三角函数图像与性质课件

1、精品教学课件设计| Excellent teaching planX轴上的点x重合;由于y cosx cos( x) sin万(x) sin(x )，所以余弦函数y cosx ，R与函数 y sin(x ) , x R 2是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移_个单位得到，即:自变量x02322sinx01010函数值y12101(2)y sin x 1 , x 0,2 .函数y sin xy cosx函数y sin xy cosx定义域x Rx R值域1,11,14.正弦、余弦函数的定义域、值域1.3.2三角函数的图像与性质1 .利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：(几何

2、作法)(1)在直角坐标系的 X轴上任取一点 。1,以Oi为圆心作单位圆，从。O1与x轴的 交点A起，把O。1分成12等份，过 。1上各点作x轴的垂线，可得对应于0, , ,L ,2等角的正弦线；6 3 2(2)把X轴上0 2这一段分成12等份，把角X的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与(3)用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y sinx, x 0,2 的图象。因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数y sinx, x 2 k ,2( k 1) ( k Z)且 k 0 的图象与函数y sinx, x 0,2 的图象向左、y sinx, x 0,2 的图象的形状完全相同，只是位

3、置不同，于是只要将函数右平移，就可得到函数 y sinx, x R的图象。2 .余弦函数的图象5 .正切函数y tan x的定义域是什么?6 .正切函数是不是周期函数?Q tan xtanx x R,且x k ,k z , 27 .作 y tanx,是 y tan是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。n11-,的图象2 2的一个周期。说明：(1)正切函数的最小正周期不能比 小，正切函数的最小正周期是(2)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan x xR,且 x 2图象，称正切曲线(3)由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组

4、成的。(1)定义域：x | x(2)值域：R时，tan x 2观察：当x从小于2精品教学课件设计| Excellent teaching plan当x从大于k k z，x k时，tan x。22(3)周期性：T ;(4)奇偶性：由tan x tan x知，正切函数是奇函数；(5)单调性：在开区间 _ k _ k k z内，函数单调递增。2 2例1 :求下列函数的定义域：(1) y cos(x ) ；(2) y gin x(3) y，25 x2 lgsin x例2:求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？(1) y cosx 1 , x R;(2) y sin 2x, x R

5、.例3:求下列函数的值域:(1) y1sin2 x 1(2) ysin xsin x 2例4：求函数 y sin x cosx的值域。例5：求函数y J3cosx sin x的值域。例6:求函数y 3 4sin x 4cos?x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值。例7：求函数 y sin x cosx sin x cosx的值域。例8：如图，有一快以点。为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边 AD落在半圆的直径上，另两点 B、C落在半圆的圆周上，已知 半圆的半径长为a,如何选择关于点 O对称的点A、D的位置，可以使矩形 ABCD的 面积最大？

6、31例9：已知函数y a bcos3x (b 0)的最大值为 一，最小值为 一，求函数y 4a sin3 bx的最大值和最小值。22例10：已知函数y 2asin2x acos2x a b的定义域是0,值域是5,1,求常数a,b .(2) y tan 3x 一 6例11：求下列函数的周期：(1) y 3tan x 一例12：求函数y tan 3x 一 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲 3线如何变换得到。例13：用图象求函数 y , tanx , 3的定义域。例 14. 'tanx 0”是 x 0”的 条件。例15.与函数y tan 2x 一 的

7、图象不相交的一条直线是()4Ax - B x C x -Dx 2248例16.函数y J1tan x的定义域是().例 17.函数 y tan1例2回出函数y sin 2x , x R, y sin -x, x R的函数简图。 x tan x 1 x k 一，k Z 的值域是（）.2例18.函数y tanx cot x的奇偶性是（），周期是（）.1.3.3函数y Asin（ x ）的图象1. y Asin x型函数的图象一般地，函数y Asinx, x R（A 0, A 1）的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（ A 1时）或缩短（A 1时）到原来的A倍（横坐标不变的情况下） 而得到，因

8、此，y Asinx, x R的值域是A, A,最大值为A, 最小值为 A .2. y sin x型函数的图象一般地，函数y sin x, x R （0,1）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（1时）或1伸长（01时）到原来的 次数f ,称为振动的频率。x 称为相位，x 0时的相位称为初相。T 25.图象的变换一般地，函数y Asin（ x ）, x R的图象（其中 A 0,0）的图象，可看作由下面的方法得到：把正弦曲线上所有点向左（当0时）或向右（当 0时）平行移动| |个单位长度；1 ，、再把所得各点横坐标缩短（当1时）或伸长（当01时）到原来的一倍（纵坐标不变）；再把所得各点的纵

9、坐标伸长（当 A 1时）或缩短（当0 A 1时）到原来的A倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。1 -例1回出函数y 2sinx, x R, y -sin x, x R,的简图。倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。3. y sin（ x ）型的函数图象一般地，函数y sin（x ）（0）, x R的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（0时）或向右（0时）平行移动| |个单位而得到。4. A,的物理意义当y Asin（ x ） , x 0,）（其中A 0,0）表示一个振动量时，A表示这个量振动时离开平衡位置的2最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间 T

10、称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的例3 画出函数 y sin(x ) , x R, y sin(x ), x R 的简图。34例4画出函数y 3sin(2x )的简图。31 .根据函数图象求解析式例1 ：已知函数y Asin( x1.3.4函数y Asin( x )的解析式)(A 0,0) 一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。2.由已知条件求解析式例2：已知函数y Acos( x)(A0,0, 0)的最小值是 5,图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差一，且图象经过点4(0, J，求这个函数的解析式。例3：已知函数y Asin( x0 ,0 , | |)的最大值为2，

11、2 ,最小值为 J2 ,周期为3且图象过点(0, ),求这个函数的解析式。4精品教学课件设计| Excellent teaching plan2t212例1解:(1) x3R,x R；(2) sinx 0, . x 2k ,2k(k Z)；(3)25 x2 0例2解:sin x 02kx 2k x 5,)U0,(k Z)(1)使函数ycosx 1x R取得最大值的x的集合，就是使函数 ycosx, x R取得最大值的x的集合x|x 2k ,k Z,所以，函数 y cosx 1, xR的最大值是112.(2)令Z 2x ,那么xR必须并且只需z且使函数yR取得最大值的 z的集合是z| z - 2

12、k ,k2Z,由 2x z - 2k 2即：使函数y sin2x, x R取得最大值的x的集合是x|xZ,函数的最大值是1.例 3 解：(1)0.2sin x2 1 sin x 12,1所以,值域为1叫 y 1.例4解:例5解:例6解:(2)sin x1 sinx 1,11、一,所以，值域为y | 1 y .33sin xcosx、2sin(xsin(x4,2sin( x函数sin x cosx 的值域是J2?J2.3 3 cosx sin x 2(32sin(x ) 1 , 24y 3 4sinsinx,则1-t 一，即 x2例7解：令sin x一 1-cosx sin 22sin( x )

13、x)2,2sin(x所以，函数,22x 4cos x 4sin x 4sin1 t 1, . y 4(t -)22,52k或x 2k62k ( k Z )时,cosx t,贝U sin x cosxymax4(sin x1 t 1),3)2)2Z)时，yminJ3cosx sinx 的值域为2,2.2,精品教学课件设计| Excellent teaching plan3tan 3x 的图象。3又: t sin x cosx72sin(x ), 42 t ,2,1 时，Ymin1,当t亚时，ymax 2诋2收2所以，函数 y sin xcosxsin x cosx 的值域为1,2 22.例8解：

14、设 AOB ，则ABa sin , OA a cos , S asin22acos a 2sin cos当sin2取得最大值1时,S取得最大值a2,此时,一，OA4答：A、D应该选在离。点之a处，才能使矩形 ABCD的面积最大,最大面积为例9解：ya bcos3x ( b0)当 cos3x1 时，ymax当 cos3x 1 时，ymin12,由得sin 3x2sin 3x ,所以，当 sin3x1时,ymax2 ,当 sin3x 1 时，ymin2 .例10解:2y 2asin xacos2xa(1cos2x) a cos2x2a 2a cos2x bx 0,-, 2x 0,cos2x 1 ,

15、0,则当 cos2x1时函数取得最大值1,当 cos2x1时函数取得最小值5 ,4a b 1解得:3 a2 ,b 50时,则当cos2x1时函数取得最大值cos2x1时函数取得最小值5,4a解得:所以,例 11 (1)答:。（2）例12解：由3x所求定义域为k18 318答:一 。y Atan 30,0的周期T一得x2k 5x |x R,且x ,k z318值域为R,周期T 一,是非奇非偶函数，在区间3z上是增函数。将 y tanx图象向右平移一个单位，得到y tan3x 一的图象；再将31八tan x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一倍（纵坐标不变），就得到函数y33精品教学课件设计| E

16、xcellent teaching plan例13解：由tanx 串 0得tanx J3,利用图象知，所求定义域为k -,k - k Z ,亦可利用单位32圆求解。x02322sin x010102sin x020201- -sin x2020120例1解：先画出它们在0,2 上的图象，再向左右扩展,例18奇函数一2346由图可知，对于同一个 x, y 2sinx, x 0,2 的图象上的点的纵坐标等于y sin x , x 0,2 的图象上的点的纵坐标的2倍，因此，y 2sinx,x R的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变的情况下）而得到的。-sin x, x

17、R的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的-（横坐标不变情况下）22x042342x02322sin2x01010例2解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展,x02341-x2023221 sin-x01010例3解：由函数图象的平移知:y精品教学课件设计| Excellent teaching plansin(x 一), x3R的图象可看作y sin x , xR的图象向左平移 一个单位得到;3sin(x ), x4R的图象可看作y sin x , xR的图象向右平移 一个单位得到。可得图象如下:4,先画出它在长度为一个周期内x6123712562x 3023223sin(2 x -)

18、03030例4解:函数的周期为T函数y 3sin(2 x )的图象可看作由下面的方法得到的: 32的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图:sin(x )的图象上；再把图象上所点的横坐标缩 3y sin x图象上所有点向左平移一个单位，得到3，一，1 r ，短到原来的L,得到y sin(2x 2的图象。问题：以上步骤能否变换次序？一)的图象；再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到y 3sin(2 x -)33- y 3sin(2 x )3sin 2(x 一),所以，函数 y 3sin(2 x )的图象还可看作由下面的方法得到的: 63y sin x图象上所点的横坐标缩短到原来的1,得到函数y sin 2x的图象；再把函数 y sin2x图象 2上所有点向左平移 一个单位，得到函数 y sin 2(x6-)的图象；再把函