例谈椭圆定义在解题中的应用

1、.例谈椭圆定义在解题中的应用聂文喜 定义是揭示事物的本质属性，对于某些数学问题，若能灵活运用定义解题，往往事半功倍，本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。一. 解方程 例1. 分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆的第一定义，将方程配方后令，得，则点M（x，y）的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆，从而原方程的解等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。 解：由原方程可得 解得二. 判断方程表示的曲线 例2. 已知，且满足，试判断点M的轨迹是怎样的曲线。 分析：若将原方程平方，化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线，注意式子结

2、构的特点，左边可看成点M到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点M到直线的距离，即有，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点M的轨迹是椭圆。三. 求参数的取值范围 例3. （2004年高考·全国卷III）设椭圆的两个焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）（c>0），且椭圆上存在点P，使得直线PF1与直线PF2垂直，求m的取值范围。 解：由题意知m>0，且 2得： 又 所以，即，所以 例4. （1997年全国联赛题）若方程表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是（ ） A. （0，1）B. （1，+） C. （0，5）D. （5，+） 分析：由已知得 即 依题意，此方程表

3、示椭圆，根据椭圆的第二定义，得，解得m>5，选D。四. 求最值 例5. （1）（1999年全国联赛题）给定A（-2，2），已知B是椭圆上动点，F是左焦点，当取最小值时，求B点坐标。 （2）已知椭圆内有一点P（1，-1），F为椭圆右焦点，M是椭圆上动点，求|MP|+|MF|的最小值。 分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和，代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下简解。 解：（1）显然点A在椭圆内部，由椭圆第二定义可得：B到椭圆左准线l的距离，所以，结合平面几何知识，可知，当ABl时，最小，此时易求B点坐标为（

4、，2） （2）设椭圆的左焦点为F'，由平面几何知识，得，当且仅当M为线段F'P的延长线与椭圆交点时取等号。 所以 所以的最小值为。五. 求轨迹方程 例6. （2002年春季高考题）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上一个动点，如果延长F1P到Q，使得，那么动点Q的轨迹是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线一支D. 抛物线 解：因为，所以 由椭圆第一定义得，故，即Q点轨迹是以F1为圆心，以2a为半径的圆，选A。六. 求焦点三角形的面积 例7. 已知点P是椭圆上的一点，F1、F2是两个焦点，且F1PF2，求F1PF2的面积S。 解：PF1F2中，由余弦定理，得 所以 故七. 求离心率 例8. 已知P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点若PF1F2，PF2F1，求椭圆离心率。 解：PF1F2中，由正弦定理有 八. 求离心率取值范围 例9. （2001年“希望杯”赛题）F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使得F1PF2120°，求椭圆离心率的取值范围。 解：由同例8得 又，所以年级高中学科数学版本期数内容标题例谈椭圆定义在解题中的应用