第3讲-数学建模的插值法课件

1、1实验目的实验目的实验内容实验内容2、掌握用数学软件包求解插值问题。、掌握用数学软件包求解插值问题。1、了解插值的基本内容。、了解插值的基本内容。11一维插值一维插值22二维插值二维插值33实验作业实验作业2拉格朗日插值拉格朗日插值分段线性插值分段线性插值三次样条插值三次样条插值一一 维维 插插 值值一、一、插值的定义插值的定义二、插值的方法二、插值的方法三、用三、用Matlab解插值问题解插值问题返回返回3返回返回二维插值二维插值一、一、二维插值定义二维插值定义二、网格节点插值法二、网格节点插值法三、用三、用MatlabMatlab解插值问题解插值问题最邻近插值最邻近插值分片线性插值分片线性

2、插值双线性插值双线性插值网格节点数据的插值网格节点数据的插值散点数据的插值散点数据的插值4一维插值的定义一维插值的定义已知已知 n+1个节点个节点, 1 , 0(),(njyxjj其中其中jx互不相同，不妨设互不相同，不妨设),10bxxxan求任一插值点求任一插值点)(*jxx 处的插值处的插值.*y0 x1xnx0y1y节点可视为由节点可视为由)(xgy 产生产生g表达式复杂表达式复杂,或无封闭形式或无封闭形式,或未知或未知.。*x*y5 构造一个构造一个(相对简单的相对简单的)函数函数),(xfy 通过全部节点通过全部节点, 即即), 1 ,0()(njyxfjj再用再用)(xf计算插值

3、，即计算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y返回返回6 称为拉格朗日插值基函数拉格朗日插值基函数。n0iiiny)x(L)x(P 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,xn处的函数值为 y0,y1,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下其中Li(x) 为n次多项式：)xx()xx)(xx()xx)(xx()xx()xx)(xx()xx)(xx()x(Lni1ii1ii1i0in1i1i10i拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值7拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值特别地特

4、别地:两点一次两点一次(线性线性)插值多项式插值多项式: 101001011yxxxxyxxxxxL三点二次三点二次(抛物抛物)插值多项式插值多项式: 2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL .,满足插值条件直接验证可知xLn8 拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象现象55,11)(2xxxg 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.例例返回返回To MatlabTo Matlablch(larg1)lch(larg1)9分段线

5、性插值分段线性插值其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxL计算量与n无关;n越大，误差越小.nnnxxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxoy10To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回返回66,11)(2xxxg例例用分段线性插值法求插值用分段线性插值法求插值,并观察插值误差并观察插值误差.1.在在-6,6中平均选取中平均选取5个点作插值个点作插值(xch11)4.在在-6,6中平均选取中平均选取41个点作插值个点作插值(xch14)2.在在-6,6中平均选取中平均选取1

6、1个点作插值个点作插值(xch12)3.在在-6,6中平均选取中平均选取21个点作插值个点作插值(xch13)11比分段线性插值更光滑。比分段线性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。三次样条插值三次样条插值12 三次样条插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1,

7、1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然边界条件）(0)()()40 nxSxS)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng g( (x x) )为被插值函数为被插值函数。13例例66,11)(2xxxg用三次样条插值选取用三次样条插值选取11个基点计算插值个基点计算插值(ych)返回返回To MATLABych(larg1)14用用MATLABMATLAB作插值计算作插值计算一维插值函数：一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值点被插值点插值节点插值节点xixi处的插处的

8、插值结果值结果nearest ：最邻近插值：最邻近插值linear ： 线性插值；线性插值；spline ： 三次样条插三次样条插值；值；cubic ： 立方插值。立方插值。缺省时：缺省时： 分段线性插值。分段线性插值。 注意：所有的插值方注意：所有的插值方法都要求法都要求x x是单调的，并且是单调的，并且xi不能够超过不能够超过x的范围。的范围。15 例：在例：在1-121-12的的1212小时内，每隔小时内，每隔1 1小时测量一次小时测量一次温度，测得的温度依次为：温度，测得的温度依次为：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727

9、，2424。试估计每隔。试估计每隔1/101/10小时的小时的温度值。温度值。hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作图xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius) %摄氏度16二维插值的定义二维插值的定义 xyO O第一种（网格节点）：第一种（网格节点）：17 已知已知 m n个节点个节点 ),2 , 1;,.,2 , 1(),(njmi

10、zyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨设互不相同，不妨设bxxxam 21dyyycn 21 构造一个二元函数构造一个二元函数),(yxfz 通过全部已知节点通过全部已知节点,即即再用再用),(yxf计算插值，即计算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 18第二种（散乱节点）：第二种（散乱节点）： yx0 019已知已知n个节点个节点),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 构造一个二元函数构造一个二元函数),(yxfz 通过全部已知节点通过全部已知节点,即即),1 ,0(),(nizyx

11、fiii 再用再用),(yxf计算插值，即计算插值，即).,(*yxfz 返回返回20 注意：注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单的插值是分片线性插值。最邻近插值最邻近插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O 二维或高维情形的最邻近插值，与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求。返回返回21 将四个插值点（矩形的四个顶点）处的函数值依次简记为： 分片线性插值分片线性插值xy (xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1, yj+1)O Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)

12、=f3，f (xi, yj+1)=f422插值函数为：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff ()xx)(ff (f)y, x(fj23i121第二片(上三角形区域)：(x, y)满足iii1ij1jy)xx(xxyyy插值函数为：)xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(fi43j141注意注意：(x, y)当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内。显然，分片线性插值函数是连续的；分两片的函数表达式如下：第一片(下三角形区域)： (x, y)满足返回返回23 双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。双线性插值函数的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四个待定系

13、数，利用该函数在矩形的四个顶点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正好确定四个系数。双线性插值双线性插值x y(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O O返回返回24 要求要求x0,y0 x0,y0单调；单调；x x，y y可取为矩阵，可取为矩阵，或或x x取行向量，取行向量，y y取取为列向量，为列向量，x,yx,y的值的值分别不能超出分别不能超出x0,y0 x0,y0的范围。的范围。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值点插值方法用用MATLAB作网格节点数据的插值作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值nearestneare

14、st 最邻近插值最邻近插值linearlinear 双线性插值双线性插值cubiccubic 双三次插值双三次插值缺省时缺省时, , 双线性插值双线性插值25例：测得平板表面例：测得平板表面3 3* *5 5网格点处的温度分别为：网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)z=f(x,y)的图形。的图形。输入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81

15、80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图.2以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.26再输入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)画出插值后的温度分布曲面图. 27 插值函数插值函数griddata格式为格式为: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散点数据的插值计算作散点数据的插值计算

16、要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取为列向量。取为列向量。被插值点插值方法插值节点被插值点的函数值nearestnearest 最邻近插值最邻近插值linearlinear 双线性插值双线性插值cubiccubic 双三次插值双三次插值v4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省时缺省时, , 双线性插值双线性插值28 例例 在某海域测得一些点在某海域测得一些点(x,y)(x,y)处的水深处的水深z z由下由下表给出，船的吃水深度为表给出，船的吃水深度为5 5英尺，在矩形区域（英尺，在矩形区域（7575，200200）* *（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免进

17、入。）里的哪些地方船要避免进入。xyz129 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz157.5 107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.59 9 8 8 9 4 929 ) 1( .150,50200,75. 2hd三次插值法作二维插值在矩形区域.1 输入插值基点数据To MATLAB hd14.作出水深小于5的海域范围,即z=5的等高线.3.3.作海底曲面图作海底曲面图30clearx=129 140 103.5 8

18、8 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5;y=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5;z=-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9;cx=75:0.5:200;cy=-50:0.5:150;cz=griddata(x,y,z,cx,cy,cubic);meshz(cx,cy,cz),rotate3dxlabel(X),ylabel(Y),zlabel(Z)%pausefigure(2),contour(cx,cy,cz,-5 -5);%等高线内部的深度小于5米gridhold onplot(x,y,+)xlabel(X),ylabel(Y)31xy机翼下轮廓线X035791 11 21 31 41 5Y01 . 21