22020年普通高招全国统一考试原创模拟卷

1、2020年普通高招全国统一考试原创模拟卷-理数2第I卷（选择题）评卷人得分请点击修改第I卷的文字说明、选择题（共12题，每题5分，共60分）1.设集合A=x|(x-1)(3-x)法0,集合B=x|(1)x-11,则AUB=3C.x|1x3A.(x|x1B.(x|x0,2?+?20,a.-4B.2C.-4D.24. 直线kx-y-2k+2=0被圆(x-1)A.24B.2成2+（y-1）2=16所截得的弦长的最小值为C.2v2D.2提D.既不充分也不必要条件C.2422A.乏7B.231.已知向重a=(-1,2),b=(1,n),贝U济2是为钝角的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件、

2、，一一.一.?.,已知等差数列an的公差d乒0,前n项和为S,且a1,a4,a1。成等比数列，则机的值是?525D7，则该几A.38.如图所示的网格是由边长为1的小正方形构成，粗线画出的是某几何体的三视图何体的体积为2n9.先将函数f(X)的图象向右平移一个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标变为原5来的4,得到g(x)=Asin(sx+0)(A0,|()|2019,则正整数m的最小值为A.16B.17C.18D.194-8|?3|,12,有零点的和为A.nB.2nC.|(2n-1)D.|(2n-1)第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题(共4题，每题5分，共

3、20分)已知角济的终边经过点(1,v3),若角济的终边绕原点O逆时针旋转己得到角3的终4边,贝Usin(3=.12. 在区间0,1内随机选取两个实数x,y,满足x2-2x0)的焦点为F,准线与x轴的交点为Q双曲线括-子=1(a0,b0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OPO为坐标原点.若PQF直角三角形，则该双曲线的离心率等于评卷人得分三、解答题(共7题，每题12分，共84分)BcosC.22在AB顷,角ABC所对的边分力1J是a,b,c,sinA+sinB=4sinAsin求角C的最大值；若b=2每,心ab前面积.18.如图，在直三棱柱ABCABC中，D为BG的中点，平面AADL平面ABC.(

4、1)证明：BG上平面AAD若AC=2,BC=2v2,且二面角B-ADC的大小为|,求AA的长.已知该竞赛共有60名学为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示.。频率国1距0.02Q0-015*-*0.005-204060H0100成绩/分(1)估计这60名参赛学生成绩的中位数(2)为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记E为抽取的4人中，成绩不合格的人数,求E的分布列与数学期望；已知这60名学生的

5、数学建模竞赛成绩Z服从正态分布N(,b2)，其中可用样本平均数近似代替，b2可用样本方差近似代替(同一组数据用该区间的中点值作代表).若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数(结果根据四舍五入保留整数).参考数据：P(m-gZm+b)R0.6827，P(m-2bZm+2b)0.9545，P(-3bb0)的右焦点F2,并交椭圆于AB两点，且|AE|的最小值为3.(1)求椭圆的标准方程；若过AB的中点M且与直线l垂直的直线l1与y轴交于点N求NAE积的最大值.一一一e?20. 已知函数f(x)=-ax+lnx.?a=1时，讨论f(x)的单调性

6、；若a1,e2+2,求f(x)的最小值g(a)的取值范围.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线G的参数方程为?=,2。0警,为参数),以?=2sin?坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为p=2.(1)设点MN分别为曲线G与曲线。上的任意一点，求|MN的最大值；?=-1+?cos?设直线l：；“COS(t为参数)与曲线G交于P,Q两点，且|PQ=1,求直线l的?f=:sin?方程.21. 已知函数f(x)=|x+4|-m沽R,且f(x-2)2.?+?+?参考答案1. B【解析】本题考查集合的并运算及不等式的求解，考查的核心素养是数学运算先化简集合A,B,再计算

7、AUB即可.由(x-1)(3-x)0?Kx3,于是A=(x|1x1?x-10?x1,则B=(x|x1,那么AUB=(x|x2或k+1-2,当且仅当k2=1时等号成立，所以当k=-2时，弦长l取得最小值，最小?值为2折4.优解易知直线kx-y-2k+2=0恒过点P(2,2),该点在圆(x-1)2+(y-1)2=16内.圆(x-1)2+(y-1)2=16的圆心为C(1,1),连接CP则当直线CP与直线kx-y-2k+2=0垂直时，直线kx-y-2k+2=0被圆(x-1)2+(y-1)2=16所截得的弦长最短，此时k-kc=-1，解得k=-1,所以kx-y-2k+2=0可化为x+y-4=0,则圆心C

8、(1,1)到直线x+y-4=0的距离为v2,故最短的弦长为2V16-(v2)2=2折瓦5. 【备注】无B【解析】本题主要考查向量的夹角、向量的坐标运算、充要关系的判断，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算.1.1 由题怠碍,a-b=-1+2m右济成,则a-b0,但当m=-2时，a=-b,=兀,不是钝角，故充分性1.2 不成立.右为钝角，则a-b0,且a乒入b(入R),解碍m且计-2.故mP是2“为钝角”的必要不充分条件.【备注】【易错警示】很多考生对基础知识掌握不牢，认为“ab0”和“为钝角”等价，从而错选C,其实当a,b反向共线时，ab0,但为平角，而不是钝角.6. D【解析】本题主要考查

9、等差数列的通项公式和前n项和公式，等比数列的性质，考查的核心素养是数学运算.由等差数列的通项公式与题设条件，得到an的首项与公差的关系式，再计算竺的值.?an为等差数列，其通项an=a+(n-1)d(d乒0),a4=a+3d,a10=a1+9d.又a，a4,a0成等比数列，?2=a1a10,(a+3d)2=a(a1+9d)(d乒0),化简得a=3d,-an=a+(n-1)d=(n+2)d,a5=7d.又sn=?(?+?)=?(?+5)?-,?25=,.S5=25d,.-5=.2?7【备注】2无7.A【解析】本题主要考查函数的图象、函数的奇偶性，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.先根据函数

10、的定义域及函数的奇偶性的定义得到函数f(x)为定义域上的奇函数，可排除B,D选项，再根据函数极值点的位置排除C选项，即可得到正确选项.易知函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=e1xlsin(-x)=-elxlsinx=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B,D;当x0时,f(x)=v2exsin(x+),当x=时,f(x)=0,f(x)取得极值，故排除C,选A.8. 【备注】无D【解析】本题考查三视图及三棱锥体积的求解，考查考生的空间想象能力和运算求解能力.先还原几何体，然后计算该几何体的体积.由三视图可以得到该几何体是如图所示的正方体中的三棱锥C-DMF其中

11、正方体的棱长为4.MN分别为AEBC的中点，连接FNDNMNAFAC易知四边形MFN的菱形，ACMN因为MN?一一一一一一一1平面MFNDAC?平面MFN眄以AC/平面MFN斯以Vdm=V.又V-dm=VF-am=iX31X2X4X4=16,所以V-DM=16.23，39. 【备注】无D【解析】本题考查三角恒等变换,图象的变换，考查数形结合思想及运算求解能力.试题以考查三角函数的图象与性质为目标，选取正弦函数为材料,通过设置正弦函数图象在定区间上的图象特征及三角函数图象的平移、伸缩变换问题，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.先利用三角函数的图象得到g(x)=2sin(2x-三)，再根

12、据三角函数图象的平移、伸缩变换得到f(x)=2sin(2x-5),最后可求出f(x)的单调递减区间.由题图可知A=2,?=务-三=j丁专=兀,3=2,g(x)=2sin(2x+0).又g(x)的图象过点(兰2),史+0=2k兀+三,ke乙.0=2k兀兰,k乙/1们-,0=-10. 20102，*52言,g(x)=2sin(2x-?).将函数g(x)=2sin(2x-?)的图象上的所有点的横坐标变为原来的4倍，得到y=2sin(夕-号)的图象，再将y=2sin(：x-?)的图象向左平移号个单位长度，得到f(x)=2sin-(x+-)-=2sin(-x-)的图象，令+2k兀v-x-V2k兀+,k乙

13、贝U2552522524k兀Vx4k兀+导,kZ.f(x)的单调递减区可是：+4k兀,4k兀+?,kZ.故选D.【备注】无C【解析】本题考查计数原理的有关知识，考查考生的逻辑思维能力.试题以春节买机票为背景，引导考生利用数学方法去解决实际问题，建立与实际生活的联系，考查了数学建模、逻辑推理等核心素养.当有i个人选择天津航空时，购票方案共有C1(C1c3a2+C1C3A2)=i08(种)；当有2个人选择天津航空时，购票方案共有c2a3+c2a3=54(种)；当有3个人选择天津航空时，购票方案共有C1A3=18(种).故四个航空公司均有人选的购票方案共有108+54+18=180(种).11. 【

14、备注】无B【解析】本题主要考查数列的递推关系式、等比数列的前n项和公式，考查考生的逻辑思维能力和数学运算能力.先通过递推关系式，得到数列(32n-1+3是等比数列，然后分奇、偶项分析，从而求解.因为32n=a2n-1+1,32n+1=232n+1,所以32n+1=2(32n-1+1)+1=232n-1+3,32n+1+3=2(32n-1+3),又31+3=4，所以数列(32n-1+3是以4为首项,2为公比的等比数列，所以32n-1=4-2-3,32n=4-2n-2,所以S奇=ai+as+a2n-i=4(123-3n=2n+2-4-3n,S偶=a2+a4+a2n=2n+2-4-2n,所以S2n=

15、S偶+S奇=2n+3-8-1-25n,当n=8时，Si6=28+3-8-5X8=20002019.故正整数m的最小值为17.12. 【备注】无D【解析】本题主要考查分段函数，函数图象的应用，函数的零点等知识，考查数形结合在解题中的应用，考查考生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力试题以分段函数为依托，将函数的零点问题转化为两函数图象的交点问题,体现了对数学抽象、直观想象等核心素养的考查，要求考生有一定的化归与转化能力.首先将函数g(x)的零点问题转化为函数y=f(x)和函数y=6象交点的问题，利用数形结合的方法求解，在同一坐标系中画出两函数的图象，结合图象得到两函数图象交点的横坐标，最后得

16、到结果.6.一6一.6由函数g(x)=xf(x)-6=0碍,f(x)=?故函数g(x)的零点即函数y=f(x)和函数y=-|5象交点的横坐标.分析函数f(x)的解析式知，可将f(x)的定义区间分段为223_-111,2,(2,2,(2,2,-,(2n,2n,并且f(x)在(2n,2n(n2,nN)上的图象是将f(x)在(2n-2,2”上的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的后得到的.2先作出函数y=f(x)在区间1,2上的图象，再依次作出在区间(2,4,(4,8,-,(2”,2上的图象，并作出函数眉(X1)的图象，如图，结合图象可得两图象交点的横坐标是函数y=f(x)的极大

17、值点，由此可得函数g(x)在区间(2*,2n上的零点为一=3-2n2，则函数g(x)在区间1,2n(nN)内所有零点的和为X(1-2?)=-x(2n-1).故选D.1-2213. 【备注】无.-v6+v24【解析】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换，考查考生的运算求解能力与分析问题、解决问题的能力以及数形结合思想.先根据题意求出角a的正、余弦值，再根据两角和的正弦公式进行求解.由角a的终边经过点(1,v3),得sina,COSa=.因为角。的终边是由角a的终边逆时针旋转；得到，所以sin3=sin(a+)=sinacosj+cosasinj=招+点.【备注】无114.-6【解析】能力.本题考

18、查几何概型的应用、定积分的应用和计算,考查化归与转化思想和运算求解将在区间0,1内随机选取的两个实数x,y,转化为在边长为1的正方形内随机取点，利用定积分计算阴影部分面积.在区间0,1内随机选取两个实数x,y,相当于在如图所示的边长为1的正方形中随机取点,2121右7两足x-2x2,sin?sin?当且仅当亚？=竺竺时取等号.sin?sin?所以cosC二所以0CX-.23所以角C的最大值为3,此时ABC正三角形.由sinA+sinB=4sinAsinBcosC及正、余弦定理可得，a2+b2=4ab?+?-?,所以2c2=a2+b2.2?又b=2,B=j所以4=a2+c2-2accos：.由和

19、得a=c=2.所以ABC勺面积为acsin-=v3.23【解析】本题考查正弦定理、余弦定理，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.由sinA+sinB=4sinAsinBcosC推出cosC,然后借助基本不等式得出cosC的最小值，进一步得出角C的最大值；(2)将已知条件转化为2c2=a2+b2,4=a2+c2-2accos：，然后得出31a=c=2,取后由公式S=-acsinB求出面积.2【备注】无18.解:(1)如图，过点A作AOLAD于点Q平面AADL平面ABCi,平面AADn平面ABC=ADA1O上平面ABG.BiCi?平面ABCi,AOLBCi.又在直三棱柱AB

20、CABG中，AiMBiCi,AOnAiAAi,BiCiX平面AAD.由(i)得，BGLADD为BiCi的中点，AiBi=AG=AG2,又BC=BiCi=2v2,-Bi?f+Ai?=Bi?,.ZCiAiBi=|.令AA=a,以A为坐标原点，ABACAA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),口0,2,0),Ri,i,a),?驾?,0,0),?驾?,i,a),?0,2,0).Hi设平面ADC勺法向量为gynzi),则驾篱*,即?+雾=?住0zi=i,得n=(-a,0,i)为平面ADC勺一个法向量.十一，,?=?+?+?=设平面BAD勺法向量为n

21、=(X2,y2,Z2),则-，即?o?=?2?=0,Z2=i，得n=(0,-a,i)为平面BAD勺一个法向量.依题意，得|cos|=?=|万=二得a=i,即AA的长为I.|?|?|i+?22【解析】本题主要考查空间中的线面位置关系、二面角等知识证能力和运算求解能力.得yi=0,令0,得X2=0,令，考查空间想象能力、推理论(I)作辅助线构造线面垂直，利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到线面垂直；(2)利用勾股定理的逆定理得到线线垂直，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式列方程求解.【备注】无I9.解:(i)设中位数为X,贝U0.005X2

22、0+0.0I5X20+(x-60)X0.02=0.5,解得x=65，所以这60名参赛学生成绩的中位数为65.(2)结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)X20X10=6,不合格的人数为10-6=4.由题意可知E的可能取值为0,1,2,3,4.4-V214,35(1) 则RE=0)=莫=打E=1)=牛第一8。1014C只w=2)=零!=湛.3)=磐C107C1001234P114_8_21374351210所以E的分布列为1所以E的数学期望E(E)=0x834156+1X2X-3X4X=21735210P(E=4)=毕=.C40210142173

23、521035由题意可得，从=(30X0.005+50X0.015+70X0.02+90X0.01)X20=64,b2=(30-64)2X0.1+(50-64)2X0.3+(70-64)2X0.4+(90-64)2X0.2=324,则=18,由Z服从正态分布N(m,b2),得P(64-18Z64+18)=P(4682)r1(1-0.6827)=0.15865,P(Z46)0.6827+0.15865=0.84135,所以此次竞赛受到奖励的人数为60X0.84135Q50.【解析】本题主要考查频率分布直方图、中位数、平均数、分层抽样、离散型随机变量的分布列、正态分布等.本题结合学生实际，以中学数学

24、建模竞赛为背景，通过频率分布直方图考查学生的识图能力考生需要能够有效地提取图中数据，意在考查数据分析核心素养.以离散型随机变量为出发点，以正态分布为载体，有助于对数学建模、数学运算核心素养进行考查(1)结合频率分布直方图即可求出该组数据的中位数；(2)首先明确抽取的10人中的合格人数和不合格人数，然后确定E的可能取值，并进行一一计算其对应的概率值，即可得出其分布列与数学期望；(3)利用正态分布进行求解.【备注】【解后反思】有关频率分布直方图的数学问题，重在审图、明晰数据，即根据图表获取数据，再根据题目信息对数据进行应用，即可一一求解?解:(1)易知直线l过定点(1,0),.直线l:x=ty+1

25、过椭圆-?+-?=1(ab0)的右焦点?F2,F2(1,0),C=1.由|AE|的最小值为3,易知-?=3,2(?12)=3,解得a=2或a=-；(舍去).-b2=a2-c2=3,，.椭圆的标准方程为空+?-=1.43(2)当t=0时,易知S/na=x1x3=-.22当t乒0时,设A(x1,y),E(x2,y2),?=?+?1,由?，?得(3t2+4)/+6ty-9=0.7+7=1,“显然0,贝Uy+y2=-6?,yy2-；9,3?2+43?G+4-1AE|=V1+?|yi-y2|=12(?+1),3?2+4AB的中占M4-3?)-寸占AEJ*八、M(3?字+43?暮4),、-3?.一?3?时

26、)令x=0,侍y=3?F+rN(0，4?2+r一3?早+4,12(?字+1)3?学+43.点N到直线l的距离1，naf-AB-d=-2r2M且与直线?3?早+4),1垂直的直线“的方程为=导3(?+1)2(3?+4)2.3令f(n)=24?22(m1),(3?+1)24yT?+Te,24.令t2+1=m贝Um1Snaf24?2(3?+1)2f(n)=36-?2(1-?)0在沽(1,+8)上恒成立，(3?+1)3-f(n)在(1,+8)上是减函数，f(n)0),则f(x)=e如)-1+%=号(ex-x).令h(x)=ex-x,则当x(0,+00)时,h(x)=ex-10,二在(0,+00)上,h

27、(x)h(0)=1,故在(0,1)上,f(x)0,f(x)单调递增.f(x)=ja+x0),令p(x)=f(x)=gp-a勺x0),则p(x)=eE：?+2)-?7x0).由(1)知，当xc(0,+8)时,exx,ex(x2-2x+2)-xx(x2-2x+2)-x=x(x-1)20,/p(x)=e?”-2：?+2)-?0(x0),故f(x)为定?义域上的增函数.又f(1)=-a+10,方程f(x)=0在(0,+00)上有唯一解.设f(x)=0的解为x0,则在(0,x0)上,f(x)0，且e?)1x02,.f(x)的最小值g(a)=f(x0)=-ax0+lnx。.?由f(x0)=0,得a=e曾-