二项式定理的练习及答案

1、项式定理的练习及答案基础知识训练（一）选择题）6展开式中常数项是（A.第4项B.24C6C.C4D.22 .（x1）11展开式中x的偶次项系数之和是（）A.-2048B.-1023C.-1024D.10243 .（1J2）7展开式中有理项的项数是（）A.4B.5C.6D.74 .若Cn7与C：同时有最大值，则m等于（）A.4或5B.5或6C.3或4D.55 .设（2x-3）4=a0a1xa2x2a3x3a4x4,贝Ua0+a1+a2+a3的值为（）A.1B.16C.-15D.156 .（x31）11展开式中的中间两项为（）x512 八5 12A. Cnx , C1x B.八6 9 八5 10C

2、5 13八5 9Cnx , Cnx C.C1x ,C11xD.Cx17Cf1x13（二）填空题1752,7 .在（2xy）展开式中，xy的系数是，38._0_12 _2Cn 3Cn 3 Cn3nC：9. （35.5）20的展开式中的有理项是展开式的第项,10 .（2x-1）5展开式中各项系数绝对值之和是.2310.一-11 .（13x3xx）展开式中系数最大的项是12 .0.9915精确到0.01的近似值是.（三）解答题13 .求（1+x+x2）（1-x）10展开式中x4的系数*14 .求（1+x）+（1+x）2+（1+x）10展开式中x3的系数*15 .已知（1-2x）5展开式中第2项大于第

3、1项而不小于第3,求x的取值范围.16.若 f(x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展开式中,x的系数为21,问mrn为何值时,x2的系数最小?17.自然数n为偶数时，求证:_ 1_ 2_ 3_ 41 2Cn Cn 2Cn Cn2Cn 1 cn 32n 118.求8011被9除的余数-2n.14;3,求展开式19.已知（Jx=）n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为x20.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数.21.求(2x+1)12展开式中系数最大的项.参考解答：3一一_r6r2r_r6二rr34_41.通项TriC6x(三)C6x22,由6r0r4,常数项是T5C

4、e2,x2选(B)2 .设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1)f(1)(2)11/21024,选(C).2r3 .通项Tr1C7(J2)rC；22,当r=0,2,4,6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A)n1711714 .要使C1最大，因为17为奇数，则n或nn8或n=9,若n=8,要22使Cm最大，则m=8=4,若n=9,要使Cm最大，则m91或m-1m4或m=5,222综上知，m=4或m=5故选(A)5.C6.C7.也；8.4n;9.3,9,15,21310. (2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1,则所求和为35

5、.11. (1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=C15x915=(1-0.009)5=C0C；0.0090.9613.(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C4(x)4作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项C9(x)作积，故x4的系数是c9 c4135.14. (1 x) (1 x)2(1 x)10(1 x)1 (1x)10 =(x 1)11 (x 1),原式中1 (1 x)x '实为这分子中的x4,则所求系数为C；1.15.

6、由C51( 2x)_ 1_C5( 2x)C50C；( 2x)21x 10111- x 41016.由条件得m+n=21, x2的项为Cmx2故当n=10或11时上式有最小值，也就是2 22221 2399Cnx,则 CmCn(n 一).因 nCN,242m=11和n=10,或 m=10和n=11时，x的系数取小17 .原式=(C0_1_2Cn Cnn 1 n13CnCn ) (C nCnCnn 1 nCn ) 2n 1n 123.218 . 8011(811)11C1018111C1118110C108181k 1(k Z),11.一一kCZ,9k-1£Z,81被9除余&19

7、.依题意C：:C214:33C414C23n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=1Q105r设第r+1项为常数项，又Tr1C；0(Jx)10r(-=2)r(2)C；0x工x105r22令I05r02,t21C20(2)2180.此所求常数项为180220.(x23x2)5(x1)5(x2)5在(x+1)5展开式中，常数项为1,含x的项为c55x,在(2+x)5展开式中，常数项为25=32,含x的项为C；24x80x，展开式中含 x的项为1 (80x) 5x(32)240x ,此展开式中x的系数为24021 .设Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2

8、的系数，即有CW2Cr2 212C；"3 rC；211211 rC；2 2Crrr 12c12 C121/4-,r43，展开式中系数最大项为第5项，T5=16C42x47920x4三.拓展性例题分析n1例1在二项式&的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有24x理项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：r n nr 1Tr 1 Cn( - x)24 x,2n3r小二前三项的r0,1,2.得系数为：t1_ 11,t2Cn由已知：2t21211/.、n,t3 Cn n(n 1) ，24 81

9、1 -n(n 1) ,8n816 3rTr 1C8-1rxr0,1,2通项公式为8,Tr1为有理项，故163r是4的倍数，2r0,4,8.依次得到有理项为T1x-T5C8xxx,T9c88x2x2明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，(V2V3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.3101例2(1)求(1x)(1x)展开式中x5的系数；(2)求(x2)6展开式中的常x数项.分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1)可以视为两个二项展开式相乘；(

10、2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1)(1x)3(1x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：310.555用(1x)展开式中的常数项乘以(1x)展开式中的x项，可以得到Cwx；用31044445(1x)展开式中的一次项乘以(1x)展开式中的x项可得到(3x)(CioX)3CioX；用(1 x)3中的x2乘以(1 x)10展开式中的3 一 .一 2x3可得到3x3335 一C10x3C10x ；用(1x)3中的x3项乘以(1x)10展开式中的x2项可得到3x3 C2ox2_ 25-一 5Cwx ,合并同类项得x5项为:(C50C4o 3C30C12o)x563x5

11、 .122)5.x112rC；2x6 r ,可得展开式1121由xx展开式的通项公式Tr1C12(V2)Ix.x的常数项为C62924.说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求(1xx2)6展开式中x5的系数.分析：(1xx2)6不是二项式，我们可以通过1xx2(1x)x2或1(xx2)把它看成二项式展开.解：方法一：(1xx2)6(1x)x26一5244(1x6)6(1x)5x215(1x)4x4其中含x5的项为C：x56c5x515C14x56x5.含x5项的系数为6.方法二：(1xx2)61(xx2)62222

12、3242、52、616(xx)15(xx)20(xx)15(xx)6(xx)(xx)其中含x5的项为20(3)x515(4)x56x56x5.，x5项的系数为6.方法3：本题还可通过把(1xx2)6看成6个1xx2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项,x5项可由下列几种可能得到.5 55个因式中取x, 一个取1得到C6x .3个因式中取x, 一个取x2,两个取1得到C3 c3x3 ( x2).1个因式中取x,两个取1得到八1 八2、，/ 、，22C6 C5x ( x ) .合并同类项为(C5 c6c3c6c5)x56x5,5x项的系数为6.求证:(1)C1n 2C2ncn(2)Cn 1C

13、n21c23Cn.Cnn 1 n(2n1 1). n 1分析:二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值.解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用项式系数性质C0 C1n C2cn2n.解：（1）kCnn!n!(n 1)!k!(nk)!(k1)!(n k)!(k 1)!(n k)!k 1nCn 1，左边 nCn 1nCn1ncn1，左边n(C0nC1n1cn1)右边.CkCn1(n1)!(k 1)!(nk)!n!n!k!(n k)!(k 1)!(nk)!Cn，C1, Cn 1 n 1(Cn

14、 1n 1C21C2cn1)Lcn1 n1n 1(2n11）右边.说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式, 理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：但这需要逆用二项式定例 5：求 29C；028C 902 7C；02C2o 10的结果.10仔细观察可以发现该组合数的式与（1 2）的展开式接近，但要注意:10012(1 2)10 C00 C；0 2C2022C90 29C10 210从而可以得到:_ 2 _ 22 10 2 C1029C：0210C102(10 2C2o28C9o29C10)2

15、10 2Cio28C9029C10*0 1).例6利用二项式定理证明:32n2 8n9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n 28n 9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n29n1(81)n1,将其展开后各项含有8k,与82的倍数联系起来.解：32n28n9_n1_n1_98n9(81)n18n98n 1 Cn 1 8Cn 1 82 C： 1 8 1 8n 9n11nn128Cn18Cn188(n1)18n98n 1C1n 1 8nn 1Cn 182_n1_1_n2_n1_(8Cn18Cn1)64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题

16、，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.例7展开2x32x2分析1:用二项式定理展开式.5.3斛法1:2x22x0C50(2X)5.C5(2X)432x2C1(2x)32x2345C3(2x)2-3-C4(2x)-3-C53-C5(2x)2C5(2x)c2C5c22x2x2x_5_232x120x180135405243分析2:对较繁杂的式子,xx48x732x10先化简再用二项式定理展开.5.3斛法2:2x2x2(4x33)532x10/di4，)5C53(4x3)2(_134_2332C5(4x)(3)C5(4x)(3)34314553)C5(4x)(3)C5(3)1154(

17、102以123840x9635760x4320x1620x2437)5218032x120xx135-4x405243T-7"10,8x32x说明：记准、记熟二项式(ab)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将(xyz)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为().A.11B.33C.55D.66分析：(xyz)10看作二项式(xy)z10展开.解：我们把xyz看成(xy)z,按二项式展开，共有11“项”，即101010-k10k_k(xyz)(xy)zC0(xy)z.k0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(xy)10k展开,k10kk不同的乘积C10(xy)z(k0,1,10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积C1k)(xy)10kzk(k0,1,10).其中每一个乘积展开后的项数由(xy)10k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11109166,应选D.n,41