数学物理方程第一章答案

1、第一章§ 1方程的导岀。定解条件即得所证。2 在杆纵向振动时，假设 (1)端点固定，(2)端点自由， 1 细杆或弹簧受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x, t)满足方程端点固定在弹性支承上，试分别导岀这三种情况下所对应的边界条 件。解: (1)杆的两端被固定在x0, x l两点那么相应的边界条件其中 为杆的密度，E为杨氏模量。u(0,t)0,u(l,t)0.证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为假设x为自由端，那么杆在x l的张力xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。

2、端的坐标分别为：在时刻t这段杆两T(l,t)uE(x) xl等于零，因此相应的边界条件为u(x,t); x xu(x x,t)l=0同理，假设x0为自由端，那么相应的边界条件为x x u(xx,t)x u(x,t)Ux(xx,t)假设xl端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某令 x 0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x, t)。由虎克点，且该点离开原来位置的偏移由函数v(t)给出，那么在x l端支定律，张力T(x,t)等于T(x,t) E(x)ux(x,t)其中E(x)是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为 S(x),那么作用在杆段(x,x x)两端的力分别为承的伸长为u(l,t) v(t)

3、。由虎克定律有E 1 xlxku(l,t) v(t)其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件(uu)xI Xi f(t)其中E(x)S(x)ux(x,t); E(xx)S(xx)ux(x x,t).于是得运动方程(x)s(x)x utt(x,t)ESux(xx) |xx ESux(x)Ix利用微分中值定1理，消去x，再令 x0得(x)s(x)utt(ESux )x假设s(x) 常量，那么得2uu(x)p = (E(x)t xx特别地，假设支承固定于一定点上，那么v(t)0,得边界条件u(u) 1 x l 0。x同理，假设x 0端固定在弹性支承上，那么得边界条件u Ex1 x 0 ku(0,t)v

4、(t)即(uu) 1 x 0 f (t).x3. 试证:圆锥形枢轴的纵振动方程E- X 2u.2- X 2 u(1 匚)(1 ) ,2xhxht2其中h为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1,那么x点处截面的半径I为:所以截面积s(x)(1x1 - h h)25.u(x,y,t)t2在锥2y利用第1题，得t2x22y >0中都满足波动方程2u-2x2u-2y(x) (1 扛h2ut2UxU(x, y,t)在锥t>0内对变量假设E(x) E为常量,那么得x, y,t 有(1 2)二阶连续偏导数。且(t2x2y2)4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，用下，此线处于铅

5、垂平衡位置，试导岀此线的微小横振动方程。在它本身重力作2u(tx22)23(t2x2y2)解：如图2,设弦长为|，弦的线密度为，那么x点处的张力T(x)为T(x) g(l x)且T(x)的方向总是沿着弦在 x点处的切线方向。仍以 u(x,t)表 示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段 (x, x x),那么弦段两端张力在u轴方向的投影分别为32 2 2 2 2 2 2(t x y ) 2 (2tx y )3u "222 2(t x y ) 2 xx23u t2 x2y2 2 3t2 x2y2xg(l x)sin (x); g(l (x x)sin又于是得运动方程sintgu

6、x.2u、. ux,2l (x x)-txx x glxu1x gx利用微分中值定理，消去x，再令 x0得2u、u,2g(lx)。txx其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角(x x)t22 2x y52 t22x2v225同理vu t22 2x y2 t2x22y2y所以2, 2,52,uut2x2y2 2 2t222u2 2xyxyt2.即得所证。6.在单性杆纵振动时，假设考虑摩阻的影响，并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b).但方向相反，试导岀这时位移函数所满足的微分方程.解：利用第1题的推导，由题意知此时尚须考虑杆段x, xx上所受的

7、摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为 b u ,故2ut222 u a 2 xtx, xx上所受摩阻力为 3 xut o x(1 x) (0 x l)ut 0sin，-lb p x s xu xtu(0,t)u(l,t)0运动方程为2uES ux x ES解：边界条侏齐次勺且是第一类的，令txtu(x,t) X(x)T(t)t2利用微分中值定理，消去x，再令 x0得2ux s x2txES bx假设s(x)常数，那么得2x uEtxuxb x丄 t假设x是常量,Ex E也是常量.令a2-,那么得方程得固有函数Xn(x)nsinx，且lananTn(t) u An cos -t BnSin -t

8、, (n1,2)x sXll于t是anannu(x,t)(An cosn 1lt Bn sinlt)si n -l-x今由始值确定常数 An及Bn,由始值得sin空 Asin-xln 1lx(l x)-a Bn sinxnill所以0,当nt2x2'Bnan2l 2xn2anx(lx) sinXCOS l2l3l23 COs3 l.n sin x4l3an4 4因此所求解为§ 3混合问题的别离变量法1.用别离变量法求以下问题的解：3au(x,t) cos3 t sin x ll4l34a n1 ( 1)n1 nnsin tsi nllanu(O,t)u(x,O)解：边界条件齐

9、次的，令u(x,t)(1)T a2 X2u-2x21hx,lX(x)T(t)U(l,t)0tu(x,0)X(O)求问题的非平凡解，分以下三种情形讨论。0时，方程的通解为(n0,1,2由 X(0)0得c1(n 0,1,2Xn(x)sin2l将代入方程(2)，解得由 X (l)0,X(x) C1e x C2eC20 得 G e lC2 ： eTn (t)AnX (l)(n 0,1,2u(x,t)再由始值得解以上方程组，得C1 0，C2 0,故o时得不到非零解。0时，方程的通解为X (x) C1 C2X由边值X(0)0得c1得不到非零解。30时，方程的通解为X (x) c1 cos . x c2si

10、n . x由X(0)0得c1 0，再由X (l)0得c2 . cos 丨 l 0为了使c20，必须cosl 0，于是2n 1cos a t2lBn2n 1sin a2l(An2n 1cos a2lBnsin纽n 2l2n 1x2n An sin02n 1a1x2l2n 1 Bn sinx容易验证2n 1 sinx2l(n0,1,2)构成区间0,l上的正交函数系： 2m 12n 10当m nsin02lxsin2lxdxl当m n022l2l0n0，再由X (l)0得C20，仍利用sin红x正交性，得2lAn2 l h . 2n 1xsinxdxl 0 l 2l2h2l2n 1x cos x (

11、2n 1)2l21(2n 1).2nsin其中xsin tfn(t)si n xn 1lfn(t)21 A 2xsinl 0 ltsinL xdxl、8hU(x,t) 2n(1)n 2n 1 2cos (2n 1)2 2l2n 1a tsinx2l2A"72-sinlnxcos xl2 2 sn2。设弹簧一端固定, 归结为一端在外力作用下作周期振动,此时定解问题2ut2u(0,t)a2u(x,0)2 ux0,f(x,0) 02-(n2A1) sinAxlu(l,t)Asin t.nsin xl求解此问题。解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取AU (x,t) xsint，那

12、么U (x,t)满足U(0,t)0，U (l,t)As in t令 u(x,t) U(x,t)v(x, t)代入原定解问题，那么 v(x,t)满足Tn(t)v(x,t)Xn(x)故设xsinxdx1)n(1)Tn(t)anl2Tn(t)2A2vv(0,t)v(x,0)22 v A2 x0,2xsin t l v(l,t) 0v(x,0)满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为(1)Tn(0)Tn(t)由始值,0,An COSTn(0)an tl.nsin x，l(n 0,1,2 )v(x, t)Tn (t)s in x n 1lBn得An丄(an1)2A将方程中非齐次项Axsin t及初始条件

13、中l所以v(x,t)sin x 展成级数，得n 11) sin(1)n 12A 3l22-(1)sinan 2(T)n (an )22l2)1)n2A你宀2 lm (an )2 ( l)1)n2A a(an )2(1)n12A 2l2方程的通解为(an )2( l)2sin tsin nanTn(t) AnCOs-tanBn sin tll( )an2bn272n l2A ln 1(1)222 asinat(an )( l)ll .sinntsinX由Tn(0)°，得:An(anl 、2 2bn22 n1shl因此所求解为由 Tn(°)0，得 Bn 0Au(x,t) xsi

14、n t 2A lln 1 (an(1)2T7Tn(t)l)2(an2 2bn2 l2( Dn1shl(1an cos lt)所求解为an as intl3.用别离变量法求下面问题的解lsinntnt sin xlu(x,t)U Itu |x 022 ua 2xf|t0u |x lbshx解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为Xn (x) sin(n 1,2,u(x,t)nTn (t)si nx1l将非次项bshx按sin nlx展开级数，得fn(t)bshxfn(t)si n xl2bl22ashl(1)n11 n(n2 2l2)(1cos-a t)sinx ll4用别离变量法求下面问题的解:

15、2uu |x 0u |t 0u2b -tu |x lh严(b °)|t 0解：方程和边界条件都是齐次的。u(x,t) X(x)T(t)代入方程及边界条件，得由此得边值问题T 2bTa2TX(0) X(l)些 l shxsin nl 0xdxl占2bnshlX(0)将 u(x,t)Tn(t)si nn 1lx代入原定解问题,Tn(t)满因此得固有值Xn(x)Tn(t)Tn(0)/an 2n1 2bn()Tn (t)( 1).2ln0,Tn(0)0shl又T(t)满足方程X(l)nsin x, n相应的固有函数为HIQT 2bT a T 0将一般言之,故得通解其中所以再由始值,所以所求解为n代入,相应的T (t)记作Tn (t)，得Tn