抽象函数-题型大全(例题-含答案)

1、CHONG高考抽象函数技巧总结由于函数概念比拟抽象，学生对解有关函数记号f(X)的问题感到困难，学好这局部知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现 将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1.换元法：即用中间变量 口表示原自变量X的代数式，从而求出 f(x)，这也是证某些公式或等式常用的 方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1:f(x)X 12x 1 ,求 f(x).解：设xu,那么X宀 f(u) 2-u ,2 u1 f(x)务X 11 u1u1 u1 X2.凑合法：在f(g(x)h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u

2、)表示的代数式，再利用代换即可求f (x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。1 3 1 例 2 : f (x ) X 3，求 f (x)Xx11 1 11 11解： f(x -) (x -)(x2 1 -) (x -)(x -)2 3)又Tlx -| |x|1xxxx xx| x|23f (x) x(x 3) x 3x, (| x | > 1)3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由条件，定出关系式中的未知系数。例 3. f (x)二次实函数，且 f (x 1) f(x 1) X2+2X+4,求 f(x).解：设 f (x) =ax2 bx c，那么 f(x 1) f (

3、x 1) a(x 1)2 b(x 1) c a(x 1)2 b(x 1) c2(a c) 4c 2= 2ax22bx 2(a c) x 2x 4比拟系数得 2a 1 2b 21 3a,b 1,c2 21 23f (X)-XX224.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式.例4.y = f (x)为奇函数，当x>0时，f(x) lg(x 1),求f (x)解： f (x)为奇函数， f (x)的定义域关于原点对称，故先求 x<0时的表达式。 - x>0, f( X) lg( X 1) lg(1 X), f(x)为奇函数, lg(1 x) f( x) f (x)

4、 当 x<0 时 f (x)ig(i x) f(x)lg(1 x),xig(1 x),x例5f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x) + g(x) 1x 1求 f (x) , g(x).解： f (x)为偶函数，g(x)为奇函数， f ( x) f (x), g(x)g(x),1 不妨用-x代换f(x) + g(x)=x 11- f( x) g( x)即 f(x) - g(x)x 1中的x,显见+即可消去g(x),求出函数f (x)x 111再代入求出1g(x)5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f (x)的表达式例6:设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x

5、1)f(x)f(y)xy,及 f (1)=1,求 f(x)1) f(x) f(n)解： f (x)的定义域为N,取y=1,那么有f(x- f(1)=1, f(2) = f(1)+2, f(3)f(2) 3以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n =凹 卫 f (x)2x 1f(n 1)x(x21),x二、禾U用函数性质，解f(x)的有关问题1. 判断函数的奇偶性:例7f (x y) f (x y) 2f (x)f (y),对一切实数x、y都成立，且f (0)0,求证f(x)为偶函数。证明：令x =0,那么等式变为f(y) f( y) 2 f (0) f (y)y) 2f (y) f ( y)

6、f (y)在中令 y=o 那么 2 f(0) =2 f(0) / f (0)工 0二 f(0)=1. f (y) f( f (x)为偶函数。2. 确定参数的取值范围例&奇函数f(x)在定义域-1 , 1内递减，求满足f(1 m)f(12m )0的实数m的取值范围。解：由 f(1 m) f (1 m2)0 得 f (1m) f (12、m )，:2f (x)为函数， f (1 m) f (m 1)又 f (x)在-1 , 1内递减，13. 解不定式的有关题目例9 :如果f(x) = ax2 bx c对任意的t有f(2 t) f2 t),比拟f(1、f (2)、f 的大小解：对任意t有f

7、(2 t) f 2 t) x =2为抛物线y=ax2 bx c的对称轴又其开口向上f (2)最小，f (1)= f(3) 在2,+ )上，f (x)为增函数f (3)< f (4), f (2)< f (1)< f (4)五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数 线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、函数fx对任意实数x, y,均有fx+ y= fx+ fy，且当x> 0时，fx> 0, f一 1= 2,求fx在区间2, 1上的值域。分析：由题设可知，函数fx是 上"-1的抽象函数，因此求函数 fX的值域，关键在于研究它的单调性。解：设心&

8、lt; 和那么乃-町0 ,.当(乃)-75)打(乃-眄)>0,即畑俯)，f x为增函数。在条件中，令 y= x,那么 11* 八一，再令 y = o,那么 f o= 2 f 0， f 0= 0,故 f一 x= f x，f x为奇函数， f 1= f 1= 2,又 f 2= 2 f 1= 4, fX的值域为4, 2o例2、函数f x对任意，满足条件f x+ f y= 2 + f x + y，且当x> 0时，fx> 2, f3= 5，求不等式丿(口"的解。分析：由题设条件可猜测：f x是y = x+ 2的抽象函数，且f x为单调增函数，如果这一猜测正确， 也就可以脱去不

9、等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设盘1 < %丄 那么乃 F °，当拦乜)=7(叼-珂可】= /(£ -毎)+ _/(对-22 + m - 2 = /(可) 即fX为单调增函数。/<：' 1 /<： .! : 1 二 /：-'二 3= 5,. f 1= 3o即:;'',解得不等式的解为一1 a 3。2、指数函数型抽象函数例3、设函数fx的定义域是 3,+，满足条件：存在心 7，使得 饷：1工了色 ，对任何x和y，/仗亠刃=产/刃成立。求：1f0；2对任意值x，判断fx值的正负。分析：由题设可猜测 f x是指数函数

10、y=的抽象函数，从而猜测 f 0= 1且f x 0。解：1令y = 0代入址竺型=了 祠丁刃，那么/© = /力/ywi-/o2-oo假设fx= 0,那么对任意尽它，有了如叮也“0，这与题设矛盾， fxm 0,. f 0= 1 o2令 y= xm 0,、*" ，又由1知 fx工 0,二 f 2x 0,即 fx 0,故对任意x, fx 0恒成立。例4、是否存在函数f x,使以下三个条件：f X 0, x N;於 J ' ' 1匚"' f 2= 4。同时成立？假设存在，求出 fX的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜测存在' 1

11、： '',又由f2= 4可得a= 2故猜测存在函数二：，用数学归纳法证明如下:1x= 1 时,.- N时，fx 0, ' '二结论正确。x = k,且时有畑=誉，那么 x = k + 1 时,2假设 x= k+ 1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时了 °二呼。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设fx是定义在0,+上的单调增函数，满足sm+HM /=i,求1f 1；2假设f x+ f x 8w 2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测 f x是对数函数 '一的抽象函数，f 1= 0, f 9= 2o

12、解:1./(司打(1乍打(1)+/(习. ,2/(9) = /(3x3)/(3)(3J = 2，从而有 f x+ f x 8W f 9，即f是0,+上的增函数，故4夕y o严-2九，解之得：8 v x w 9。例 6、设函数 y= fX的反函数是 y = gx。如果 fab= fa+ fb，那么 ga+ b= ga g b是否正确，试说明理由。分析：由题设条件可猜测 y= fx是对数函数的抽象函数，又y= fx的反函数是y= gx，二y=g x必为指数函数的抽象函数，于是猜测g a+ b= g ag b正确。解：设 fa= m f b= n 由于 gx是 fx的反函数，g m = a，gn=

13、b，从而/ + 型二 fab =-曲， gg n= gn+ n，以a、b分别代替上式中的m n即得g a+ b= g ag b。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数fx的定义域关于原点对称，且满足以下三条件:当：儿是定义域中的数时，有十1亢冷-JX心 f a= 1a>0，a是定义域中的一个数； 当 0 v xv 2a 时，f xv 0。试问：1f x的奇偶性如何？说明理由。2在0，4a上,f x的单调性如何？说明理由。f x是奇函数且分析：由题设知fx是匚一7的抽象函数，从而由一及题设条件猜测:在0，4a上是增函数这里把a看成一进行猜测解：

14、1： f x的定义域关于原点对称，且耳帀是定义域中的数时有y-tv1-xa3 = yxa -可/码-/砌了巧一伽:二_ - _在定义域中。 f X是奇函数。2设 0v X1<X2< 2a，贝U 0vX2 X1< 2a，v在0，2a上 fxv 0， J佝+1 fX1，fX2，fX2 X1均小于零，进而知'l7-'匚】 中的-，于是fX1v f X2，.在0, 2a上f X是增函数。如心+1佔-心fa= 1，二'1 ?71；=0,设 2av x v4a,贝U Ov x 2av 2a,_/(R丿(购十1_/(加)-了0)于是 fx> 0，即在2a, 4

15、a上 f x> 0。设 2avxi v X2< 4a,那么 0 v X2 xiv 2a,从而知 f Xi，f X2均大于零。f X2 xiv 0,巧廿佃T了山-乳勺，即fXiv fX2，即卩f 乂在2a, 4a上也是增函数。综上所述，f乂在0, 4a上是增函数。5、幕函数型抽象函数幕函数型抽象函数，即由幕函数抽象而得到的函数。例8、函数fx对任意实数x、y都有fxy= fxfy，且f i= i, f27= 9, 当 0 < x < 1 时,7 R E 0。i判断f x的奇偶性；2判断fx在0,+上的单调性，并给出证明；3假设盘- °且W + 1'游，求

16、a的取值范围。2分析：由题设可知fx是幕函数 厂只的抽象函数，从而可猜测fx是偶函数，且在0,+ 上是增函数。解：门令 y = i,那么 f x= f X f i，. f i= i , f一 X= f X，f X为偶函数。2设0工咼 < 乃rNZi 时，/WcdPl)心<1乃 , fXiv fX2，故fx在0,+上是增函数。3. f 27= 9 又-' 1-<+1 <3，即,又> 0,故0 < 2, . , ,抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数 表现形式的抽象性，使得这

17、类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：重庆书之CHONG QING香教育EDUCATION、定义域问题例1.函数 卢Q 的定义域是1, 2，求f(x)的定义域。解：声()的定义域是1 , 2 ，是指1 552，所以 卅) 中的户满足1壬J三4从而函数f(x)的定义域是1, 4:评析：一般地，函数 煮卩(的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于 了9型 中x的取值 范围为A,据此求卩(力的值域问题。例2.函数-1- 2的定义域是7 2，求函数的定义域。7 2-l<loghC3-r)<2(l)2nlSM#的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在中，由此可

18、得所以函数/ 9E 的定义域。正确理解函数符的定义域是的值域B,且皿:,据此评析：这类问题的一般形式是：函数f(x)的定义域是A,求函数号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。二、求值问题例3.定义域为尺的函数f(x)，同时满足以下条件：勺；/(工丁)二丽十愆，求f(3) , f(9)的值。解：取耳=2 y = 3,得")*(2)打14/d /C6) = -因为，所以-又取-'Q得5y-3|/(2) = L/(6) = 1评析：通过观察与未知的联系，巧妙地赋值，取_L一日，这样便把条件 与欲求的f(3)沟通了起来。赋

19、值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数，求函数使得''Jl"''0假设= °，那么得由于'-:.小解：令的值域。x、y,总成立，且存在/W=_/(o)= /w/(o)= o，对任意吉w R均成立，这与存在实数毛7，得，即有O，使O成立矛盾，故对任意，必有均成立，因此，对任意二，有/W =塢 + 彳)二= U (評 > 0兀 E 丘，/(x) H 0F面来证明，对任意，使得心口设存在这与上面已证的/(P) = /(-o) = 0，那么,矛盾，因此，对任意"一 -w 丁所

20、以/ W >0评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。四、解析式问题例5.设对满足亠亠+ = 1:的所有实数X，函数解：在0)满足兀_1，求fx的解析式。中以.代换其中x，得:再在1中以，I代换X,得ITT 2/er X-1x-1卩一宀1化简得：评析：如果把x和况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情时,/U)>1，且对于任意实数:在卞取x. y = 0，得令 A>0, y= 0，那么，与

21、例6.设fx定义于实数集上，当二- 求证：在R上为增函数。/W>1所以孑®芝。，即有爪:M当x列时，/W >1 >0；当兀小时，而证明矛盾所以又当1 -时,/(0)=>0所以对任意一仞吒无W M吒+«?，恒有/W>o心一珂n 0,于心一五J设所以 y乃=701 + 帀-丑=-心> 心 所以"，在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法那么，那么变量的赋值或变量及数值的分解与 组合都应尽量与式或所给关系式及所求的结果相关联。六、奇偶性问题，那么了u R, x 0)对任意不等于零的实数兀 1?都有畑屯=

22、7如+/乃，试又取取画二_匕忑得：的"7+如所以Xj = 1得：炖打7+了7,所以了7凸那么，即解:再取_ _ 1那么八一'例7.函数判断函数fx的奇偶性。因为7力为非零函数，所以或为偶函数。七、对称性问题例8.函数=满足八+ /工=如02 ,求厂誥+厂刘02-耳的值。解：式即在对称关系式 /依+云+_/佃不=能中取a = 0- b= 2002 ，所以函数尸=/忑的图象 关于点0, 2002对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数 y=f的图象关于点2002, 0对 称。所以 'J-将上式中的x用丘®代换，得厂© +广102-耳=0a、b均为常数，

23、函数的图象关于点a，b成中心评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设 卩二/工对一切实数x都满足+对+张工二处， 对称图形。八、网络综合问题例9.定义在R上的函数fx满足：对任意实数mn,总有+=，且当x0时，0fx11判断fx的单调性；2设£迢回西!E应亘辿，5 = 鬲I 了恥-严 = 1门E £，假设山石=Q，试确定a的取值范围。解：门在/ + = / W VW中，令那卑=0，得/I二/I J°，因为八T羊，所以在/刚+町二代緬中，令牌=恥用=疋因为当齐0时，所以当：.I时 - - ->l>0而-./ 1-又当x=0

24、时，/(0)=1>0所以，综上可知，对于任意zR，均有/W >0设一00 5 <乃，那么巧-阿 >0, 0 </(z3 -zL) <1所以/M =O所以在r上为减函数。+?)>/(!)又/朋-十眨二1二/®，根据函数的单调性，有血-?+罷二°2由于函数y=fx在R上为减函数，所以 即有；'匕 ' - 42，解得由川万山,所以直线心-卩十庇=0与圆面无公共点。因此有-1£心。f0的取值问题，二是fx0的结论。这是评析：1要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是 解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行

25、。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于 冋题的思考和解决。定义在R上的函数f(x)满足：f(x) f(4 x)且f(2 x) f(x 2)0,求f (2000)的值。解：由 f(2 x) f(x 2)0，以 t x 2 代入，有 f ( t) f (t)，f (x)为奇函数且有f (0)0又由 f (x 4)f4( x)f ( x)f (x)f (x 8)f (x 4)f (x)故f (x)是周期为8的周期函数，f (2000) f (0)0例2函数f (x)对任意实数x，y都有f (x y) f (x) f (y)，且当x 0时，f (x)0，f( 1)2，求 f (x)在2，1上的

26、值域。解：设x1x2且x1，x2R，那么x2x10，由条件当x0 时，f (x)0f (x2 x1)0又 f(X2) f(X2 xj Xf(X2 xj f(xj f(xjf (x)为增函数，令 y x，那么 f (0) f (x) f( x)又令x y 0得 f(0)0f( x) f (x),故f (x)为奇函数,f (1) f (1)2, f ( 2) 2f ( 1)4f (x)在2, 1上的值域为4, 2二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f 符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3 f (x)是

27、定义在1，1丨上的偶函数，且在0，1丨上为增函数，满足f (a 2) f (4 a2)0，试确定a的取值范围。解：f (x)是偶函数，且在0，1上是增函数，f (x)在(1，0)上是减函数,由1 a2 1得3 ao1 4a211当a2时，f (a2)f(4a2)f (0)，不等式不成立。2当3a2时，f (a 2) f (4 a2)1 a 202 2f (a 4)1 a 40a 2 a24解之得，飞 a 23当 2 a 5 时，f (a 2) f (4 a2)0 a 21f(a24)0 a24 1a 2 a24解之得，2a 5综上所述，所求a的取值范围是(、-3, 2) (2, .5)。例4f

28、(X)是定义在(1上的减函数，假设 f (m2sin x) f (m 1 cos x)对 x R 恒成立，求实数m的取值范围。2 m解:sin x 31 cos2sin x2cos xR恒成立2 m2 msin xsin xcos2R恒成立3 sinxm 1 si nx2cos x(si nxR恒成立,m2三.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过函数的单调性去掉函数符号“转化为代数不等式求解。例5 函数f (x)对任意 x，y R 有 f(x) f (y)f (x y)，当 x 0 时，f (x)2，2f (3)5，求不等式f (a 2a 2)3的解集解：设x1、

29、x2R且x1X2那么 x2x10f (X2X1)2，即 f(x2X1)20，f (X2)f (X2X1)X1f (X2X1)f (X1)2 f(xjf (X2)f (X1)故f (x)为增函数,又 f (3) f (21)f (2) f (1) 23f(1)4 5f (1)3f(a2 2a2)3f(1)，即a2 2a 211 a 3因此不等式f (a22a 2)3的解集为a| 1a 3 o四.证明某些问题例6设f (x)定义在R上且对任意的x有f(x)f (x 1) f (x 2)，求证：f (x)是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给

30、关系式进行递推，假设能得出f(x T) f(x) T为非零常数贝y f(x)为周期函数，且周期为To证明： f(x) f (x 1) f (x 2)(1)f (x 1) f (x 2) f (x 3)(2)(1)得 f (x) f(x 3)(3)由3得 f (x 3) f (x 6)(4)由3和4得 f (x) f (x 6) o上式对任意x R都成立，因此f (x)是周期函数，且周期为 6o例 7 f (x)对一切 x, y，满足 f (0)0, f (x y) f (x) f (y)，且当 x 0时，f (x)1,求证：1x 0时，0f(x)1;2f (x)在R上为减函数。证明:对一切x,

31、y R 有 f (x y)f (x) f (y) o且 f(0)0，令0，得 f (0)现设xo,那么f( x) 1 ,而 f (0)f (x)f(x)f ( x)f (x)0 f (x)1 ,重庆书之CHONG QING香教育EDUCATION设 xi, x2R 且 xix2,那么 of(X2 Xi) 1,f(X2) f (X2 Xi) Xif(X2 Xi) f (Xi)f (Xi)f (Xi)f (X2),即f (X)为减函数。五综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高,解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函

32、数符号“前的“负号，三是利用函数单调性去掉函数符号“例8 设函数y f (x)定义在R上，当x 0时，f (x)且对任意m, n , 有f (m n) f (m) f(n)，当 m n 时 f(m) f (n)。1证明 f (0)1 ；2证明：f (X)在R上是增函数;3设 A (x, y)|f (x2)f(y2)f(i)，件。B ( X，y)| f (ax by c)i，a，b， c R，a 0，假设A，求a，b，c满足的条解：i令 m n 0得 f (0f(0f(0，f (0)0或 f(0) i。假设f (0)0,当m 0时，有fm0) fm)f (0)，这与当mn 时，f (m)f(n)

33、矛盾,f (0) i。2设Xi x2，那么x2 Xi 0，由得f(x2Xi)i，因为 Xi0，f(Xi)i，假设Xi0时，Xi 0, f( Xi) 1，由 f (0)fX) i f( xi)f (Xi)1f ( Xi)f(X2) f(X2 Xi) f(Xi) f(Xi) f (x)在R上为增函数。3由 f (x2) f (y2) f (1)得 x2y2 1()由 f (ax by c) 1 得 ax byc02从1、 2中消去y得(a2 b2)x22acx2 2c b 0,因为AB(2ac)2 4(a2 b2)(cb2)0,2 2 2即a b c例9定义在1, 1上的函数f (x)满足1，对任

34、意x, y ( 1, 1)都有f(x) f (y)f (丄厘),1 xy2当 X ( 1，0)时，有 f(X)0，1试判断f(X)的奇偶性；2判断f(X)的单调性；f(h ) f(1)。n2 3n211113求证 f(-) f(-)、“ “511n 3r1分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为根底去研究数列求 和的综合题。解：1对条件中的x, y，令x y0,再令yX可得f (0)f(0)f(0)f (0)0，所以f (X)是奇f(Xf( X) 0f ( x)f(X2设1X1x20，那么 fX) 1fx(2)fX)if(函数。1，X2)x1f(1-XiX2X2

35、)x1x20，0 X1 x2X|x21X1X20,由条件2知f(X1x20，从而有 f (Xi)f (X2)0，即 f (Xi)f (X2)，故 f (X)在(1,0)上单调递减，由奇函数性质可知,f(x)在0, 1上仍是单调减函数。3f (n2 3n 1)1f(n 1)(n 2)1)(丄)n 1 n 21 (nf(n1)f(n1"2fj n f(1) fG) f(1)1)f£， f (令11 fQ f f(&)(1)fG)13n1)fj)1,f(111f (;)f()Y)2n 22111f(匚)f ()f( 2)511n 3n 1f(2)抽象函数问题分类解析我们将

36、没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由 于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供 学习参考。1.求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数 fg(x)中的g(x)看作一个整体，相当于f (x)中的x这一特性，问题就会迎刃而解。例1.函数y f (x)的定义域为(，1，那么函数y flog2(x2 2)的定义域是 。分析：因为log(, x 2)相当于f (x)中的x，所以log( x2 2) 1，解得、2 x 2 或 2 x 2。1例2.f(x)的定义域为(0，1)，那么y f(x a) f (x a)(

37、|a| -)的定义域是2分析：因为x a及x a均相当于f (x)中的x，所以0 x a 1a x 1 a0 x a 1a x 1 a1(1)当a0时，那么 x ( a，1 a)2(2)当 0 a1时，那么 x (a，1 a)22.判断奇偶性根据条件，通过恰当的赋值代换，寻求f (x)与f ( x)的关系。例3.f(x)的定义域为R,且对任意实数x, y满足fx( y)fX)f(y，求证分析:在fx y)fx()f ()y中，令x得f(1)f(1) f(1)f(1)0令xy1，得f(1)f(1) f( 1)于是fX)f(1 x)f(1) f (x)故f(x)是偶函数。例4.假设函数y f (X

38、f() x 0)与yy 1，f( 1) 0f(x)f (x)的图象关于原点对称，求证：函数 y f (x)是偶函数。证明：设y f (x)图象上任意一点为 P xo，y0y f (x与y f (x)的图象关于原点对称,P(x)，y0)关于原点的对称点(x0，y0)在y f (x)的图象上,y。f( x。)y。 f ( x。)又 y° f(x0)f( x°) fX 0)即对于函数定义域上的任意 x都有f( x) f (x)，所以y f (x)是偶函数。3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。f (x)是偶函数。7，3上是例

39、5.如果奇函数f (x)在区间3, 7上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间A.增函数且最小值为5C.减函数且最小值为5分析：画出满足题意的示意图B增函数且最大值为5D.减函数且最大值为51，易知选B。例6.偶函数f (x)在(0，)上是减函数，问f (x)在(，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图2所示，易知f(x)在(，0)上是增函数，证明如下：任取 xx 20% x20因为f (x)在(0，)上是减函数，所以f( xj f ( x2) o又f (x)是偶函数，所以f ( xj f(xf), ( X2)f(X2),从而f(xjf(X2)，故f(x)在(,0)上是增函

40、数。4. 探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分 析或赋值迭代，获得问题的解。例7.设函数f (x)的定义域为R,且对任意的x, y有f (x y) f(x y) 2f (x)( f y)，并存在正实数c,使f(C) 0。试问f(x)是否为周期函数？假设是，2求出它的一个周期；假设不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y cosx满足题设条件，且cos 0，猜测f(x)2是以2c为周期的周期函数。畑 2)|% 自 | 2f(x 扌)q 0f(x c) f (x)f (x 2c) f (x c) f (x)故

41、f (x)是周期函数，2c是它的一个周期。5. 求函数值紧扣条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙获解。例8.f(x)的定义域为R，且fxy) fx()f()对一切正实数x, y都成立，假设f(8)4 ,那么 f (2)。分析：在条件fx(y) fx( )f« )中，令x y4，得f(8)f(4)f(4) 2f(4)4 ,f(4)2又令xy 2,得 f (4)f(2)f(2)2,f(2)1例9.f(x)是定义在R上的函数，且满足：f (x2)1f(x)1 f (x),f (1)1997，求 f (2001)的值。分析：紧

42、扣条件，并屡次使用，发现f(x)是周期函数，显然 f(x) 1,于是f(x 2)1f (x)1f (x)f(x 4)1 f (x 2)1 _f(x 2)1 1 f(x)1 f(x)1 1 f(x)1 f(x)所以f(x 8)1f(x 4)f(x)故f (x)是以8为周期的周期函数，从而f (2001) f (8 250 1)f(1)19976. 比拟函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例10.函数f(x)是定义域为 R的偶函数，x 0时，f (x)是增函数，假设x1 0，x2 0,且|x1| |x2|，贝 y f ( x1)，f(

43、 x2)的大小关系是 分析：x10 , x20且 |x1| |x2 | ,0x1x2x2x10又x 0时，f(x)是增函数,f ( X2)fX： Jf (x)是偶函数，f ( Xi)fX 1)故 f( Xi) f ( X2)7. 讨论方程根的问题例11.函数f (X)对一切实数X都满足f(1 X) f (1 X)，并且f(x) 0有三个实根，那么这三个 实根之和是。分析：由f(1 x) f (1 X)知直线X 1是函数f (x)图象的对称轴。又f (X) 0有三个实根，由对称性知x11必是方程的一个根，其余两根X2，X3关于直线X 1对称，所以 x2 x32 12 ，故 x1 x2 x3 3。

44、8. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例12.函数f (X)是定义在(，1上的减函数，且对一切实数 x，不等式fk( sinx) fk( 2 sin)x 恒成立，求 k 的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得2 2k sin x 12 2k sinx k sin x2 2k 1sinx(1)11k2 k (si nx )2(2)4 2由题意知(1)(2)两式对一切X R恒成立，那么有k2 (1 Sin 2x)min1211 29 k 1k k (sin x 矗一4249. 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。例13.假设函数y f(

45、x 2)是偶函数，那么y f (x)的图象关于直线 对称。左移2个单位分析：y f(x)的图象右移2个单位y f (x 2)的图象，而y f(x 2)是偶函数，对称轴是x 0，故y f (x)的对称轴是x 2。例14.假设函数f(x)的图象过点0, 1，那么f(x 4)的反函数的图象必过定点 分析:f (x)的图象过点0, 1，从而f(x4)的图象过点(4, 1)，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f(x 4)的反函数的图象必过定点 (1，4)。10. 求解析式例15.设函数f(x)存在反函数，g(X f 1(x，h(X与g(x)的图象关于直线 x y 0对称，贝U函数h(x)A. f (x

46、)B. f( x) C. f 1(x) D. f 1( x)分析：要求y h(x)的解析式，实质上就是求 y h(x)图象上任一点 Px 0，y0)的横、纵坐标之间的关系。点Px 0，y°)关于直线y x的对称点(y°，X。)适合y f 1(x)，即X。g( y°)。又 gx ) f 1(x)，1x° f ( y°)y°f( x°)y° f ( x°)即 h(x f ( x)，选 Bo抽象函数的周期问题2001年高考数学文科第 22题：设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x 1对称。对1任意 x

47、1，x20，丄都有 f (xx 2) f (xf)() x2。211I 丨设 f (1)2，求 f(-), f (丄);24II丨证明f (x)是周期函数。解析：I解略。II证明：依题设y f (x)关于直线x 1对称故 f (Xf(2 x)，x R又由f (x)是偶函数知f( x) f(X , x Rf( x) f(2 x), xR将上式中 x以x代换，得f(Xf(x 2), x R这说明f (x)是R上的周期函数，且 2是它的一个周期f (x)是偶函数的实质是 f (x)的图象关于直线 x 0对称又f (x)的图象关于x 1对称，可得f(x)是周期函数且2是它的一个周期由此进行一般化推广，

48、我们得到思考一：设f (x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x aa 0)对称，证明f (x)是周期函数，且2a是它的一个周期。证明：f (x)关于直线x a对称fx( ) f (2 a x)，xR又由f (x)是偶函数知f ( x) f (x ，x Rf ( x) f (2 a x)，x R将上式中 x以x代换，得f(xf (2ax )，xRf (x)是R上的周期函数且2a是它的一个周期思考二：设f (x)是定义在R上的函数，其图象关于直线x a和x ba b)对称。证明f (x)是周期函数，且2(b a)是它的一个周期。证明：f (x)关于直线x a和x b对称f (x) f (2a

49、x)，x Rf (x) f (2b x)，x Rf (2a x) f (2b x)，x R将上式的 x以x代换得f (2a x) f (2b x)，xRfx 2(b a) f(x 2a) 2b f(x 2a) 2a f (x), x Rf (x)是R上的周期函数且2(b a)是它的一个周期假设把这道高考题中的“偶函数换成“奇函数，f (x)还是不是周期函数？经过探索，我们得到f (x 4) f 2 (x f(x 2) f(x) f (x)，x思考三：设f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x 1对称。证明f(x)是周期函数，且 4证明：f(x)关于x1对称fx( )f(2 x)，xR又由

50、f (x)是奇函数知f ( x)f (x)， x Rf(2x)f ( x)， x R将上式的x以x代换，得f(2 x)f (x)， xR是它的一个周期。，2)f (x)是R上的周期函数 且4是它的一个周期f (x)是奇函数的实质是 f(X)的图象关于原点0，0中心对称，又f(X)的图象关于直线 x 1对称，可得f(x)是周期函数，且 4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到思考四：设f (x)是定义在 R上的函数，其图象关于点 M(a, 0)中心对称，且其图象关于直线x bba)对称。证明f (x)是周期函数，且4(b a)是它的一个周期。证明： f (x)关于点M(a, 0)对称f (2a x) f (x)，x Rf (x)关于直线x b对称f (x) f (2b x)，x Rf(2b x) f(2a x)， x R将上式中的x以x代换，得f