第七章线性变换

1、第七章 线性变换7.1 7.1 线性映射线性映射7.27.2线性变换的运算线性变换的运算7.3 7.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵7.4 7.4 不变子空间不变子空间7.5 7.5 特征值和特征向量特征值和特征向量7.6 7.6 可以对角化矩阵可以对角化矩阵7.1 7.1 线性映射线性映射一、内容分布一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核线性变换的象与核.二、二、 教学目的教学目的: 1准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）的法则是否是一个线性变换（线性映射）

2、 2正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核联系，并能求给定线性变换的象与核三、三、 重点难点重点难点: 判断给定的法则是否是一个线性变判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核换（线性映射），求给定线性变换的象与核 7.1.1 7.1.1 线性映射的定义、例线性映射的定义、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义定义1 设设是是V 到到W 的一个映射的一个映射. 如果下列条如果下列条件被满足，就称件被满足，就称是是V 到到W 的一个线性映射：的一个线性映射：对于任意对于任意 对于任意对于

3、任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：对于任意对于任意 和任意和任意,V).()()()()(,aaVFaFba,V)()()(baba在在中取中取 ，对，对进行数学归纳，可以得到：进行数学归纳，可以得到：（1）（2）0a0)0()()()(1111nnnnaaaa例例1 对于对于 的每一向量的每一向量 定义定义 是是 到到 的一个映射，我们证明，的一个映射，我们证明，是一个线是一个线性映射性映射. 2R21,xx 321211,Rxxxxx3R2R例例2 令令H是是 中经过原点的一个平面中经过原点的一个平面.对于对于 的每的每一向量一向量，令

4、，令 表示向量表示向量在平面在平面H上的正射影上的正射影.根据射影的性质，根据射影的性质， 是是 到到 的一个线的一个线性映射性映射. 3V3V :3V3V例例3 令令A是数域是数域F上一个上一个m n矩阵，对于矩阵，对于n元列空元列空间的间的 每一向量每一向量 mFnxxx21规定： 是一个是一个m1矩阵，即是空间矩阵，即是空间 的一个向量，的一个向量，是是 到到 的一个线性映射的一个线性映射. mFmFnF例例4 令令V 和和W是数域是数域F 上向量空间上向量空间.对于对于V 的每一向的每一向量量令令W 的零向量的零向量0与它对应，容易看出这是与它对应，容易看出这是V 到到W的一个线性映射

5、，叫做零映射的一个线性映射，叫做零映射. 例例5 令令V是数域是数域F上一个向量空间，取定上一个向量空间，取定F的一个数的一个数k，对于任意，对于任意 定义定义容易验证，容易验证，是是V 到自身的一个线性映射，这样一到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做个线性映射叫做V 的一个位似的一个位似. 特别，取特别，取k = 1，那么对于每一，那么对于每一 都有都有 这时这时就是就是V到到V的恒等映射，或者叫做的恒等映射，或者叫做V的单位映的单位映射，如果取射，如果取k = 0，那么，那么就是就是V 到到V的零映射的零映射. ,V k,V ,例例6 取定取定F的一个的一个n元数列元数列 对于对于

6、的每一向量的每一向量 规定规定 容易验证，容易验证，是是 到到F的一个线性映射，这个线性的一个线性映射，这个线性映射也叫做映射也叫做F上一个上一个n元线性函数或元线性函数或 上一个线性上一个线性型型. .21naaanF.21nxxx Fxaxaxann2211nFnF例例7 对于对于Fx 的每一多项式的每一多项式 f（x），令它的导数），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义与它对应，根据导数的基本性质，这样定义的映射是的映射是Fx到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射. xf 例例8 令令Ca, b是定义在是定义在a, b上一切连续实函数所上一切连续实函数所成的成的R上向量空

7、间，对于每一上向量空间，对于每一 规定规定 仍是仍是a, b上一个连续实函数，根据积分上一个连续实函数，根据积分的基本性质，的基本性质，是是Ca, b到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射. ,baCxf dttfxfxa xf定义定义2 设设是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的一个线性映射, (1) 如果如果 那么那么 叫做叫做 在在之下的象之下的象.(2) 设设 那么那么 叫做叫做 在在 之下的原象之下的原象.,VV | )()(VVV,WW W)( |VW定理定理7.1.1 设设V 和和W 是数域是数域F 上向量空间，而上向量空间，而 是一个线性映射，那么是一个线性映射，那么V

8、 的任意子空间的任意子空间在在之下的象是之下的象是W 的一个子空间，而的一个子空间，而W 的任意子空的任意子空间在间在之下的原象是之下的原象是V 的一个子空间的一个子空间. WV :特别，向量空间特别，向量空间V 在在之下的象是之下的象是W 的一个的一个子空间，叫做子空间，叫做的象的象, 记为记为 即即另外，另外，W 的零子空间的零子空间 0 在在之下的原象是之下的原象是V 的一个子空间，叫做的一个子空间，叫做的核，的核，记为记为即即),Im().()Im(V),(Ker.0)(|)(VKer定理定理7.1.2 设设V和和W是数域是数域F向量空间，而是一个线向量空间，而是一个线性映射，那么性映

9、射，那么(i) 是满射是满射(ii) 是单射是单射证明证明 论断论断(i)是显然的是显然的,我们只证论断我们只证论断(ii)如果如果是单射是单射,那么那么ker()只能是含有唯一的零向量只能是含有唯一的零向量.反过来设反过来设ker() = 0. 如果如果 那么那么 从而从而 所以所以 即即是单射是单射.WV :W)Im(0)(Ker).()(, 而V, 0)()()(.0)ker(,如果线性映射如果线性映射 有逆映射有逆映射 ，那么是，那么是W 到到V 的一个线性映射的一个线性映射.WV :17.2 线性变换的运算 一、内容分布一、内容分布7.2.1 加法和数乘加法和数乘7.2.2线性变换的

10、积线性变换的积7.2. 3线性变换的多项式线性变换的多项式二、二、 教学目的教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的能够求出给定线性变换的多项式多项式.三、三、 重点难点重点难点: 会做运算会做运算. 7.2.1 加法和数乘 令令V是数域是数域F上一个向量空间，上一个向量空间，V到自身的一个到自身的一个线性映射叫做线性映射叫做V 的一个线性变换的一个线性变换.我们用我们用L（V）表示向量空间和一切线性变换所成）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设的集合，设定义定义: 加

11、法加法: 数乘数乘: , 那么是那么是V的一个线性变换的一个线性变换.可以证明可以证明: 和和 都是都是V 的一个线性变换的一个线性变换. ,),(,FkvL)()(:)(:kkk令令 ，那么对于任意，那么对于任意 和任意和任意 Fba,V 证明证明 ).()()()()()()()()()()()()(bababababababa所以所以 是是V的一个线性变换的一个线性变换 k令令 ，那么对于任意，那么对于任意 和任意和任意 Fba,V. )()()()() )()()()(babkakbakbakba所以所以k是是V的一个线性变换的一个线性变换. 线性变换的加法满足变换律和结合律线性变换的

12、加法满足变换律和结合律,容易证明容易证明,对对于任意于任意 ,以下等式成立以下等式成立: )(,vL(1)(1);(2)(2).()(令令表示表示V到自身的零映射到自身的零映射,称为称为V的零变换的零变换,它显然它显然具有以下性质：对任意具有以下性质：对任意 有：有： )(vL(3)(3)设设 的负变换的负变换指的是指的是V到到V的映射的映射容易验证，容易验证，也是也是V的线性变换，并且的线性变换，并且 ),(vL).(:（4 4）)(线性变换的数乘满足下列算律：线性变换的数乘满足下列算律：,)()5(kkk,)()6(lklk),()()7(lkkl,1)8(这里这里k k, ,l l是是F

13、 F中任意数，中任意数，,是是V V的任意线性变换的任意线性变换. .定理定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域）对于加法和数乘来说作成数域F上一个向量空间上一个向量空间. 设设 容易证明合成映射容易证明合成映射 也是也是V上的线上的线性变换，即性变换，即 我们也把合成映射我们也把合成映射 叫叫做做与与的积，并且简记作的积，并且简记作 。除上面的性质外，。除上面的性质外，还有：还有： ),(,VL).(VL,)()9(,)()10(),()()()11(kkk对于任意对于任意 成立。成立。)(,vLFk证明证明 我们验证一下等式（我们验证一下等式（9）其余等式可以类似地）其余等式可

14、以类似地验证。设验证。设 我们有我们有.V),)()()()()()()()()(因而（因而（9 9）成立。）成立。 线性变换的乘法满足结合律：线性变换的乘法满足结合律：对于任意对于任意 都有都有 ),(,vL).()(因此因此,我们可以合理地定义一个线性变换我们可以合理地定义一个线性变换的的n次幂次幂 nn这里这里n n是正整数。是正整数。我们再定义我们再定义 0这里这里表示表示V到到V的单位映射，称为的单位映射，称为V的单位变换。这的单位变换。这样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。 进一步，设进一步，设 .)(10nnxaxaaxf是是F

15、上一个多项式，而上一个多项式，而 以以代替代替x，以，以 代替代替 ，得到，得到V的一个线性变换的一个线性变换 ),(VL0a0a.10nnaaa 这个线性变换叫做当这个线性变换叫做当 时时f (x)的值，并且的值，并且记作记作 x).(f（1）因为对于任意因为对于任意 我们也可将我们也可将 简记作简记作 ，这时可以写，这时可以写,)(,00aaV0a0a.)(10nnaaaf（2）带入法：如果带入法：如果 并且并且 ,)(),(xFxgxf).()()()()()(xgxfxxgxfx那么根据那么根据L L( (V V ) )中运算所满足的性质中运算所满足的性质, ,我们有我们有 ).()(

16、)()()()(gfgf 一、内容分布一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵相似矩阵二、教学目的二、教学目的: 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n 阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换 2由向量由向量关于给定基的坐标，求出关于给定基的坐标，求出()关于这个基的坐关于这个基的坐标标 3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出

17、已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于另关于另一个基的矩阵。一个基的矩阵。三、重点难点三、重点难点: 线性变换和矩阵之间的相互转换线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换坐标变换, 相似矩阵。相似矩阵。 现在设现在设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，令维向量空间，令是是V的一的一个线性变换，取定个线性变换，取定V的一个基的一个基 令令 ,21nnnaaa12211111)(nnaaa22221122)(nnnnnnaaa2211)(设设 nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211N 阶矩阵阶矩阵A 叫做线性变换叫做线性变换关于基关于基 的的矩阵矩阵. 上面的表达常常

18、写出更方便的形式上面的表达常常写出更方便的形式: ,21n(1) (1) Annn)()(,),(),(),(212121设设V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间, 是它的一个基是它的一个基, 关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 而而()的坐标是的坐标是 问问: 和和 之间有什么关系之间有什么关系? ,21n),(21nxxx).,(21nyyy),(21nyyy),(21nxxx设设.),(21212211nnnnxxxxxx因为因为是线性变换，所以是线性变换，所以 （2 2）.)(,),(),()()()()(21212211nnnnxxxxxx将（将（1）代入（）代入（

19、2）得）得 .),()(2121nnxxxA最后，等式表明，最后，等式表明， 的坐标所组成的坐标所组成的列是的列是 ),()(21n关于.21nxxxA综合上面所述综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：我们得到坐标变换公式：定理定理.1 令令V是数域是数域F上一个上一个n 维向量空间，维向量空间，是是V的一个线性变换，而的一个线性变换，而关于关于V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 ,21nnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211如果如果V中向量中向量关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 ，而而()的坐标是的坐标是 ， ),(21nxxx),(21nyyy那么那

20、么nnxxxAyyy2121例例1 在空间在空间 内取从原点引出的两个彼此正交的内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量单位向量 作为作为 的基的基.令令是将是将 的每一向的每一向量旋转角量旋转角的一个旋转的一个旋转. 是是 的一个线性变换的一个线性变换.我们我们有有 2V21,2V2V2V .cossin,sincos212211所以所以关于基关于基 的矩阵是的矩阵是21,cossinsincos设设 ，它关于基，它关于基 的坐标是的坐标是 ,而而 的坐标是的坐标是 .那么那么 2V21,xx21, 21, yy2121cossinsincosxxyy 引理引理7.3.2 设设V是数域是数域F

21、上一个上一个n 维向量空间，维向量空间， 是是V的一个基，那么对于的一个基，那么对于V 中任意中任意n个向量个向量 ，有且仅有，有且仅有 V 的一个线性变的一个线性变换换，使得，使得:,21nn,21niii, 2 , 1)(证证 设设 nnxxx2211是是V中任意向量中任意向量.我们如下地定义我们如下地定义V到自身的一个映到自身的一个映射射：nnxxx2211)(我们证明，我们证明，是是V的一个线性变换。设的一个线性变换。设Vyyynn2211那么那么 .)()()(222111nnnyxyxyx于是于是 ).()()()(.)()()()(22112211222111nnnnnnnyyy

22、xxxyxyxyx设设 那么那么 .Fa).()()()(221122112211axxxaaxaxaxaxaxaxannnnnn这就证明了这就证明了是是V的一个线性变换。线性变换的一个线性变换。线性变换显然显然满足定理所要求的条件：满足定理所要求的条件：niii, 2 , 1)(如果如果是是V的一个线性变换，且的一个线性变换，且 niii, 2 , 1)(那么对于任意那么对于任意.2211Vxxxnn),()()()()()(221122112211nnnnnnxxxxxxxxx从而从而 .定理定理.3 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空间，维向量

23、空间， 是是V V 的一个基，对于的一个基，对于V V 的每一个线的每一个线性变换性变换，令，令关于基关于基 的矩阵的矩阵A A与与它对应，这样就得到它对应，这样就得到V V 的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L L（V V）到）到F F上全体上全体n n 阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合 的一的一个双射，并且如果个双射，并且如果 , ,而而 ， 则则 (3)(3) (4) (4) ,21n,21n)(FMn)(,vLAB,FaaAaBAAB证证 设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是A。那么那么 是是 的一个映射。的一个映射。,21nA)()(FMVLn到nnnnn

24、naaaaaaaaaA212222111211是是F上任意一个上任意一个n阶矩阵。令阶矩阵。令 ., 2 , 1,2211njaaannjjjj由引理由引理7.3.2，存在唯一的，存在唯一的 使使 )(VL., 2 , 1,)(njjj反过来，设反过来，设显然显然关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是A. 这就证这就证明了如上建立的映射是明了如上建立的映射是 的双射的双射. ,21n)()(FMVLn到设设 我们有我们有 ).(),(ijijbBaA.),()(,),(),(),()(,),(),(21212121BAnnnn由于由于是线性变换是线性变换, 所以所以 niiijniiijnibb1

25、1., 2 , 1),(因此因此 .),()(,),(),()(,),(),(212121ABBnnn 所以所以关于基关于基 的矩阵就是的矩阵就是AB。（。（7）式成立，至于（式成立，至于（6）式成立，是显然的。）式成立，是显然的。,21n推论推论.4 设数域设数域F上上n 维向量空间维向量空间V 的一个线性的一个线性变换变换关于关于V 的一个取定的基的矩阵是的一个取定的基的矩阵是A，那么，那么可可逆必要且只要逆必要且只要A可逆，并且可逆，并且 关于这个基的矩阵就关于这个基的矩阵就是是 . 11A证证 设设可逆。令可逆。令 关于所取定的基的矩阵是关于所取定的基的矩阵是B。由（由

26、（7），）， 1.1AB然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I .所以所以AB = I . 同理同理 BA = I . 所以所以.1 AB注意到（注意到（5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 .1 反过来，设反过来，设 而而A可逆。由定理可逆。由定理7.3.3，有，有 于是于是 ,A.)(1AvL使.1IAA我们需要对上面的定理我们需要对上面的定理7.3.1和定理和定理7.3.3的深刻意义的深刻意义加以说明加以说明: 1. 取定取定n 维向量空间维向量空间V的一个基之后的一个基之后, 在映射在映射: 之下之下, (作为线性

27、空间作为线性空间)AnnFVL)(研究一个抽象的线性变换研究一个抽象的线性变换, 就可以转化为研究一个就可以转化为研究一个具体的矩阵具体的矩阵. 也就是说也就是说, 线性变换就是矩阵线性变换就是矩阵.以后以后,可可以通过矩阵来研究线性变换以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性变换也可以通过线性变换来研究矩阵来研究矩阵. 2. 我们知道我们知道, 数域数域F上一个上一个n 维向量空间维向量空间V 同构同构于于 , V上的线性变换上的线性变换 nF)(:转化为转化为 上一个具体的变换上一个具体的变换: nFnnxxxAxxx2121也就是说也就是说, 线性变换都具有上述形式线性变换都具有上述形式

28、. 定义：定义：设设 A，B 是数域是数域 F 上两个上两个 n 阶矩阵阶矩阵. 如果存如果存在在F上一个上一个 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 T 使等式使等式成立，那么就说成立，那么就说B与与A相似，记作：相似，记作： . ATTB1BA n阶矩阵的相似关系具有下列性质：阶矩阵的相似关系具有下列性质：1. 自反性：每一个自反性：每一个n阶矩阵阶矩阵A都与它自己相似，都与它自己相似，因为因为2. 对称性：如果对称性：如果 ，那么，那么 ；因为由因为由.1AIIABA AB .)(11111BTTTBTAATTB得BA CB CA 3. 3. 传递性：如果传递性：如果且且那么那么事实上，由事实上，由

29、 得得BUUCATTB11和).()()()(111TUATUTUATUCTnn,2121设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 A , 关于基关于基 的矩阵是的矩阵是 B , 由基由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵T, 即即:,21n,21n,21n,21n定理定理7.3.4 在上述假设下在上述假设下, 有有: ATTB1即即: 线性变换在不同基下的矩阵是相似的线性变换在不同基下的矩阵是相似的. 反过来反过来, 一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵矩阵. 证明留做练习证明留做练习一、内容分布一、内容分布 7.4.1 定义与

30、基本例子定义与基本例子 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 进一步的例子进一步的例子二、教学目的二、教学目的 1掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法性变换的不变子空间方法 2会求给定线性变换的一些不变子空间会求给定线性变换的一些不变子空间三、重点难点三、重点难点 验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一些不变子空间。定线性变换的一些不变子空间。 令令V是数域是数域F上一个向量空间上一个向量空间,是是V的

31、一个线性变的一个线性变换换.定义定义 V的一个子空间的一个子空间W说是在线性变换说是在线性变换之下不变之下不变, 如果如果 . 如果子空间如果子空间W在在之下不变，那么之下不变，那么W就叫做就叫做的一个不变子空间的一个不变子空间. WW )(注意注意:子空间子空间W在线性变换在线性变换之下不变之下不变,指指 , 即即: 并不能说并不能说: WW )(WW,)(W,)(例例1 V本身和零空间本身和零空间0显然在任意线性变换之下显然在任意线性变换之下不变不变.例例2 令令是是V的一个线性变换，那么的一个线性变换，那么的核的核Ker()的像的像Im()之下不变之下不变.例例3 V的任意子空间在任意位

32、似变换之下不变的任意子空间在任意位似变换之下不变. 例例4 令令是是 中以某一过原点的直线中以某一过原点的直线L为轴，旋转为轴，旋转一个角一个角的旋转，那么旋转轴的旋转，那么旋转轴L是是的一个一维不变的一个一维不变子空间，而过原点与子空间，而过原点与L垂直的平面垂直的平面H是是的一个二维的一个二维不变子空间不变子空间. 3V例例5 令令F x是数域是数域F上一切一元多项式所成的向量上一切一元多项式所成的向量空间，空间， 是求导数运对于每一自然数是求导数运对于每一自然数n，令，令 表示一切次数不超过表示一切次数不超过n的多项式连同零的多项式连同零多项式所成的子空间多项式所成的子空间. 那么那么

33、在在不变不变. )()(:xfxfxFxxFx 设设W是线性变换是线性变换的一个不变子空间的一个不变子空间.只考虑只考虑在在W上的作用，就得到子空间上的作用，就得到子空间E本身的一个线性变本身的一个线性变换，称为换，称为在在W上的限制，并且记作上的限制，并且记作 这样，这样，对于任意对于任意 然而如果然而如果 那么那么 没有意义。没有意义。.| w,W)()(|w,W)(|w 设设V是数域是数域F上一个上一个n维向量空间，维向量空间，是是V的一个的一个线性变换。假设线性变换。假设有一个非平凡不变子空间有一个非平凡不变子空间W，那，那么取么取W的一个基的一个基 再补充成再补充成V的一个基的一个基

34、 由于由于W在在之下不变，所以之下不变，所以 仍在仍在W内，因而可以由内，因而可以由W的基的基 线性表示。我们有：线性表示。我们有： ,21r.,121nrra)(,),(),(21rr,21.)(,)(,)(,)(1, 1111,11, 11,11, 11221112211111nnnrnrrrnnnnrnrrrrrrrrrrrrrrrraaaaaaaaaaaaaa因此，因此，关于这个基的矩阵有形状关于这个基的矩阵有形状 ,231AoAAA而而A中左下方的中左下方的O表示一个表示一个 零矩阵零矩阵.rrn )(r,21这里这里 rrrraaaaA11111是是 关于关于W的基的基 w|的矩阵

35、，的矩阵，由此可见，如果线性变换由此可见，如果线性变换有一个非平凡不变子空有一个非平凡不变子空间，那么适当选取间，那么适当选取V V的基，可以使与的基，可以使与对应的矩阵对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果中有一些元素是零。特别，如果V V可以写成两个非可以写成两个非平凡子空间的平凡子空间的 直和：直和： 那么选取那么选取 的一个基的一个基 和和 的一个基的一个基 凑成凑成V V的一个基的一个基 当当 都在都在之下不变时，容易看出，之下不变时，容易看出，关于这样选取的关于这样选取的基的矩阵是基的矩阵是21WW 与,21WWV1Wr,212W.,1nra,21n21WW 与,21AooAA这里

36、这里 是一个是一个r r阶矩阵阶矩阵, ,它是它是 关于基关于基1A1| wr,21一般地一般地，如果向量空间如果向量空间V可以写成可以写成s个子空间个子空间 的直和，并且每一子空间都在线性变的直和，并且每一子空间都在线性变换换之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成成V的一个基，的一个基，关于这个基的矩阵就有形状关于这个基的矩阵就有形状SWWW,21sAAA0.021 这里这里 关于所取的关于所取的 的基的矩阵的基的矩阵.iiWA|是iW的矩阵，而的矩阵，而 是是 nrnr阶矩阵，它是阶矩阵，它是 关于关于基基 的矩阵。的矩阵。 2A2|wnra,1

37、例例6 令令 是例是例4所给出的所给出的 的线性变换的线性变换. 显然显然 是是一维子空间一维子空间L与二维子空间与二维子空间H的直和，而的直和，而L与与H在在 之下不变之下不变. 取取L的一个非零向量的一个非零向量 ，取，取 H 的两个的两个彼此正交的单位长度向量彼此正交的单位长度向量 那么那么 是是 的一个基，而的一个基，而关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是3V3V1,32321,3V.cossin0sincos0001例例7 如果如果 ，那么，那么子空间是两个21,WW.,2121子空间仍是一个WWWW 证：证：1. 任取任取,21WW 2. 任取任取21)()()2 , 1(WWWi

38、Wii,21WW 21)()()2 , 1(WWWiWii例例8 如果如果 ，那么对任何，那么对任何 子空间是WIaaaafnnnn011)(子空间是)(fW证：证： ，那么，那么 子空间是WWWfnkWWWWWWWk)(), 2 , 1()()()()(2例例9 判定下列子空间在给定的判定下列子空间在给定的 下是否为不变下是否为不变子空间子空间 （1 1） ,| ) 0 ,(),0 ,(),(,:21213212132133FxxxxWxxxxxxxxFF（2 2）,| )0 ,(), 0(),(,:2121322132133FxxxxWxxxxxxxFF（3 3） ),()(,:xFWxf

39、fDxFxFDn（4 4） ,)()(,:0 xFWdxxfxfJxRxRJnx解解 WxxxxWxx)0 ,()(,)0 ,(212121WW) 1 , 2 , 0()(,)0 , 1 , 1 ()(1)()()(xFfnnfnfxFxfnnWxfJxRxndxxxRxxfnnxnnn)(,11)(10即(1) (1) 是是. . (2) (2) 否否. . (3) (3) 是是. . (4) (4) 否否. . 例例1010 是是V V上一个线性变换，上一个线性变换，W W 是是 生成的子空间：生成的子空间： . . 则则. . s,21), 2 , 1()(siWWi是不变子空间),(2

40、1sLW证：证： )(,),(),()(21sLW必要性：必要性：W W中不变子空间，中不变子空间， ), 2 , 1()()(,),(),()(21siWWLWis充分性：如果充分性：如果 ,)(WWi)(,),(),(21sL而是包含是包含)(,),(),(21s的最小子空间，的最小子空间， WLWs)(,),(),()(21例例1111 设设是是V V上的线性变换，上的线性变换，是是V V上的非零向上的非零向量，且量，且 )(,),(,1k线性无关，但线性无关，但)(),(,),(,1kk线性相关线性相关. 那么那么 是包含是包含的最的最小不变子空间小不变子空间. )(,),(,(1kL

41、证证 (1)(1) 线性表出线性表出, ,因此因此 这样，这样， 的生成元在的生成元在下的象下的象 全部属全部属 于于 . .所以所以 是一个是一个不变子空间不变子空间)(,),(,)(1kk可由)(,),(,()(1kkL)(,),(,(1kL)(,),(),(2k)(,),(,(1kL)(,),(,(1kL（2）对任何包含对任何包含的不变子空间的不变子空间W， 故故 ， 即即 包含包含W的一个最小子空间的一个最小子空间. WWk)(,),(),(12WLk)(,),(,(1)(,),(,(1kL例例12 设设 是是V的一给基的一给基,在在 下下的矩阵为的矩阵为 4321,4321,1221

42、113200102111A求包含求包含 的最小子空间的最小子空间. 1解解 算算 的坐标为（用的坐标为（用“( )”( )”表表示取坐标）示取坐标）)(),(,121143011201)()(,1201)()(,0001)(112111AAA中线性无关中线性无关 41211)(),(),(F在的坐标排成的行列式为：的坐标排成的行列式为： )(),(),(,131211014109320000010111190104301)()(1213A因此因此 431123431121143)(2)(321,L1是包含是包含 的最小子空间的最小子空间. . 注意到注意到 与与 是等价向量组，因此是等价向量组

43、，因此 321,431,),(,431321LL7.5 特征值与特征向量 7.5.1 7.5.1 引例引例 7.5.2 7.5.2 矩阵特征值和特征向量的定义矩阵特征值和特征向量的定义 7.5.3 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 7.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质矩阵特征值和特征向量的性质小结小结 1.1.理解特征值和特征向量的概念理解特征值和特征向量的概念 2.2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法 3.3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质掌握特征值与特征向量的一些常用性质 矩阵的特征值和特征向量的

44、求法及性质矩阵的特征值和特征向量的求法及性质7.5.1 引例 在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题特征向量的问题. 它们之间的关系为它们之间的关系为 ) 1 (223001001yxyyxx写成矩阵形式，就是写成矩阵形式，就是1x是目前的工业发展水平是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位以某种工业发展指数为测量单位). 发展与环境问题已成为发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注和重点，为了定量分世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设析污

45、染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设 0 x是某地区目前的污染水平是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位量单位)， 0y若干年后若干年后(例如例如5年后年后)的污染水平和工业发展水平分别为的污染水平和工业发展水平分别为 和和.1y)2(22130011yxyx记记 111yx， 000yx， 2213A， 即即(2)式可写成式可写成 ) 3(01A设当前的设当前的 T)1 , 1(0，则，则 .11444112213111yx即即 004A，由此可以预测若干年后的污染水平与工业发由此可以预测若干年后的污染水平与工业

46、发 展水平。展水平。由上例我们发现，矩阵由上例我们发现，矩阵A A乘以向量乘以向量 恰好等于恰好等于 的的4 4倍，倍，倍数倍数4 4及向量及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量征向量. .0007.5.2 特征值和特征向量的定义定义定义1：设设A是一个是一个n阶矩阵，阶矩阵，是是 F 中的一个数，如果存在中的一个数，如果存在 V 中非零中非零向量向量 ，使得，使得 A那么称那么称为矩阵为矩阵A的一个特征值，的一个特征值，称为称为A属于特征值属于特征值的特征向量的特征向量.例例 2213A因因 11444112213解解:所以所以4是是 2213

47、A的一个特征值，的一个特征值， 11是是A的属于的属于4的特征向量的特征向量. 3341212332213又又 故故 33也是也是A的属于的属于4的特征向量的特征向量. 注注1：是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 )0( cc，c也是也是A的属于的属于的特的特征向量征向量 练习练习1(1) (1) 如果向量如果向量 是矩阵是矩阵 的特征向量，的特征向量，则则k k = _= _11 112k(2) (2) 设设 ，下列向量中可以成为，下列向量中可以成为A A的的特征向量的是（特征向量的是（ ） 1322AA. 12 B. 32C. 41D. 01 2(1) (1) 解：解：1111

48、3212131kkk (2) (2) 解：解：1317122262 A.A.B.B.13412216 D.13032212 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法使使 1是是A的特征值的特征值 .0A. 0).(0AI0)(XAI有非零解有非零解 . 0AI 注注2： 是是A的特征值的特征值 是方程是方程 0 AI的根的根 .2是是A属于属于的特征向量的特征向量 0且且 A. 0).(0AI是是 0)(XAI的非零解。的非零解。 注注3：是是A属于属于的特征向量的特征向量 是是0)(XAI的非零解。的非零解。 定义定义2： nnnnnnaaaaaaaaaA212222

49、111211nnnnnnAaaaaaaaaaAIf212222111211)(称为称为A的特征多项式。的特征多项式。 0 AI称为称为A的特征方程，的特征方程， AI 称为称为A的特征矩阵。的特征矩阵。 例例1 1 设设 ，求，求A A的全部特征值、特征的量。的全部特征值、特征的量。 1322A21334(4)(1)022IA解：解： A A的特征多项式为的特征多项式为1A A的特征值为的特征值为 1241 ， 对于对于 解解214,(4)0IA X由于由于 得基础解系得基础解系33112200111 A A的对应于的对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 111(0)cc141233022

50、xx即即对于对于 解解 21, ()0IA x 1223023xx即即由于由于 323122300得基础解系得基础解系2321A的对应于的对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为21 222(0)cc注注4 4：A A的特征向量有无穷多个，分为两大类：的特征向量有无穷多个，分为两大类： 一类为一类为 一类为一类为111(0)1cc ，232c问题问题1 1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？同类的两个特征向量的线性相关性如何？问题问题2 2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？何？求A的全部特征值和特征向量的方法：1. 计算特征多项式计算特征多项式 I

51、A2. 求特征方程求特征方程 0 AI的所有根，的所有根， 即得即得A的全部特征值的全部特征值 n,213. 对于对于A的每一个特征值的每一个特征值 i，求相应的齐次线性方程组，求相应的齐次线性方程组 ()0iIA Xsisiiccc2121（ sccc,21不全为零 ） 例例2：求矩阵求矩阵 001010100A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 的一个基础解系的一个基础解系 siii,21，则，则A的属于的属于 i的全部的全部特征向量为特征向量为解解 A的特征多项式的特征多项式 ) 1() 1(01010102AIA的特征值为的特征值为 121， .13对于对于 121，解，解 01

52、01000101321xxx101101000000101000得基础解系得基础解系: :101,01021A的属于特征值的属于特征值1的全部特征向量为的全部特征向量为 ),(212211不全为零cccc对于对于 13，解，解 101101020010101000得基础解为得基础解为 1013A的属于特征值的属于特征值 1 的全部特征向量为的全部特征向量为 )0(333cc7.5.4 特征向量和特征值的性质性质性质1 1 AA与有相同的特征值有相同的特征值 分析：要证分析：要证 AA与有相同的特征值有相同的特征值 只须证只须证 )()(AAff注意到注意到 |)( |AIAIAI性质性质3 3

53、 A A的主对角线上的元素的和称为的主对角线上的元素的和称为A A的迹，记作的迹，记作 )(ATr，则，则 nnrAAT2121|)(性质性质2 2 A A的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。注意到注意到122112211212222111211)(|)(nnnnnnnnnnnnAaaaaaaaaaaaaaaaAIf（*） nnnnnnAAIf2112121) 1()()()(|)(（*） 在（*）和（*）中令 = 0 nnnAA21) 1(|) 1(|练习：练习：求求 2213A的特征值，特征向量。的特征值，特征向量。 解：解： A的特征多项式为的特征多项

54、式为)4)(1(452213|)(2AIfA所以所以A的特征值为的特征值为 4, 121对于对于 11，解，解 121, 01212121得xx对于对于 42，解，解 11, 02211221xx故故A的属于特征值的属于特征值1的全部特征向量为的全部特征向量为 )0(12111cc故故A的属于特征值的属于特征值4的全部特征向量为的全部特征向量为 )0(1122cc1、定义、定义1：设设A是一个是一个n阶矩阵，阶矩阵，是是 F 中的一个数，如果存在中的一个数，如果存在 V 中非中非零向量零向量 ，使得，使得 A那么称那么称为矩阵为矩阵A的一个特征值，的一个特征值，称为称为A属于特征值属于特征值的

55、特征向量的特征向量.2、 是是A的特征值的特征值 是方程是方程 0 AI的根的根 .3、 是是A属于属于的特征向量的特征向量 是是0)(XAI的非零解。的非零解。 4、求A的全部特征值和特征向量的方法：1. 计算特征多项式计算特征多项式 2. 求特征方程求特征方程 0 AI的所有根，的所有根， 即得即得A的全部特征值的全部特征值 n,213. 对于对于A的每一个特征值的每一个特征值 i，求相应的齐次线性方程组，求相应的齐次线性方程组 ()0iIA Xsisiiccc2121（ sccc,21不全为零 ） 的一个基础解系的一个基础解系 siii,21，则，则A的属于的属于 i的全部特征向量的全部

56、特征向量为为5、3个性质。个性质。 一、内容分布一、内容分布 7.6.1 什么是可对角化什么是可对角化 7.6.2 本征向量的线性关系本征向量的线性关系 7.6.3 可对角化的判定可对角化的判定 7.6.4 矩阵对角化的方法及步骤矩阵对角化的方法及步骤二、二、 教学目的教学目的 1掌握可对角化的定义与判断掌握可对角化的定义与判断 2熟练掌握矩阵对角化的方法步骤熟练掌握矩阵对角化的方法步骤三、重点难点三、重点难点 可对角化的判断与计算。可对角化的判断与计算。 n0000000000) 1 (21设设A是数域是数域F上一个上一个n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在F上一上一个个n阶逆矩阵阶逆矩阵T，

57、使得，使得 具有对角形式（具有对角形式（1）ATT1则说矩阵则说矩阵A可以对角化可以对角化. . 我们知道我们知道, 可以通过矩阵来研究线性变换可以通过矩阵来研究线性变换, 也也可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线可以通过线性变换来研究矩阵，本节更多的通过线性变换来研究矩阵性变换来研究矩阵. 矩阵矩阵A可以对角化对应到线性可以对角化对应到线性变换就是变换就是: 设设是数域是数域F上上 维向量空间维向量空间V的一个线的一个线性变换，如果存在性变换，如果存在V的一个基，使得的一个基，使得关于这个基关于这个基的矩阵具有对角形式的矩阵具有对角形式(1), 那么说，那么说，可以对角化可以对角化.

58、) 1(nn很容易证明很容易证明, 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是有有 n个线性无关的本征向量个线性无关的本征向量. 这这n个线性无关的本个线性无关的本征向量显然构成征向量显然构成V的基的基. 因此，因此， 我们需要进一步研我们需要进一步研究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下究本征向量的线性关系，需要研究在什么条件下有有 n个线性无关的本征向量个线性无关的本征向量.7.6.2 7.6.2 本征向量的线性关系本征向量的线性关系 定理定理7.6.1 令令是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个线性变的一个线性变换换.如果如果 分别是分别是的属于互不相同的特征的属于互不

59、相同的特征根根 的特征向量，那么的特征向量，那么 线性线性无关无关.n,21n,21n,21证证 我们对我们对n用数学归纳法来证明这个定理用数学归纳法来证明这个定理当当n = 1时，定理成立。因为本征向量不等于时，定理成立。因为本征向量不等于零。设零。设n 1并且假设对于并且假设对于n1来说定理成立。现在来说定理成立。现在设设 是是的两两不同的本征值，的两两不同的本征值， 是属于本是属于本征值征值 的本征向量：的本征向量： n,21ii., 2 , 1,)()2(niiii如果等式如果等式 ,. 0)3(2211Faaaainn成立，那么以成立，那么以 乘（乘（3）的两端得）的两端得 n. 0

60、)4(2211nnnnnaaa另一方面，对（另一方面，对（3）式两端施行线性变换）式两端施行线性变换，注意到，注意到等式（等式（2），我们有），我们有 . 0)5(222111nnnaaa（5 5）式减（）式减（4 4）式得）式得 . 0)()()(111222111nnnnnnaaa根据归纳法假设，根据归纳法假设， 线性无关，所以线性无关，所以 121,n. 1, 2 , 1, 0)(nianii但但 两两不同，所以两两不同，所以 代代入（入（3），因为），因为 所以所以 这就证明了这就证明了 线性无关。线性无关。n,21. 0121naaa, 0n. 0nan,21推论推论7.6.2 设设