数学新学案同步-必修2-人教B版(鲁京辽)：第二章-平面解析几何初步-2.3.1

1、§ 2.3圆的方程圆的标准方程【学习目标I 1掌握圆的定义及标准方程.2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系 数法求圆的标准方程.问题导学 -预习新知夯实皐蹴知识点一圆的标准方程思考1确定圆的标准方程需要知道哪些条件？答案 圆心坐标与圆的半径.思考2在平面直角坐标系中，如下列图，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x 1)2+ (y 2尸=4来表示？答案 能.梳理圆的标准方程(1)方程(x a)2+ (y b)2= r2称为以点C(a, b)为圆心，r为半径的圆的方程，叫做圆的标准方程.以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为 x2 + y2= r2.知识点二点与圆

2、的位置关系 思考 点 A(1,1), B(4,0), C(-：2，“2)同圆 x2 + y2= 4 的关系如下列图，那么 |0A|, |0B|, |0C|同圆的半径r=2是什么关系?答案 |0A|<2, |0B|>2, |0C|= 2.梳理 点M(xo, yo)与圆C: (x a)类型一求圆的标准方程 命题角度1直接法求圆的标准方程+ (y b)2= r2的位置关系及判断方法宀护¥方 位置大糸利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|= r(xo a)2 + (yo b)例1 (1)圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心到直线 =o的距离为纠5，那么圆

3、C的标准方程为= r2点M在圆外CM|>r(xo a)2+ (yo b)2>r2点M在圆内CM|<r(xo a)2+ (yo b)2<r2u思耆辨折判断正误1.方程(x a)2+ (y b)2= m2 一定表示圆.(x )2 .确定一个圆的几何要素是圆心和半径.(V )3 .圆(x+ 1)2+ (y+ 2)2= 4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( X )2x y题型探究启迪思準时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识, 如“弦的中垂线必过圆心 “两条弦的中垂线的交点必为圆心等

4、.跟踪训练1以两点A( 3, 1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A . (x+ 1)2+ (y+ 2)2= 10B . (x 1)2+ (y 2)2= 100C . (x+ 1)2+ (y+ 2)2= 25D . (x 1)2+ (y 2)2 = 25答案 D解析/ AB为直径，圆心为AB的中点(1,2),半径为 2|AB|= 25+ 3 2+ 5+ 1 2= 5,该圆的标准方程为(x 1)2+ (y 2)2= 25.命题角度2待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+ 3y+ 1 = 0上的圆的方程.解方法一(待定系数法)设圆的标准方程为(x

5、 a)2 + (y b)2= r2,a2+ b2= r2,由 1 a 2 + 1 b 2= r2,2a+ 3b + 1 = 0,a = 4,解得b=3,r = 5.圆的标准方程是(x 4)2 + (y+ 3)2 = 25.方法二(直接法)由题意知，OP是圆的弦，其垂直平分线为x+ y 1 = 0.弦的垂直平分线过圆心,2x+ 3y+ 1 = 0,x= 4,-由得x+ y- 1 = 0,y=- 3,即圆心坐标为(4, - 3),半径为 r =“ 42+ 3 2 = 5.圆的标准方程是(x 4)2+(y+ 3)2 = 25.反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 ABC的三个顶点坐

6、标分别为A(0,5)，B(1，- 2), C( 3, 4)，求该三角形的外接圆的方程.解 方法一设所求圆的标准方程为(x a)2 + (y b)2= r2,因为 A(0,5), B(1 , 2), C( 3, 4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，0 a 2+ 5 b 2= r2,a = 3,于是有 1 a 2+ 2 b2= r2,解得 b= 1,3 a 2+ 4 b 2 = r2,r = 5.故所求圆的标准方程是(x+ 3)2+ (y 1)2= 25.方法因为A(0,5), B(1 , 2)，所以线段AB中点的坐标为1, 3，直线AB的斜率为kAB彷=-7，因此线段AB的垂直平分线

7、的方程是y7 x1 ,即 x 7y+ 10= 0同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x+ y+ 5 = 0.x 7y+ 10= 0,由得圆心坐标为(一3,1).2x + y+ 5= 0,又圆的半径r = 3 0 2+ 1 5 2= 5,故所求圆的标准方程是(x+ 3)2+ (y 1)2= 25.类型二点与圆的位置关系例3(1)点P(m2,5)与圆x2 + y2= 24的位置关系是()A .点P在圆内B .点P在圆外C .点P在圆上D .不确定答案 B解析由(m2)2+ 52= m4 + 25>24，得点P在圆外.点M(5+ 1,a)在圆(x 1)2+ y2= 26的内部，那么a的取值范

8、围是 答案0,1)解析由题意知,a> 0,5 ,a+ 1 1 2+ a 2<26,a> 0,解得0 < a<1.26a<26,反思与感悟(1)判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比拟即可. 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.(2)灵活运用假设点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.跟踪训练3 点(1,1)在圆(x a)2 + (y + a)2 = 4的外部，贝U a的取值范围是答案(3 1) U (1,+ )解析由题意知，(1 a)2 + (1 + a)2>4,2a2

9、 2>0,即 a< 1 或 a>1.类型三 与圆有关的最值问题例4实数x, y满足方程(x 2)2+ y2= 3,求丫的最大值和最小值.x解原方程表示以点(2,0)为圆心，3为半径的圆，设 y = k,即 y= kx.x当直线y= kx与圆相切时，斜率 k取最大值和最小值，解得k= ± 3.故x的最大值为 3，最小值为-3引申探究1 .假设本例条件不变，求y-x的最大值和最小值.解设 y x= b，即 y = x+ b.当y= x+ b与圆相切时，纵截距 b取得最大值和最小值，|2 0 + b| l此时2 = a/3,即卩 b= 2 ±6.故y x的最大值

10、为一2+、.?6,最小值为2 6.2 .假设本例条件不变，求x2+ y2的最大值和最小值.解x2 + y2表示圆上的点与原点距离的平方.由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2,故(x2+ y2) max= (2 + ,3)2= 7+ 4.3(x2 + y2) min = (2 -3)2= 7 4 3.反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型y b(1)形如u =形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题.x a形如I = ax + by形式的最值问题，可转化为动直线a I y= bx+ b截

11、距的最值问题.形如(x a)2+ (y b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离平方的最值 问题.1跟踪训练4 x和y满足(x+ 1)2+ y2= 4，试求：(1) x2+y2的最值；(2) x+ y的最值.解 由题意知，x2+ y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值.原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d = 1,1 3故圆上的点到坐标原点的最大距离为1 + 2=2,1 1最小距离为1 2= 2，因此x2 + y2的最大值和最小值分别为 (2)令x+ y = z并将其变形为 y

12、= x+ z问题转化为斜率为一1的直线在经过圆上的点时, 在y轴上的截距的最值.当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，I 1 z| 那么解得 z= ±22 1,因此x+ y的最大值为 ¥ 1，最小值为一 ¥ 1.达标检测蜡测轴达标过关1 假设某圆的标准方程为(x 1)2+ (y+ 5)2= 3,那么此圆的圆心和半径长分别为()A ( 1,5)，, 3B (1， 5)， '3C ( 1,5), 3D (1, 5), 3答案 B2 圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是()A x2+ (y 2)2= 1B x2+ (y+2)2=

13、 1C (x 1)2+ (y 3)2= 1D x2+ (y 3)2= 1答案 A解析方法一(直接法)设圆的圆心为 C(0, b),那么0 1 2+ b 2 2= 1,b = 2,圆的标准方程是x2+ (y 2)2= 1.方法二(数形结合法)作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2),故圆的标准方程是 x2+ (y 2)2=1. 点A(1 , 1), B( 1,1)，那么以线段AB为直径的圆的标准方程为()A x2 + y2= 2B x2+ y2= 2C x2+ y2 = 1D x2 + y2 = 4答案 A解析/ AB的中点坐标为(0,0),|AB|=- 1 1 2+

14、 1 1 2= 2 2,圆的标准方程为x2+ y2= 2.4 .假设实数x, y满足(x+ 5)2 + (y 12)2= 142，那么x2 + y2的最小值是 答案 1由几何意义可知,解析 x2 + y2表示圆上的点(x, y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部, 最小值为14 52+ 122= 1.5. 求以下圆的标准方程.(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6), C(3, 4);过两点 C( 1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆.解(1)由题意知，AC为直径，那么AC的中点为圆心， 圆心坐标为(4,1)，半径为26,|AC| . 5 3 2+ 6+ 4 2

15、r =亍圆的标准方程为(x 4)2 + (y 1)2 = 26.(2)由几何知识知,CD的垂直平分线经过圆心,3 1kcD = 1 , CD的中点坐标为(0,2),1 1 CD的垂直平分线为 y = x+ 2.那么圆心坐标为(2,0), r = d 1 2 2 + 1 0 2=- 10,圆的标准方程为(x 2)2 + y2= 10.规律与方法1 .判断点与圆的位置关系(1) 几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比拟大小.(2) 代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0,y0)在圆C上?(X0 a)2 +(y0b)2= r2;点P(xo,yo)在圆C内?(X0 a)2 +(yo

16、b)2<r2;点P(x0,y0)在圆C外?(X0 a)2 +(y0b)2>r2.2 求圆的标准方程时常用的几何性质 求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质:弦的垂直平分线必过圆心.(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心.圆心与切点的连线是半径.(4)圆心与切点的连线必与切线垂直.3 求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法.(2)直接法.课时对点练 -i主車聂基强化篦妄一、选择题1 .方程y=；9一 X表示的曲线是()A .一条射线B .一个圆C .两条射线D .半个圆答案 D2 .一圆的圆心为点A(2, - 3)，一条直径的端点分别在x轴和

17、y轴上，那么圆的标准方程为()A . (x+ 2)2 + (y 3)2= 13B . (x 2)2 + (y+ 3)2= 13C. (x 2)2 + (y+ 3)2= 52D. (x+ 2)2 + (y 3)2 = 52答案 B解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为 r = 2 0 2+ 3 0 2= .13.故所求圆的标准方程为(x 2)2+ (y+ 3)2= 13.3 .直线I过圆x2 + (y 3)2= 4的圆心，且与直线x+ y+ 1 = 0垂直，那么直线I的方程是()A . x + y 2 = 0B. x y+ 2= 0C. x+ y 3 = 0答案 DD. x y+

18、3= 0解析 圆x2+ (y 3)2= 4的圆心为点(0,3),又因为直线I与直线x+ y+ 1 = 0垂直，所以直线I的斜率k= 1.由点斜式，得直线I: y 3= x 0,化简得x y + 3 = 0.4.过点A(1 , 1), B( 1,1)，且圆心在直线 x+ y 2 = 0上的圆的标准方程是 ()A . (x 3)2 + (y+ 1)2 = 4B. (x+ 3)2+ (y 1)2= 4C. (x 1)2+ (y 1)2= 4D. (x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4答案 C解析 根据圆在直线x+ y 2 =0上可排除B、D，再把点B的坐标代入A , C选项中，可得C正确.5 .点(

19、5a + 1,12a)在圆(x 1)2 + y2= 1的内部，那么实数a的取值范围是(A. |a|v 1C. |a< £答案 D解析 依题意有(5a)2+ 144a2< 1，得 169a2< 1,1 1所以a2< 169,即|a|<石，应选D.6. 假设圆心在x轴上，半径为.5的圆C位于y轴左侧，且与直线 x+ 2y= 0相切，那么圆C的 标准方程为()A . (x ,5)2 + y2= 5B . (x+ 5)2 + y2= 5C . (x 5)2 + y2= 5D . (x+ 5)2+ y2= 5答案 D解析设圆心坐标为(a,0), 由题意知， 曇=(

20、5, |a|= 5.T圆C位于y轴左侧， a= 5,圆C的标准方程为(x+ 5)2 + y2= 5.7. 假设直线y= ax+ b通过第一、二、四象限，那么圆(x+ a)2+ (y+ b)2= 1的圆心位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 D解析 (一a, b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得a<0, b>0,即一a>0,b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限.8设P是圆(x 3)2+ (y+ 1)2= 4上的动点，Q是直线x= 3上的动点，那么|PQ|的最小值为()A. 6 B. 4 C. 3 D. 2答案 B

21、解析 如图，圆心 M(3, 1)与定直线x= 3的最短距离为|MQ|= 3 ( 3) = 6又圆的半径 为2,故所求最短距离为 6 2 = 4.JT=-3木-aqJi二、填空题9 .假设圆C与圆 M : (x + 2)2 + (y 1)2 = 1关于原点对称，那么圆C的标准方程为答案(x 2)2 + (y+ 1)2= 1解析 圆的圆心 M的坐标为(一2,1)，关于原点对称的点的坐标为(2, 1), 圆C的标准方程为(x 2)2+ (y+ 1)2 = 1.10. 圆O的方程为(x 3)2 + (y 4)2= 25,那么点(2,3)到圆上的最大距离为 . 答案 5 + .2解析 点(2,3)与圆心

22、连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，即最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离，2加上半径长5，为5+ 2.11. 假设圆C的半径为1,圆心在第一象限，且与直线4x 3y= 0和x轴都相切，那么该圆的标准方程是.答案(x 2)2 + (y 1)2= 1解析圆心在第一象限，且与 x轴相切，设圆心坐标为(a,1),那么圆心到直线 4x 3y= 0的距离为1,即 4a1,得 a= 2 或 a= 2(舍去),该圆的标准方程是(X 2尸+ (y 1)2= i.三、解答题12 .如图，Rt ABC的顶点坐标 A( 2,0), C(4,0)，直角顶点 B在y轴上，M为Rt ABC外 接圆的圆

23、心，求圆 M的标准方程.解 因为直角三角形 ABC的顶点坐标 A( 2,0), C(4,0)，直角顶点 B在y轴上，M为直角三角形ABC外接圆的圆心，那么点 M为AC中点,所以圆心M(1,0),又因为半径r = |AM|= 3, 所以圆M的标准方程为(x 1)2+ y2= 9.13. 圆心在第二象限，半径为 2的圆C与两坐标轴都相切.(1)求圆C的标准方程；求圆C关于直线x y+ 2 = 0对称的圆的标准方程.解(1)由题意可得所求的圆在第二象限，圆心为(一2,2)，半径为2,所以圆的标准方程为(x+ 2)2 + (y 2)2= 4.设(2,2)关于直线x y+ 2= 0的对称点为(a, b).b+ 2那么有=1,+ 2 = 0,a= 0, 得b= 0,故所求圆的圆心为(0,0)，半径为2.所以所求圆的标准方程为x2+ 卄4.四、探究与拓展14. 圆C与圆(x 1)2+ y2= 1关于直线y= x对称，那么圆C的标准方程为()A . (x+ 1)2+