角平分线性质知识点总结及典型试题

1、角平分线的性质知识点总结及典型试题知识点一：角平分线的定义：从一个角的顶点出发， 把这个角分成两个相等的角的射线， 这条射线叫这个角的平分线1.如图将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，得折痕BE、 BF ，则 EBF 的大小为2如图，在 ABC 中， B= C=60°，点 D、 E 分别在边AB 、 BC 上，将 BDE 沿直线DE 翻折，使点 B 落在 B1 处，DB 1、EB1 分别交边AC 于点 F、G若 ADF=80°，则 GEC=3.如图，在 ABC 中， A=70° ，点O 是 ABC 和 ACB内角平分线的交点，则BO

2、C=_4. 如图， BD、CD分别是 ABC 的两个外角 CBE、BCF 的平分线，试探索 BDC与 A 之间的数量关系5.如图，在ABC 中，ABC 的平分线与外角 ACE 的平分线交于点D 。试说明 D=1/2A 。知识点二：角平分线的画法：（可以用尺规作图）如图 4，已知 AOB，求作：射线OP，使 OP平分 AOB.作法：（ 1）以 O为圆心，以任意长为半径作弧，分别与OA、OB交于点 C、D；（ 2）分别以C、 D 为圆心，大于CD一半长的线段为半径作弧，两弧交于点P；（ 3）作射线 OP，射线 OP即为所求 . 作图依据是 SSS定理1.如图，以 AOB 的顶点 O 为圆心，适当长

3、为半径画弧，交OA 于点 C，交 OB 于点 D再分别以点 C、 D 为圆心，大于 1/2 CD 的长为半径画弧，两弧在AOB 内部交于点 E，过点E 作射线 OE，连接 CD则下列说法错误的是 （）A 射线 OE 是 AOB 的平分线 B COD是等腰三角形CC、 D 两点关于 OE 所在直线对称D O、 E 两点关于 CD 所在直线对称2.如图，在 ABC中， C=90°， B=30°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、 N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结 AP 并延长交 BC 于点 D，则

4、下列说法中正确的个数是（） AD 是 BAC 的平分线； ADC=60° ；点 D 在 AB 的中垂线上； S DAC ： S ABC=1 ： 3A 1B 2C3D 43.如图所示 ,已知 AOB 和两点 M 、N 画一点 P,使得点 P 到 AOB 的两边距离相等,且 PM=PN.知识点三：角平分线的性质定理： 在角的平分线上的点， 到这个角的两边的距离相等符号语言：P 是 AOB的平分线 OC上一点， PD OA于 D， PE OB于 E， PDPE已知：如图， OC是 AOB的平分线， P 为 OC上任意一点， PD OA于 D， PE OB于 E求证：PD PE证明：OC是

5、AOB的平分线， 1= 2 PD OA于 D， PEOB于 E， ODP=OEP=90o 又OP=OP, ODP OEP(AAS) PD PE点睛练习：O1. 判断：12ABDCDPPEOC图4AB如图 ,OP 是 AOB的平分线，则PD=PE（）如图 ,PD OA于 D， PE OB于 E，则 PD=PE（ ）在 AOB的平分线上任取一点Q，点 Q到 OA的距离等于 3cm, 则点 Q到 OB距离等于 3cm（）2、 ABC中， C=90°，AD为角平分线， BC=32，BD DC=9 7,则点 D到 AB的距离为 ( )A.18cm B.16cmC.14cmD.12cm3.如图，

6、 OP 平分 MON ， PA ON 于点 A ，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则PQ 的最小值为（）A 1B 2C3D44.如图，在四边形ABCD 中， A=90°， AD=4 ，连接 BD ， BD CD ， ADB= C若 P是 BC 边上一动点，则 DP 长的最小值为5.如图，在 ABC 中， A=90°， C=45°，AB=6cm ， ABC 的平分线交 AC 于点 D ，DE BC，垂足为 E，则 DC+DE= 6cm 6如图， ABC 是等腰直角三角形， C=90°，BD 平分 CBA 交 AC 于点 D， DE AB于

7、 E 若 ADE 的周长为 8cm ，则 AB=cm 7如图所示在 ABC 中， C=90°，AC=BC ，AD 平分 CAB 交 BC 于 D，DE BA 于 E ，AB=6 厘米，则 DEB 的周长是厘米8. 如图所示， ABC中， AB=AC， M为 BC中点， MD AB于 D， ME AC于 E。求证： MD=ME。9. 如图，已知： AB=AC， BD=CD， DE AB 于点 E ， DF AC 于点 F 求证： DE=DF10. 已知 , 如图所示， BD是 ABC的平分线， AB=BC，P 在 BD上，PM AD,PN CD, 求证：PM=PN11. 已知，如图，

8、P23. 如图 113 3，在 ABC中， C=90°AD平分 ABC，交 BC于 D，若BC=10cm， BD=6cm，求点 D 到 AB的距离AAACDEPBMCODB BDC12 如图， OP 是 AOB 的平分线，点P 到 OA 的距离为3，点 N 是 OB 上的任意一点，则线段 PN 的取值范围为（）A PN 3B PN 3C PN3D PN313 如图，已知点P 是 AOB 角平分线上的一点，AOB=60° ，PD OA ， M 是 OP 的中点，DM=4cm ，如果点 C 是 OB 上一个动点，则 PC 的最小值为（）A2B 23 C4D 4314. 如图，点

9、 E 是 BC 的中点， AB BC ， DC BC ， AE 平分 BAD ，下列结论： AED=90 ° ADE= CDE DE=BE AD=AB+CD ，四个结论中成立的是（）A B C D 15. 如图，已知在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高线， BE 平分 ABC ，交 CD 于点 E，BC=5 ，DE=2 ，则 BCE 的面积等于（） A 5B 7C 10D 3知识点四：角平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上 .符号语言：PD OA于 D，PE OB于 E， PDPE，点 P 在 AOB的平分线上已知： PD

10、 OA于 D， PE OB于 E， PD PE求证：点 P 在 AOB的平分线上A证明：作射线 OPDPD OA于 D， PE OB于 E ODP=OEP=90o P又OP=OP, PD PE， ODP OEP(HL) DOP= POE，点 P 在 AOB的平分线上 OEB点睛练习：1. 判断：如图，若 PD=PE，则 OP是 AOB的平分线 ( )如图，若 PD OA于 D， PEOB于 E，则 OP是 AOB的平分线 ( )已知 Q到 OA的距离等于 3cm, 且 Q到 OB距离等于 3cm，则 Q在 AOB的平分线上（）如图，已知 B=C=90o ， M是 BC中点， MN AD，若 1

11、 2，则 3 42. 如图， ABC的角平分线 BM、CN相交于点 P，(1) 求证：点 P 到三边 AB、BC、CA的距离相等。 (2) 求证：点 P 在 BAC的平分线上吗？3.如图， DE AB 于 E，DF AC 于 F ，若 BD=CD 、BE=CF （1 ）求证： AD 平分 BAC ；（2 ）直接写出 AB+AC 与 AE 之间的等量关系ADCA2 1DNMNPMP34OEBABBC4.如图， D 为 BAC 的外角平分线上一点并且满足BD=CD ， DBC= DCB ，过 D 作DE AC 于 E ，DF AB 交 BA 的延长线于F，则下列结论： CDE BDF CE=AB+

12、AE ； BDC= BAC ； DAF= CBD 其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个5.如图，在 ABC 中， C=90°， A=30°， ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D，DE AB 于点 E ，若 DE=3cm ，则 AC= （） A 9cmB 6cmC 12cmD 3cm6如图， AB AC ， AG BG ， CD、 BE 分别是 ACB ， ABC 的角平分线， AG BC ，下列结论： BAG=2 ABF ； BA 平分 CBG ； ABG= ACB ； CFB=135° 、其中正确的结论是（） A B C D 知识点五：三角

13、形三条内角平分线交于一点， 这点到三边的距离相等。交点叫做内切圆的圆心，即内心。1、在 ABC内部取一点P 使得点 P 到 ABC的三边距离相等，则点P 应是 ABC的哪三条线交点（）（ A）高（ B）角平分线（ C）中线（ D）边的垂直平分线2. 如下图所示，直线l 1、l 2、 l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：( )A.一处B.两处C.三处D. 四处3.如图， ABC 的三边 AB ， BC ，CA 长分别是20， 30，40，其三条角平分线将 ABC 分为三个三角形，则S ABO ： S BCO： SCAO 等于（）A

14、1：1：1B 1：2：3C2：3：4D3：4：56如图，直线l、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A 一处 B二处 C 三处 D四处7如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A ABC 的三条中线的交点B ABC三条角平分线的交点C ABC 三条高所在直线的交点D ABC 三边的中垂线的交点公公公OD BC ，OEAC ，7.如图，在 ABC 中， C=90°，O 为 ABC 的三条角平分线的交点，OF AB ，点 D、 E、 F 分别是

15、垂足，且AB=10cm ，BC=8cm ， CA=6cm ，则点 O 到三边AB 、AC 和 BC 的距离分别为（）A 2cm 、2cm 、 2cm B 3cm 、 3cm 、 3cmC 4cm 、 4cm 、 4cmD 2cm 、 3cm 、5cm知识点六：已知三角形的两条角平分线交于一点（内外角），那么这点与三角形另一交点的连线必平分这个角。1.如图 ,点 P 是 ABC的两个外角平分线BM、CN的交点， 求证： 点 P 在 BAC的平分线上。2. 如图 , ABC的一个外角的平分线 BM与 BAC的平分线 AN相交于点 P，求证：点 P在 ABC另一个外角的平分线上。3. 如图， 1=

16、2， 3= 4。求证： P 在 CAM的平分线上。4. 如图，在 ABC中， BAC和 ACB的角平分线交于点O。求证： BO平分 ABC。AAMABCBCAPoP13BCP4NMB2NCNM5.如图，在 ABC 中， ABC=50° ， ACB=60° ，点 E 在 BC 的延长线上， ABC 的平分线 BD 与 ACE 的平分线 CD 相交于点 D，连接 AD ，下列结论中不正确的是（）A BAC=70° B DOC=90° C BDC=35° D DAC=55°6如图，已知 BD 是 ABC 的内角平分线， CD 是 ACB 的

17、外角平分线，由D 出发，作点D 到 BC、AC 和 AB 的垂线 DE 、DF 和 DG ，垂足分别为E、F、G，则 DE、DF 、DG 的关系是7如图， ABC 的外角 ACD 的平分线 CP 与内角 ABC 平分线 BP 交于点 P ，若BPC=40 °，则 CAP=8.如图，已知点P 到 AE 、 AD 、 BC 的距离相等，下列说法： 点 P 在 BAC 的平分线上；点 P 在 CBE 的平分线上； 点 P 在 BCD 的平分线上； 点 P 在 BAC ， CBE ，BCD 的平分线的交点上其中正确的是（） A B C D 知识点七：平行线 +角平分线等腰三角形；角平分线等腰

18、三角形平行线1、如图 1 所示， BE 是 ABC 的角平分线，点D 是边F,求证： BDF 是等腰三角形。2.如图所示， BF、CF 是 ABC 的角平分线，过点F 作点 E，若 BC=12 ，求 DEF 的周长。BA 上的一点，DF AB 交 BCDFBC,交 BE 于 点与 D，作 EF BC 交3如图，在 ABC M，交 AC 于 N，若中， ABC 和 ACB 的平分线交于点BM+CN=9 ，则线段 MN 的长为（E，过点）A 6E作MNBC交B7C8AB 于D 94.如图，梯形 ABCD 中， AD BC，点 E 为 DC 的中点，且 AB AD BC， AE 与 BC 的延长线交

19、与 F 点， 求证： AE 平分 DAB 。A5如图，已知于点 E如果点FOP 平分 AOB ， AOB=60°， CP=2，CP OA ，PDOAM 是 OP 的中点，则DM 的长是（）于点D，PE OBBCDE6.如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC ， BF 是 ABC 的平分线， AFDC ，连接 AC、 CF ，求证： CA 是 DCF 的平分线 .7.如图所示 CD 是 ACB 的平分线， ACB=40°， B=70°，DE BC求 EDC 和 BDC 的度数8如图所示，AB CD， OAB 与 CD 之间的距离等于为 A、C的平分线的交点，OE

20、 AC于 E，且OE=1，则DAFCB9. 如图，已知 ABCD, E 是 CD上一点， AE、 BE 分别平分 DAB、 ABC。求证： E 是 CD 的中点。10. 如图，已知 ABCD, E 是 CD的中点， BE 平分 ABC。求证： AE平分 DAB。11. 已知，如图，在四边形 ABCD中，BC AB，AD=DC，BD平分 ABC.求证： BAD+ BCD=180° .12. 已知：如图，在 ABC中， C 2B， 1 = 2. 求证： AB=AC+CD.13、如图在 ABC中， C=90度，点 D在 BC上， DE垂直平分AB，且 DE=DC求 B 的度数。ADADAA

21、A12DEEEBDCBCBCBCCB图8D知识点八：角平分线与面积结合1.如图， AD 是 ABC 中 BAC 的角平分线， DE AB 于点 E，S ABC=7 ，DE=2 ，AB=4 ，则 AC 长是（）A3B 4C 6D 52.如图，三角形ABC 中， A 的平分线交 BC 于点 D ，过点 D 作 DE AC ，DF AB ，垂足分别为 E，F，下面四个结论：AFE=AEF ；AD 垂直平分EF；S?BFD/S ?CED=BF/CE EF 一定平行 BC 其中正确的是（）A BCD 3如图， AD 是 ABC 的角平分线， DF AB ，垂足为 F，DE=DG ， ADG 和 AED 的面积分别为 50 和 39，则 EDF 的面积为（）A11 B5.5C 7 D 3.54如图， BEF 的内角 EBF 平分线 BD 与外角 AEF 的平分线交于点 D ，过 D 作 DH BC 分别交 EF、EB 于 G、H 两点下列结论： S EBD ：S FBD=BE ：BF ； EFD= CFD ；HD=HF ； BH-GF=HG ，其中正确结论的个数有（）A 只有B 只有C只有D 5.如图，在Rt ABC 中， A=90°， ABC 的平分线BD 交 A