第3章扭转变形课件

1、第第3 3章章 扭转扭转 第第3 3章章 扭转扭转3-1 3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3-33-3 纯剪切纯剪切3-2 3-2 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图3-4 3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3-5 3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能等直圆杆扭转时的应变能3-73-7 矩形截面杆扭转理论简介矩形截面杆扭转理论简介2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转l工程实例：汽车传动轴工程实例：汽车传动轴传动轴传动轴3-13-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例传动轴受扭传动轴受扭2022-3-22第第3 3

2、章章 扭转扭转2022-3-22l工程实例：汽车方向盘工程实例：汽车方向盘第第3 3章章 扭转扭转l工程实例：齿轮传动轴工程实例：齿轮传动轴2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转l工程实例：螺栓、螺母工程实例：螺栓、螺母第第3 3章章 扭转扭转 本章研究杆件发生本章研究杆件发生扭转变形扭转变形，其它变形可忽略，其它变形可忽略的情况，以的情况，以圆截面圆截面( (实心圆截面或空心圆截面实心圆截面或空心圆截面) )杆杆为主要为主要研究对象研究对象。研究的问题限于研究的问题限于杆在线弹性范杆在线弹性范围内工作围内工作的情况。的情况。2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转l 变形特点：变形特点

3、：1.1.杆件各杆件各横截面绕轴线作相对转动横截面绕轴线作相对转动； 2.2.杆表面的杆表面的纵向线倾斜了一个角度纵向线倾斜了一个角度 。l受力特点受力特点： 圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面圆截面直杆受到与杆轴线垂直平面内的内的外力偶外力偶M M作用作用。2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转3-2 3-2 外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图外力偶矩的计算、扭矩及扭矩图1.1.传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 当传动轴稳定转动时，外力偶在当传动轴稳定转动时，外力偶在单位时间内所单位时间内所作之功作之功等于外力偶之矩等于外力偶之矩M M 与相应角速度的乘积。与相应角速度的乘积。MP 2022-3-

4、221M2M3M主动轮主动轮从动轮从动轮从动轮从动轮第第3 3章章 扭转扭转 smNW/.11602103nMPl从动轮从动轮上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。上的外力偶则转向与传动轴的转动方向相反。min/.9549rkWmNnPMl主动轮主动轮上的外力偶其转向与传动轴的上的外力偶其转向与传动轴的转动方向转动方向相同，相同，2022-3-221M从动轮从动轮主动轮主动轮从动轮从动轮2M3M注意注意n转向转向第第3 3章章 扭转扭转2.2.扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩传动轴横截面上的扭矩T T 可利用可利用截面法截面法来计算。来计算。T = M2022-3-22MM11

5、MnMn保留左端保留左端保留右端保留右端TT第第3 3章章 扭转扭转2022-3-22l扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),负负(-)(-)l扭矩图扭矩图 表示各横截面上的扭矩沿轴线的变表示各横截面上的扭矩沿轴线的变化情况的图。化情况的图。第第3 3章章 扭转扭转 例题例题3-13-1 已知：已知： , ,P PA A = 36KW= 36KW，P PB B = =P PC C =11KW=11KW，P PD D=14KW=14KW。试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 min/300 rn 解：解：1.1.计算外力偶

6、矩计算外力偶矩nPMAeA95492022-3-22BCADeAMeBMeCMeDMmNmN.1146.)300369549(nPMMBeCeB9549mNmN.350.)300119549(nPMDeD9549mNmN.446.)300149549(第第3 3章章 扭转扭转2. 2. 计算各段的扭矩计算各段的扭矩BC段内：mN3501eBMTmN4463eDMTCA段内：mN 0072eCeBMMT2022-3-22BCADeBMeCMeAMeDM123eBMx1TeBMeCM2TxxeDM3TAD段内：01eBMT02eCeBMMT03eDMT第第3 3章章 扭转扭转2. 2. 计算各段的

7、扭矩计算各段的扭矩mNMTB.78. 41mNMMTCB.56. 92mNDMT.337. 6l扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代数和扭矩等于保留段的全部外力偶矩的代数和。l外力偶矩外力偶矩投影箭头向上投影箭头向上为正为正, ,l外力偶矩外力偶矩投影箭头向下投影箭头向下为负。为负。保留左端保留左端2022-3-22BCADeBMeCMeAMeDM123保留右端保留右端符号相反符号相反第第3 3章章 扭转扭转3.3.作扭矩图作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩T Tmaxmax在在CACA段段内，其值为内，其值为700N.m700N.m。 2022-3-22xBC

8、ADeBMeCMeAMeDMTmN.350mN.700mN.446第第3 3章章 扭转扭转思考：思考：如果将从动轮如果将从动轮D D 与与C C 的位置对调，试作该传的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？2022-3-22BCADeBMeCMeAMeDMBCADeBMeDMeAMeCM第一种方案第一种方案第二种方案第二种方案第第3 3章章 扭转扭转2022-3-22BCADeBMeCMeAMeDMxTmN.350mN.700mN.446BCADeBMeDMeAMeCMxTmN.350mN.796mN.350第二种方案第二种方案第一种方案第一种方

9、案那个方那个方案好案好? ?第第3 3章章 扭转扭转2022-3-22Dl试求各段的扭矩，画扭矩图试求各段的扭矩，画扭矩图第第3 3章章 扭转扭转MM3-33-3 纯剪切纯剪切试验中观察到：试验中观察到：(1)(1)当变形很小时，当变形很小时，各圆周线的大小与间距不变各圆周线的大小与间距不变， 仅仅绕轴线作相对旋转绕轴线作相对旋转；(2)(2)各纵向线倾斜一角度各纵向线倾斜一角度，矩形网格均变成同样大，矩形网格均变成同样大小的平行四边形。小的平行四边形。1.1.薄壁圆管扭转时的切应力薄壁圆管扭转时的切应力2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转(1) (1) 只有与只有与圆周相切的切应力圆周

10、相切的切应力，且圆周上所有点处，且圆周上所有点处的切应力相同，横截面上的切应力相同，横截面上无正应力无正应力。(2) (2) 对于薄壁圆筒，可认为对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布。切应力沿壁厚均匀分布。横截面上的应力：横截面上的应力：2022-3-22abcdTA A放大放大Aabcd第第3 3章章 扭转扭转drdArMe20220 22 r22 rMe2022-3-22rddA Td0rdA1.1.薄壁圆管扭转时的切应力薄壁圆管扭转时的切应力eM第第3 3章章 扭转扭转2.2. 切应力互等定理切应力互等定理微小单元体上的力偶平衡微小单元体上的力偶平衡, ,即即dydxdydx结论：在

11、相互垂直的两个平面上，切应力必然成结论：在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则均指向或均离开该交线。线，方向则均指向或均离开该交线。切应力切应力互等定理互等定理2022-3-22dydxdabcabcd第第3 3章章 扭转扭转纯剪切的概念纯剪切的概念 如果单元体的两对互相垂直的平面上如果单元体的两对互相垂直的平面上只有切只有切应力应力，而在另一对平面上，而在另一对平面上没有任何应力没有任何应力，则该单，则该单元体处于元体处于纯剪切状态纯剪切状态。2022-3-22dydxdabc第第3 3章章 扭转扭转

12、3.3.剪切胡克定律剪切胡克定律 在切应力的作用下在切应力的作用下, ,微体发生了直角改变，这微体发生了直角改变，这种角变量称为种角变量称为切应变切应变 。 扭转试验表明扭转试验表明: :当切应力不超过材料的剪切比当切应力不超过材料的剪切比例极限例极限 时时, ,切应力与切应变成正比切应力与切应变成正比, ,引入比例系引入比例系数数G,G,则则pG切变模量切变模量, ,其值随材料而异其值随材料而异剪切虎克定律剪切虎克定律钢材的切变模量的钢材的切变模量的约值为：约值为：G G=80GPa=80GPa2022-3-22)1 (2EG第第3 3章章 扭转扭转3-4 3-4 圆杆扭转的应力圆杆扭转的应

13、力一一. .横截面上的应力横截面上的应力表面变表面变形情况形情况推断推断横截面的横截面的变形情况变形情况( (问题的几何方面问题的几何方面) )横截面上横截面上应变的变应变的变化规律化规律横截面上应横截面上应力变化规律力变化规律应力应力- -应变应变 关系关系( (问题的物理方面问题的物理方面) )内力与应力内力与应力 关系关系横截面上应力横截面上应力的计算公式的计算公式( (问题的静力学方面问题的静力学方面) )2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转1.1.表面变形情况：表面变形情况：(a)(a)各圆周线各圆周线的的大小、形状和间距不变大小、形状

14、和间距不变，仅绕轴线作，仅绕轴线作相对转动；相对转动； (b)(b)纵向线纵向线倾斜了一个倾斜了一个角度角度 。平面假设平面假设变形后横截面仍保持为平面。变形后横截面仍保持为平面。推知：杆的横截面上只有推知：杆的横截面上只有切应力切应力，且垂直于半径。，且垂直于半径。(1) (1) 变形几何关系变形几何关系一一. .圆柱扭转横截面上的应力圆柱扭转横截面上的应力2022-3-22MM第第3 3章章 扭转扭转2.2.切应变随点的位置的变化规律切应变随点的位置的变化规律xdd2022-3-22eMeMdcababRdoodxdcbaadaa dxdR根据变形后横截面任为根据变形后横截面任为平面、半径

15、任为直线的平面、半径任为直线的假设，求假设，求矩圆心为矩圆心为 处处的切应变：的切应变：第第3 3章章 扭转扭转2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转xdd 式中式中 相对扭转相对扭转角角 沿杆长的变化率，常沿杆长的变化率，常用用 来表示，对于来表示，对于给定的给定的横截面为常量横截面为常量。xdd 可见，在横截面的同一半径可见，在横截面的同一半径r r 的圆周上各点处的圆周上各点处的切应变的切应变 均相同；均相同； 与与 成正比，且发生在与半成正比，且发生在与半径垂直的平面内。径垂直的平面内。bbTTO1O2d GGDDaadxAE2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转xGGdd(2

16、) (2) 物理关系物理关系由剪切胡克定律由剪切胡克定律 G 知知此式表明：此式表明：扭转切应力沿截面径向线性变化。扭转切应力沿截面径向线性变化。 空心圆轴空心圆轴切应力分布切应力分布实心圆轴实心圆轴切应力分布切应力分布2022-3-22maxT圆周上任一点圆周上任一点都是危险点都是危险点 maxT第第3 3章章 扭转扭转(3) (3) 静力学方面静力学方面其中其中 称为横截面的称为横截面的极惯性极惯性矩矩I Ip p，它是横截面的几何性质。，它是横截面的几何性质。AAd2 dTAA切应力计算公式切应力计算公式pddGITxAAId2p以以 代入上式得：代入上式得：TAxGAddd 2即202

17、2-3-22dATppITGITG（3.83.8）第第3 3章章 扭转扭转pppmaxWTRITITRpITTmaxmaxd抗扭截面系数抗扭截面系数，单位为，单位为m m3 3横截面周边上各点处横截面周边上各点处( ( = =R)R)的最大的最大切应力为切应力为TmaxmaxdDPWTmax极惯性矩极惯性矩扭扭矩矩二二. .最大扭转切应力最大扭转切应力2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转dl实心圆截面实心圆截面32d24203dd二二. .圆截面的圆截面的极惯性矩极惯性矩I Ip p和和扭转截面系数扭转截面系数W Wp p162/3ppddIWAAId2p2022-3-220d324DI

18、P163pDW 第第3 3章章 扭转扭转什么？什么？33p116DWl空心圆截面空心圆截面DdDdDAIDdA其中44442232p13232 d2d4344pp116162/DDdDDIW2022-3-22dD第第3 3章章 扭转扭转解：（解：（1 1）内力分析）内力分析 ABAB段段: : BC BC段段: :2022-3-22ABCeAMeBMeCM2112mNMTeA.1001mNMTeC.2002xT 补充例题补充例题 轴左段为实心圆截面，轴左段为实心圆截面，d=20 mmd=20 mm，右段为，右段为空心圆截面，空心圆截面，d=15mmd=15mm、D=25mmD=25mm。 ，

19、mNMMeBeA.100mNMeC.200，试计算轴内的最大扭转切应力。，试计算轴内的最大扭转切应力。 第第3 3章章 扭转扭转（2 2）应力分析）应力分析mNdTWTt331max, 110201001616)10251015(1 )1025(20016)1 (164333432max, 2mmmNDTWTt2022-3-222ABC2AMBMCM11MPa7 .63Pa71037. 6Pa71049. 7MPa9 .74第第3 3章章 扭转扭转低碳钢扭转破坏断口低碳钢扭转破坏断口 2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转铸铁扭转破坏断口铸铁扭转破坏断口2022-3-22第第3 3章章 扭

20、转扭转 思考：思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图坏的断口分别如图a a及图及图b b所示，试问为什么它们所示，试问为什么它们的断口形式不同？的断口形式不同？2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转2022-3-22tmaxmax WTtmax WTmaxt TW tmax WT 应用应用第第3 3章章 扭转扭转 补充例题补充例题 图示阶梯空心圆轴，图示阶梯空心圆轴，M MA A =150N.m, =150N.m,M MB B =50N.m=50N.m，M MC C =100N.m,=100N.m, =90 MPa=90 MPa。试校核该轴的

21、强度。试校核该轴的强度。解：解：(1)(1)求求ABAB与与BCBC段的扭矩段的扭矩AB段： T1= MA= 150 NmBC段： T2= Mc= 100 Nm2022-3-22ABCAMBMCM182418221122mN.150mN.100第第3 3章章 扭转扭转(2)(2)强度校核强度校核4113111max,)(1 16DdDT4223222max,)(1 16DdDT故该轴的扭转强度符合要求。故该轴的扭转强度符合要求。 aMPmmmmmmmmN8 .88)2418(1 )24().10150(16436 aMPmmmmmmmmN7 .86)2218(1 )22(.1010016436

22、第第3 3章章 扭转扭转 例例3.23.2题题 图示传动轴，图示传动轴， kNPkNP98. 2,756. 031min,/5 .183 rn 材料为材料为45钢钢 ， 。MPa40试根据强度要求确定轴的直径试根据强度要求确定轴的直径 。解解:(1)求外力矩求外力矩 nPMe119549mNmN.3 .39.)5 .183756. 09549(nPMe339549mNmN.155.)5 .18398. 29549(xmNT./(2)(2)作扭矩图作扭矩图3 .39155mNT.155max123m3 . 0m4 . 01eM2eM3eM第第3 3章章 扭转扭转(3)(3)强度校核强度校核tWT

23、163maxDT故有故有3max16TD mPamN0270. 0)1040(.1551636可见可见,按强度要求可取按强度要求可取 。mmD27第第3 3章章 扭转扭转 例例3-3 3-3 汽车传动轴。汽车传动轴。T=1.5 kN.mT=1.5 kN.m， =60 =60 MPaMPa，无缝钢管的，无缝钢管的D=90mmD=90mm ,d=85mm,d=85mm,试校核轴的强度。试校核轴的强度。若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较若保持最大切应力不变，将轴改为实心轴，试比较实心轴和空心轴的重量。实心轴和空心轴的重量。解：解：(1)(1)空心轴强度校核空心轴强度校核2022-3-22t

24、WTDdDWt16)(44)1090(1610)8590(341244mm36103 .29m363103 .29.105 . 1mmN2 .51102 .516MPaPa故轴满足强度条件。故轴满足强度条件。第第3 3章章 扭转扭转(2)(2)确定实心与空心圆轴的重量比确定实心与空心圆轴的重量比21AA2022-3-22tWTPamDmN63313102 .51.)105 . 1 (16由此求出由此求出 mmmD530530. 01222110 .5344mmDA222222)8590(44)(mmdDA31. 00 .53)8590(22222mmmm可见：空心轴远比实心轴轻。可见：空心轴远

25、比实心轴轻。第第3 3章章 扭转扭转3-5 3-5 圆杆扭转时的变形圆杆扭转时的变形1.1.扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭相对扭转角转角( (相对角位移相对角位移) ) 来度量。来度量。MeADB CMe 2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转 当等直圆杆相距当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩的两横截面之间，扭矩T T及及材料的切变模量材料的切变模量G G为常量时有为常量时有pGITlllxGIT0pdd2022-3-22 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率由前已得到的扭转角沿杆长的变化率( (亦称亦称单位单位长度扭

26、转角长度扭转角) )为为 。可知，杆的相距可知，杆的相距 的两横截面之间的相对扭转角的两横截面之间的相对扭转角为pddGITxl第第3 3章章 扭转扭转2.2.刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角式中的许可单位长度扭转角 的常用单位是的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：l对于精密机器的轴对于精密机器的轴 0.150.30 ()/m；l对于一般的传动轴对于一般的传动轴 2 ()/m。max1800pmaxmaxGIT2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转 例例3-4 3-4 图示例图示例3.23.2 钢制实心圆截面轴钢制实心

27、圆截面轴。2022-3-22。mGPaG/ )(5 . 1 ,80已知已知：13试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角试按刚度要求计算该轴的直径及的总扭转角 。 解：解：1、按刚度条件计算直径、按刚度条件计算直径1800pmaxmaxGITmDGmN/ )(5 . 118032.1554mmPamND0295. 0)/ )(5 . 1 ()1080()180)(.155(32329选取选取mmD30第第3 3章章 扭转扭转2 2、各段轴的两个端面间的相对扭转角、各段轴的两个端面间的相对扭转角：123BC2022-3-22P12GITlrad1085. 1)1030(32Pa1080m3 . 0

28、m9.3N33439mP23GITlrad1075. 9)1030(32Pa1080m4 . 0mN1553439m第第3 3章章 扭转扭转3 3、齿轮、齿轮3 3 相对于齿轮相对于齿轮1 1的扭转角的扭转角2022-3-22231213rad1090. 710)75. 985. 1 (33rad123m3 . 0m4 . 01eM2eM3eM第第3 3章章 扭转扭转3-6 3-6 等直圆杆扭转时的应变能（选讲）等直圆杆扭转时的应变能（选讲）1.1. 纯剪切应力状态下的应变能密度纯剪切应力状态下的应变能密度l计算外力所作功计算外力所作功dWdW 使左侧面不动，右侧面上的外力使左侧面不动，右侧面

29、上的外力tdtdy yd dz z在相应的在相应的位移位移gdgdx x上作功。上作功。2022-3-22纯剪切应力状纯剪切应力状态的单元体态的单元体0p0 xyzdxdydz第第3 3章章 扭转扭转zyxxyzWddd21ddd21d 当材料在线弹性范围内工作时当材料在线弹性范围内工作时( p，见图见图b)b)，有有2022-3-22纯剪切应力状纯剪切应力状态的单元体态的单元体0p0 xyzdxdydz第第3 3章章 扭转扭转21dddddd21ddddzyxzyxVWVVv2222GvGv或 单元体内蓄积的应变能单元体内蓄积的应变能dV数值上等于单元体上数值上等于单元体上外力所作功外力所作

30、功dW，即即dV=dW 。单元体单位体积内的单元体单位体积内的应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为应变能，亦即纯剪切应力状态下的应变能密度为 由剪切胡克定律由剪切胡克定律 =G，该应变能密度的表达式可写为该应变能密度的表达式可写为2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转 在扭矩在扭矩T T为常量时，长度为为常量时，长度为 l 的等直圆杆所的等直圆杆所蓄积的应变能为蓄积的应变能为l 等直圆杆在扭转时积蓄的应变能等直圆杆在扭转时积蓄的应变能lAVxAvVvVdddp222p22p22d2dd21dd2GIlTAITGlAITxGxAGVAAlAl 由由 可知可知，亦有亦有pGITl2p2l

31、GIV 2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转 当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆当等直圆杆各段横截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄积的应变能为内蓄积的应变能为niiiniiilGIVGIlTV12p1p22,2亦即应变能亦可如下求得：应变能亦可如下求得：p22121GIlTTWV2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转 例题例题3-7 3-7 图示图示ABAB、CD CD 为等直圆杆，扭转刚度为等直圆杆，扭转刚度均为均为GIp，BC 为刚性块，为刚性块，D D 截面处作用有外力偶截面处作用有外力偶矩矩Me 。试试求：（求：（1 1）杆系内的应变能）杆系内的应变能；（；（2 2）利用外力）利用外力偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求偶矩所作功在数值上等于杆系内的应变能求D D 截面截面的扭转角的扭转角 D。ABCDMel/2l2022-3-22第第3 3章章 扭转扭转T2=MeD MeT1=-MeB