时，往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解.(2)函数y=cakx(a, c, k为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在电学、生物学、人

6、口 学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定 系数法，即根据题意确定相关的系数.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)= Poekt(式中的e为自然对数的底数，po为污染物的初始含量).过滤1小时后，检测发现污1染物的含量减少了 1.511000,至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2(1)求函数关系式p(t);(2)要使污染物的含量不超过初始值的= 0.3)解：(1)根据题意，得po= poe k,5所以 e k = 5,所以 p(t)

7、=po!5/.(2)由P(t)=Pog：W Aopo,得g：W10-3,两边取对数并整理得t(1 3lg 2) >3,所以。30.因此，至少还需过滤 30个小时.探究点酉对数型函数模型的应用例 大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鞋鱼的游速可以表示为函数v=glog3卷，单位是m/s，。是表示鱼的耗氧量的单位数.(1)当一条鞋鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？(2)某条鞋鱼想把游速提高1 m/s,那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍.10.【斛】 由v= 2log3100可知，当0= 900时,1900 1v = ,log3100= 2log 39 = 1(m/

8、s).所以当一条鞋鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是 1 m/s.(2)由 V2 V1= 1 ,192101即 210g3 荷210g3莅=1，。2得一=9.%所以耗氧量的单位数为原来的9倍.互加保完(变问法)若本例条件不变：(1)当一条鞋鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是多少？(2)求一条鞋鱼静止时耗氧量的单位数.解：将9= 8 100代入函数解析式，1 1得v = 21og381 =2X 4= 2 (m/s),所以一条鞋鱼的耗氧重是8 100个单位时，匕的游速是2 m/s.1 00(2)令v=0,得210g3荷=0，即赤=1,则0= 100,所以一条鞋鱼静止时的耗氧量为100个

9、单位.求解策对数函数应用题的基本类型和求解策略（1）基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；（2）求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义.跟踪训练在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（米/秒）和燃料的质量M ，仆M（千克）、火箭（除燃料外）的质量m（千克）的函数关系式是v=2 000 1n 1 + m/当燃料质量是 火箭质量的 倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.解析：当v=i2 000米/秒时，2 0001n 1+m t= 12 000,所以1n 1 +答案：e

10、61探究点囱以图表信息为背景的函数应用题例3）某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 y（单位：pg）与服药后的时间t（单位： h）之间近似满足图中的曲线， 其中OA是线段，曲线ABC是函数y=kat（t>1, a>0,且k与a是常数）的图象.（1）写出服药后y关于t的函数关系式；（2）据测定，每毫升血液中含药量不少于2 pg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6: 00,为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？【解】 当0wt<1时，y=8t；0<t<1,t>1.X当 t>1 时，将 A(1,

11、8), B(2, 4亚代入 y=kat,f283得a =半,k= 8亚.所以y=f厂2 8 .2（2）设第一次服药后最迟经过t h第二次服药,依题意有t > 1.所以8 2X=2,解得 t = 5.因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h,即当天上午11: 00服药.圆倒£3圈解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息.(2)对已获信息进行加工，选跟踪训练择适当的函数模型.(3)求函数解析式.(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形.某药材种植基地准备种植某种药材，从历年市场行情可知，从 日起的300天内，该药材的市场售价 P(元/千克)与上市时间t(天)的关系可

12、以用如图所示的一条折线表示，该药材的种植成本Q(元/千克)与上市时间t(天)的关系可以用如图所示的抛物线表示.P = f(t),写出图中表示的种(1)写出图中表示的市场售价与上市时间的函数关系式 植成本与上市时间的函数关系式Q = g(t)；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯收益最大?解：(1)由题图可得市场售价与上市时间的函数关系式为 P = f(t)= 1300 t, 0<t< 200,怯300, 200<t< 300.12由题图可得种植成本与上市时间的函数关系式为Q=g(t)=(t- 150) + 100, 0<t<300.(2

13、)设从2月1日起的第t天的纯收益为h(t)(元/千克)，则由题意，得h(t)=f(t)-g(t),即 h(t)工2 1 175 200t + 2+ 2 , 0 , 200, :1 2 71 025I20?+2t2-' 200<t< 300.12当 0WtW200 时，h(t)=-200(t-50) + 100,所以当t = 50时，h(t)在区间0, 200上取得最大值100.12当 200<tW300 时，h（t） = 200（t350） + 100,所以当t = 300时，h（t）在区间（200, 300上取得最大值 87.5.综上可知，当t=50时，h取得最大值

14、，最大值为100,即从2月1日开始的第50天上市，该药材的纯收益最大，最大纯收益为100元/千克.验任反愦达标 1 .某市的房价（均价）经过6年时间从1 200元/m2增加到了 4 800元/m2,则这6年间平均每年的增长率是（）B. 50%A. 600 元C.3/2-1D.3/2+ 1解析：选C.设6年间平均年增长率为 x,则有1 200（1 +x）6=4 800,解得x= 3/2-1.2 .在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为 4毫米的电线时，电流强度为320安， 则电流通过半径为 3毫米的电线时，电流强

15、度为 （）A. 60 安B. 240 安C. 75 安D. 135 安解析：选D.由已知，设比例常数为k,则I=k r3.由题意，当r = 4时，1= 320,故有320= kX43,解得 k = 320= 5,所以 I = 5r3. 64故当 r = 3 时，I= 5 X 33= 135（安）.故选 D.3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过 A万元，则超过部分按10g5（2A +1）进行奖励.记奖金为 y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；（2）如果业务

16、员小江获得 3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？解：（1）由题意知，当 0WxW8时，y=0.15x;当x>8时,y= 8X 0.15 + log 5(2x 15)= 1.2+log5(2x-15),所以0.15x, 0<x<8, y1.2+ log5 (2x 15) , x>8.(2)由题意知1.2+log5(2x 15) =3.2,解得x= 20.所以，小江的销售禾U润是20万元.鼻化母优,询美I凡固提升A基础达标1 .某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是280元D

17、.A. 310 元解析：选B.设函数解析式为y= kx+ b(kw 0),C. 290 元函数图象过点(1, 800), (2, 1 300),k+b=800,则|2k+ b= 1 300,k=500,解得b= 300,所以 y=500x+300,当 x=0 时，y= 300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元.2 .向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()解析：选A.从题图看出，在时间段0, t1, t1, t2内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在0, tl时间段内上升慢，在tl, t2时间段内上升快，

18、于是下面大，上面小，故选A.3 .某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内， 他的这只股票先经历了 3次涨停（每 次上涨10%）,又经历了 3次跌停（每次下降10%）,则该股民这只股票的盈亏情况 （不考虑其 他费用）为（）A .略有亏损B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析：选A.由题意可得（1 + 10%）3（1 10%）3= 0.970 299=0.97<1.因此该股民这只股票的 盈亏情况为略有亏损.4 .把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1（C）,空气的温度是 T0（C）,经过t分钟后物体的温度 T（C）可由公式T=T0+（T1 丁0把一0.25t求

19、得.把温度是90 c的物体， 放在10 C的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 C,那么t的值约等于（参考数据：ln 3 1.099, ln 2 = 0.693）（）A. 1.78B. 2.77C. 2.89D. 4.40解析：选 B.由题意可知 50= 10+（90- 10） e 0.25t,整理得 e 0.25t=2,即0.25t=ln 2 = In 2 = 0.693,解得 C2.77.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗， 开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用.当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x, y分别为.解析：由三角形相似，24

20、 y x r 5得不，,得 X=L24- y),所以 S= xy=4（y12）2+180,故当y=12时，S有最大值，此时 x= 15.答案：15, 126.放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化.常把它的剩余质量 变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T1.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如下:t(单位时间)0246810A(t)3202261601158057从以上记录可知这种元素的半衰期约为 个单位时间，剩余质量随时间变化的衰 变公式为A(t)=.解析：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为Ao=320,则经过时间tt1 1-i

21、4t的剩余质量为 A(t)=Ao右；2 = 320 2(tR).t一4答案：4 320 2 (t>0)7 .某种细菌经30分钟数量变为原来的 2倍，且该种细菌的繁殖规律为 y=ekt,其中k 为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则 k=,经过5小时， 1个细菌通过繁殖个数变为 .解析：由题意知,当t = 2时，y=2,即2=e2k,所以 k=2ln 2,所以 y= e2tln 2.当 t=5 时，y=e2X5Xln 2= 210= 1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.答案：2ln 2 1 0248 .燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究

22、燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行 速度v(单位：m/s)可以表示为v= 5log2：Q0，其中Q表示燕子的耗氧量.(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解：(1)当燕子静止时，它的速度v= 0 m/s,代入题中给出的函数关系式，可得0=5log2Qj,解得Q = 10,即燕子静止时的耗氧量是10个单位.80(2)将Q = 80代入题中给出的函数关系式，得v=5log2元= 510g28= 15,即当一只燕子的耗氧量是 80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.9 .某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的

23、性能 指标值y与这种新材料的含量 x(单位：克)的关系为：当0Wx<6时，y是x的二次函数；当1x>6时，y=3j .测得数据如表(部分)x(单位：克)0129y074319(1)求y关于x的函数关系式y=f(x)；(2)求函数f(x)的最大值.解：当0Wx<6时，由题意，设 f(x) = ax2 + bx+ c(a 丰 0),f f (0) = c= 0, 7由表格数据可得<f(1) =a+b+c= 4,If (2) =4a+2b+c = 3,1 1a= 一 4，解得b=2,I nc= 0,所以，当0Wx<6时，1 2f(x)= - 4x + 2x,tiI s

24、t -a 也/口口弋t i当x>6时，f(x)= & J.由表格数据可得f(9)= 打 =9,解得t= 7.所以当x>6时，f(x)= g I ,1x2+2x, 0<x<6,4综上，f(x)= 17iy ， x>6.(2)当 0Wx<6 时，r,、12c 1 ,、2f(x)= 4x + 2x= 4(x- 4)+4,所以当x=4时，函数f(x)的最大值为4;t i J7当x>6时，f(x)=J单倜递减,丁7所以f(x)的最大值为f(6)=i =3.因为4>3,所以函数f（x）的最大值为4.B 能力提升10.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩

25、小，刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V= a e"已知新丸经过50天后，体积变为?a.若一个新丸体积变9为27a,则需经过的天数为（）A. 125C. 75解析：选C.由已知得4a=a e-50k, 92即 丁9= 3 .所以枭=;!a=（e 50k）2a = e 75ka,所以t= 75.11.某公司对营销人员有如下规定：年销售额B. 100D. 50x（万元）在8万元以下，没有奖金；年销售额x（万元），xC 8 , 64时，奖金为y万元,且y=logax, yC 3, 6,且年销售额越大,奖金越多；年销售额 x（万元）超过64万元，按年销售额的10%发奖金.求奖金y关于x的函数解析式；（2）某营销人员争取年奖金 yC 4, 10（万元），求年销售额x在什么范围内.解：依题意知y= logax在xC 8, 64上