中考必会几何模型：截长补短辅助线模型

1、WANG截长补短辅助线模型7模型：截长补短A B C D如图，若证明线段 AB、CD、EF之间存在 EF = AB + CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图，在 EF上截取EG = AB,再证明 GF =CD即可.补短法：如图，延长 AB至H点，使BH = CD,再证 明AH = EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系 .截长，指在长线端中截取一段等于已 知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段 .该类题目中常出现等腰三 角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程 .模型实例例1:如图，已知在 ABC 中，/C=2/B, /

2、1 = /2 .求证：AB =AC + CD .证法一，截长法：如图，在 AB上取一点 E,使AE= AC,连接DE.,. AE=AC, /1 = /2, AD=AD,ACDA AED ,.CD = DE, / C=/ 3 . . / C=2Z B, ./ 3=2ZB = Z 4+Z B , ./ 4=/ B ,.DE = BE ,.CD = BE. AB =AE + BE,.AB = AC + CD .证法二，补短法:如图，延长 AC至ij点E,使CE = CD,连接DE . . CE = CD,4=Z E .3=Z 4+Z E,3 = 2/ E . / 3=2/B, E=/ B . / 1

3、 = / 2, AD = AD , EADA BAD ,，AE=AB.又 AE = AC + CE, . AB = AC + CD .例 2:如图，已知 OD平分/ AOB , DCXOA 于点 C, ZA = Z GBD .求证：AO + BO = 2CO .证明：在线段 AO上取一点巳使CE=AC,连接DE .CD = CD, DCXOA,. ACDA ECD, . / A = / CED ./ A = / GBD , . / CED = Z GBD ,. 180°-Z CED=180°-Z GBD , . / OED = Z OBD .OD 平分/ AOB , . /

4、 AOD = / BOD .OD = OD,. OEDA OBD ,. OB = OE,. AO + BO = AO + OE=OE + 2CE + OE=OE + CE+OE + CE=2 (CE + OE) = 2CO .跟踪练习1.如图，在4ABC 中，/BAC=60°, AD 是/ BAC 的平分线，且 AC=AB+BD .求/ ABC 的度数.【答案】证法一：补短B D C延长 AB到点E,使BE = BD .在 BDE中， . BE = BD, E=Z BDE, ./ ABC = Z BDE +Z E = 2/E .又 AC = AB + BD ,.AC =AB + BE

5、,AC = AE . AD 是 / BAC 的平分线，/ BAC = 600, / EAD = / CAD = 600妥=300 . . AD = AD , AEDA ACD ,，/E=/C . . /ABC = 2/E,，/ABC = 2/C . . / BAC = 600, ./ ABC + Z C= 1800-600= 1200, 3 3 ZABC = 1200, /ABC = 800 .2证法二：在 AC上取一点F,使AF=AB,连接DF. .AD是/ BAC的平分线，/ BAD = / FAD . AD =AD , . BADA FAD , ./ B=Z AFD , BD = FD

6、. AC = AB + BD , AC = AF + FC .FD=FC , . FDC = Z C . . / AFD =/ FDC + Z C, ./ B=Z FDC + Z C=2Z C . . / BAC + Z B + Z C= 1800,3 3 ZABC = 1200, /ABC = 800 .2 2.如图，在 ABC 中，/ ABC = 600, AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证：AC = AE + CD .【答案】如图，在 AC边上取点F,使AE = AF,连接OF. / ABC = 600,/ BAC +Z ACB = 1800-Z ABC = 1200 .

7、 AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB,/ OAC = / OAB = DBAC , / OCA = / OCB = DACB , 22/ AOE = / COD = / OAC + / OCA = ? BAC ? ACB = 600,. / AOC = 180°-Z AOE = 1200 AE=AF, /EAO = /FAO, AO=AO, . AOEA AOF (SAS), . / AOF = Z AOE =60°, . / COF = / AOC -Z AOF = 60°, . / COF = / COD . CO = CO, CE 平分/ ACB ,

8、 . CODA COF (ASA),. CD = CF .AC=AF + CF, . AC = AE + CD ,3.如图,/ABC +/BCD =180°, BE、CE 分别平分/ ABC、/ DCB .求证：AB+CD= BC .【答案】证法一：截长 如图，在 BC上取一点F,使BF=AB,连接EF . . / 1 = Z ABE , BE= BE, ABEAFBE,，/3=/4 . . / ABC + Z BCD = 1800,BE、CE 分别平分/ ABC、/ DCB , . / 1 + / 2= 1 / ABC + 1 Z DCB22=1 X18°°=9

9、°° , 2 ./ BEC = 900 ,. / 4+/ 5= 900, / 3+/ 6= 900 ./ 3= / 4 , Z 5= / 6 . . CE = CE,/ 2=/ DCE ,CEFA CED,CF=CD .,. BC = BF+CF, AB = BF,，AB + CD = BC证法二：补短如图，延长 BA到点F,使BF = BC,连接EF . . / 1 = Z ABE , BE= BE, . BEFA BEC,.EF = EC, / BEC = Z BEF . . / ABC + Z BCD = 1800,BE、CE 分别平分/ ABC、/ DCB ,. /

10、 1 + / 2= 1 / ABC + 1 Z DCB 22=1 X180o= 900 , 2BEC = 900 ,BEF = Z BEC= 900, ./ BEF + Z BEC= 1800, C、E、F三点共线. AB / CD, F=Z FCD . EF = EC, / FEA = Z DEC, AEFADEC,.AF = CD .-.BF = AB +AF, .BC = AB +CD .4.如图，在 ABC 中，/ ABC =900, AD 平分/ BAC 交 BC 于 D, / C=300, BEX AD 于 点 E .求证：AC - AB =2BE .【答案】延长BE交AC于点M

11、.BE ±AD ,/ AEB = / AEM = 900. / 3=900/ 1 , /4 = 900/2, /1 = /2, / 3=/ 4,AB =AM . . BE ±AE , BM =2BE . . / ABC = 900, / C= 300,/ BAC = 600 . AB =AM ,3= / 4=600, / 5= 900-Z 3=300, ./ 5=/ C,CM = BM ,AC-AB=CM = BM= 2BE .5.如图，RtAACB 中，A=BC, AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D, CEXAD 交 AD 于点 F, 交AB于点E.求证：AD =

12、2DF+CE.【答案】在AD上取一点G,使AG = CE,连接CG . . CEXAD ,/ AFC =900, Z 1 + Z ACF = 900 . Z 2+Z ACF = 900, ./ 1 = Z 2 . . AC = BC, AG =CE,ACGACBE,3=/B = 450,. / 2+Z 4= 900-Z 3 = 450 . / 2= / 1 = 1 / BAC = 22.50, 2.Z 4=450/ 2=22.50,.Z 4=/ 2=22.50 .又 CF=CF, DGXCF, CDFACGF, DF=GF .1 . AD=AG+DG, AD = CE+2DF .6.如图，五边形 /CDE .ABCDE 中，AB=AE, BC + DE = CD ,/B+/E= 1800 .求证：AD 平分【答案】如图，延长 CB到点F,使BF=DE,连接AF