二阶电路的零输入响应

1、§ 5.6 阶电路的零输入响应5.6.1 二阶电路的初始条件初始条件在二阶电路的分析进程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电容两端电压UC的极性和流过电感电流iL的方向；第二，电容上的电压总是连续的，即Uc(0)Uc(O)(5-31)流过电感的电流也总是连续的，即Ul(0)iL(0)(5-32)确定初始条件时，首先要用(5-31)和(5-32)式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。5.6.2 RLC串联电路的零输入响应如图5-37所示为RLC串联电路。开关S闭合前，电容已经充电，且电容的电压uCU0,电感中储存有

2、电场能，且初始电流为I。当t0时，开关S闭合，电容将通过Rl放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磁场能有通过R转换成电场能，如此反复；同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，并如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。URUL由图5-37所示参考方向，据图5-37 RLC串联电路的零输入响应KVL可得且有iCCduCCR Ur式（5-33 ）Uc UrRi R喏LC吗dt2UlUl 0diL -出duCRC一C dtd2uCLC C 。将其代入上式得 dtUc是RLC串联电路放电过程以 uC为变量的微分方程,为一个线性常系数二阶微分方程。如果以电流i作为

3、变量，则RLC串联电路的微分方程为LCdpi RCdi i 0(5-34 )在此，仅以Uc为变量进行分析，令UcAept,并代入（5-33）,得到其对应的特征方程LCp2RCp10求解上式，得到特征根为'2P区工(5-35 )(5-36 )12L22LLCP2旦再2L.2LLC因此，电容电压uc用两特征根表示如下：PitP2tUcAieA2e从式（5-35）可以看出，特征根pi、p2仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。Pi、P2又称为固有频率，单位为奈培每秒（Np/s）,它与电路的自然响应函数有关。10。将初始条件和式（5-36 ）C(5-37)根据换路定则，可以确定方程

4、（5-33）的初始条件为uc（0）uc（0）U0,i(0)i(0)I0,又因为icCduC,所以有CduCdtdt联立可得AA2UoAPiA2P2首先讨论有已经充电的电容向电阻电感放电的性质，即Uo 0 且 Io 0。有AA2(5-38 )P2U0P2PiPiU0P2Pi将A、A2的表达式代入（5-36）式即可得到RLC串联电路的零输入响应，但特征根Pi、奈培是一个无量纲单位，以奈培（JohnNaPier,英格兰数学家）的名字命名。P2与电路的参数R、L、C有关，根据二次方程根的判别式可知卜面对这三种情况分别讨论1. R2哈，过阻尼情况Pl、P2只有三种可能情况,在此情况下，访、P2为两个不相

5、等的实数，电容电压可表示为(5-39 )U0PitP2tUcP2ePieP2PiUldueCU0PIP2CdtP2PiU 0Pit(eL(P2 Pi)PitP2 te eP2t)(5-40 )L包dtU。P2PiPitPieP2tP2e(5-41 )i其中利用了 P1P2的关系。LC由于Pi P2,因此t 0时,PitP2tP2P2PiPi0。所以t 0时uCP2Pi一直为正。从(5-40)可以看出，当t0时,i也一直为正,但是进一步分析可知,时,i(0 ) 0,当 t时，i()0,这表明i(t)将出现极值，可以求一阶导数得到,PitP2tPieP2e其中tmaxP2lnRPiPitmax为电

6、流达到最大的时亥限UC、i、UL的波形如图5-38所示。根据电压电流的关系，可以求出电路的其他响应为图5-38过阻尼放电过程中uC、i、u的波形CL从图5-38可以看出，电容在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电，有叫做电感释放能量，磁场衰减,过阻尼放电。当ttm时电感吸收能量，建立磁场；ttm时,趋向消失。当ttm时，电感电压过零点。2. R2欠阻尼情况当R 2,归时，特征根pi、 ,CP2是一对共轲复数，即Plk2Lj LC LC(5-42 )P2k2Lj.LC2RLC其中:R称之为振汤电路的最减系数;LCR2称之为振荡电路的衰减角频率。2L=称之为无阻尼自由振荡角频率，或浮振角

7、频率。LC显然有222o,令 arctan 一 ,则有0 cos0 sin ,如图 5-39所示。(5-43 )U0J2U0 0 t ej t e j t e J2U0e tsin( t )根据式(5-40) , (5-41 )可知.U0i 一eLUtsin( t)Ul00 - te sin( t )(544)(5-45 )(5-46 )从上述情况分析可以看出,Uc、i、Ul的波形呈振荡衰减状态。在衰减过程中，两种储能元件相互交换能量，如表5-2所示。Uc、i、Ul的波形如图5-40所示。图5-39n之间的关系0000根据欧拉公式jecosjsinj.ecosjsin可得Pi0e,P20e所以

8、有ucU0p2ep1tPieP2tP2PiAAJtWAJt0ee0ee图5-40欠阻尼情况下uc、i、uL的波形表5-20t0tt电容释放释放吸收电感吸收释放释放电阻消耗消耗消耗从欠阻尼情况下uc、i、ul的表达式还能得到以下结论：(1) tk,k0,1,2,3.为电流i的过零点，即uc的极值点。(2) tk,k0,1,2,3为电感电压Ul的过零点，即电流i的极值点。(3) tk,k0,1,2,3.为电容电压Uc的过零点。在上述阻尼的情况中,有一种特殊情况,0,此时p1、p2为一对共轲虚数,Pi j 0(5-47 )i U0CL-sin(0t)(5-48 )UlU°sin( 0t )

9、2(5-49 )P2j0代入至ij(5-44),(5-45),(5-46)式可得UcU°sin(由此可见，Ui、Ul各量都是正弦函数，随时推移其振幅并不衰减。其波形如图5-41所示3. Ruc、图5-41 LC零输入电路无阻尼时i、Ul波形2注,临界阻尼情况在此条件下，特征方程具有重根，即P1P2R2L全微分方程(5-33)的通解为Uc(A1A2t )e 2t根据初始条件可得所以，很容易得到A UoA2 2UoUc iUlUo(1t)eUotte(5-50 )(5-51 )LdtUoe t(1t)(5-52 )显然，uC、i图5-47 RLC串联电路的零状态响应Ul不作振荡变化，随着

10、时间的推移逐渐衰减，其衰减过程的波形与图5-38类似。此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将R2屋的过程称为临界非振荡过程，其电阻也被称之为临界电阻。§ 5.7 阶电路的零状态响应如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时，其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应。5.7.1 RLC串联电路的零状态响应电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零。t0时，开关S闭合。以Uc为电路的变量，根据VC济口KVL,有LCd-uCRC-duCucUs（5-63）dt2dt方程（5-64）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部

11、分为非齐次方程的特解UcUs,另一部分为对应齐次方程的通解UcAept,即UcUcUc。方程（5-63）对应的齐次微分方程12.,八ducduc(5-64 )LC2CRCcuc0dtdt方程（5-64）与方程（5-33）完全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。将结论分别表不如下其中UcS血即PiP2Piep2t)UsUlUsL(Pi P2)(ep1tep2t)PiU SPit(PieP2P2tP2e)Pi、p2为特征根，表达式与（5-35）式相同。UL、i和Uc的波形如图5-48所示,图5-48uL、i和Uc的波形图其中t一1一in匹t，是电感电压过零点，也是电流i达到最大值的时亥限max

12、max,P2PiP12.R2dL振荡充电过程,c电路响应表布为UcUc(i2t)e2tUsULSte2tUlUset(it)R其中，此情况下的充电过程也为非振荡充电。2L5.7.2RLC并联电路的零状态响应二阶RLC并联电路如图5-49所示，uC(0)0,iL(0)0。t0时，开关S断开。根据KCL有iCiRiLiS图5-49 RLC并联电路的零状态响应如果以1为待求变量，则有LC,2.d iLdt2£diLR dti L iS(5-65 )方程以(5-65)是二阶线性非齐次常微分方程，与(5-63)式的求解过程相同，其通解由特解iL和对应齐次微分方程通解iL两部分组成。如果is为直

13、流激励或正弦激励，则取稳态解1为特解而通解iL与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。§5.8二阶电路的全响应在前两节中所讨论的二阶电路中，要么只有初始储能，要么只有外施激励。分别得到二阶微分方程求解的方法非常相似。如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应。例电路如图5-51所示，已知uC(0)0,iL(0)0.5A,t0时开关S闭合，求开关闭合后电感中的电流iL(t)。例5-12图图5-51解：开关S闭合前，电感中的电流iL(0)0.5A,具有初始储能；开关S闭合后，直流激励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。(1)列出开关闭合后的电路微分方程,列结点KVL方程有10LdiLdt.RRLCd2iLdt2LdiL dtRiL 10将参数代入得也dt21 diL5 dt2RiL设电路全响应为iL(t) iL iL(2)根据强制分量计算出特解为10iL 一5(3)为确定通解，首先列出特征方程为2(A)特征根为:1 5pP10.1j0