等差数列的前n项和公式上课课件

1、等差数列的前等差数列的前n n项和项和（第（第1 1课时）课时）nnaaaS21复习回顾复习回顾1、等差数列的定义：、等差数列的定义：2、等差数列的通项公式：、等差数列的通项公式：dnaan)1(1 na是等差数列是等差数列 )2(1ndaann3、等差数列的重要性质：、等差数列的重要性质：dmnaamn)() 1 (qpnmaaaaqpnm)2(4 泰姬陵坐落于印度古都阿泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，

2、成为世界七大奇心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有镶饰而成，共有100100层（见左层（见左图），奢靡之程度，可见一图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？了多少宝石吗？探究发现探究发现问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 这是求和的问题，你能不能快速的求出呢？ 问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 21212019121(121)212S

3、获得算法：123高斯的算法高斯的算法计算：计算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这高斯算法的高明之处在于他发现这100100个数可个数可以分为以分为5050组：组： 第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组； 第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组； 第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组， 每组数的和均相等，都等于每组数的和均相等，都等于101101，5050个个101101就就等于等于50505050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果算，迅速准确得到了结果. .首尾首尾

4、配对配对相加相加法法中间的一中间的一组数是什组数是什么呢？么呢？所以所以S S100100= =(1+100)(1+100)100100？首项尾项？总和？项数这就是等差数列前n项和的公式！=5 050121()2nnn aaS 1(2） 123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又合合 作作 探探 究究已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数，项数是是n，第，第n项为项为如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即倒序相加法倒序相加法公公 式

5、式 变变 形形1()2nnn aaS1(1)naand把 代入公式得1(1)2nn nSnad1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和的公式：1(1)2nn nSnad含含a1 和和d求求 和和 公公 式式含含a1 和和an1, , ,5,nna d n a s结构，应：由 个元素用：可构成：知三求一公式记忆公式记忆例例1. 根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS;10,95, 5) 1 (1naan;50, 2,100) 2(1nda;14,23,32)3(1naan.32, 7 . 0, 5 .14)4(1nada2)1nnaa

6、nS（.5002)955 (1010SdnnnaSn2) 11（2550) 2(2) 150501005050（S2)1nnaanS（.6352)2/3(3/21414Sdnaan) 1(1,2617 . 05 .1432n. 5 .6042)325 .14(2626S103102012202nan已知一个等差数列的前项和为，前项的和为，由这些条件能确定这个等差数列的前例 、项的和吗？10201310,1220(1)2nSSn nSnad由题意知，将它们带入解：方法公式一、得到111045310201901220adad2(1)4632nn nSnnn146ad1101011012012020

7、10()31062220()12212202aaSaaaaaaS方法二、由题知20101101210606624,(1)4632naaddaaan nSnnn两式相减得到带入中得到所以25121516611.(1):36,( )3220,naaaaaSaS在在等等差差数数列列中中求求例例已已知知已已知知：求求2)(1nnaanS2152()36aa21518aa1161616()2aaS2158()aa14425121516611.(1):36,( )3220,naaaaaSaS在在等等差差数数列列中中求求例例已已知知已已知知：求求1111111()2aaS611 22a611a2201212

8、1(21)()2kkkaaS(21)kka课堂小结等差数列前n项和公式2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.公式的推证用的是倒序相加法等差数列的前等差数列的前n n项和项和（第（第2 2课时）课时）nnaaaS21前前n和公式：和公式：共共5个量，由三个公式联系，个量，由三个公式联系， 知三可求二知三可求二. 通项公式：通项公式：1(1)22nn nSnad 公公式式 ：1() 12nnn aaS 公公式式：1(1)naand等差数列等差数列an倒序相加法倒序相加法 例例1、已知数列的前、已知数列的前

9、n项和为项和为 ，求这个数，求这个数 列的通项公式列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，这个数列是等差数列吗？如果是， 它的首项与公差分别是什么？它的首项与公差分别是什么？212nSnn解：解： 根据根据nnnaaaaS121) 1(1211naaaSnn与与1n可知，当可知，当 时，时，1nnnSSa212n当当 时，时，1n231211211 Sa，也满足上式，也满足上式，212nan所以，数列所以，数列 的通项公式是的通项公式是 .na12112122nnnnan所以所以 ， 是一个不含常数项的二次函数式是一个不含常数项的二次函数式.0d ， 是一个常数列，是一个常数列， 0dn

10、a1naSnnS1(1)2nn nSnad21()22ddnan1,22ddABa令2( ,nSAnBn A B则有为常数）2( ,nnSAnBn A BA即任何一个等差数列的前 项和都可以写成为常数）的形式，其中公差2反之反之:？列呢，那么它是不是等差数是常数，项和为的前如果一个数列)(2BABnAnSnann分析：分析：)2() 1(11nSSnSannn由)2()1() 1()() 1(22nnBnABnAnnBAan得)2() 12() 1(nBAnnBAan得BAnan) 12(是等差数列，数列na.21AdBAa，且2AnBA思考：思考：一般地，若数列一般地，若数列an的前的前n和

11、和SnAn2Bn，那么数列那么数列an是等差数列。若是等差数列。若SnAn2BnC 呢？呢？（1）数列）数列an是等差数列是等差数列 SnAn2Bn（2）数列）数列an 的前的前n项和是项和是SnAn2BnC ，则：，则：若若C0，则数列，则数列an是等差数列；是等差数列；若若C0，则数列，则数列an从第从第2项起是等差数列。项起是等差数列。等差数列前等差数列前n n项和的性质一：项和的性质一：2( ,nnSAnBn A BA性质1：等差数列的前 项和是一个不含常数项的二次函数式为常数），其中公差2思考：思考：若若an为等差数列，那么为等差数列，那么 是什么数列？是什么数列？nSn数列数列an

12、是等差数列是等差数列 为等差数列为等差数列nSn 即等差数列即等差数列an的前的前n项的平均值组成的数列仍项的平均值组成的数列仍然是等差数列。然是等差数列。)2() 1 (1nddaaannn是常数，是等差数列)()2(是常数，是等差数列bkbknaann)2(2)3(11naaaannnn是等差数列)()4(2是常数，是等差数列BABnAnSannn1n+1a0a 0,d0a0 若若且且，则则S Sn n最大。最大。n1n+1a0a 0a0 若若且且，则则S Sn n最小。最小。等差数列前等差数列前n n项和的性质二：项和的性质二：思考：思考：既然等差数列的前既然等差数列的前n项和是关于项和

13、是关于n的一元二次，的一元二次，那么它的最值怎么求呢？那么它的最值怎么求呢？不等式法求不等式法求 的最值：的最值：nS你能理你能理解么？解么？也可以用二次函数的图像求也可以用二次函数的图像求 的最值，但要注意的最值，但要注意 。nS Nn解：解：？的和最大问这个数列的前多少项，中，已知等差数列11310SSaan例例2.最大nS001nnaa由题意知由题意知dada21011112233111132ad00) 1(11ndadna0)132(0)132)(1(1111anaana021302) 1(13nn215213 n解得：.7最大时，当nSn )(*Nn0，11310SSa即即例例2解解

14、2： 由题意知由题意知dada21011112233111132ad，0)132(2) 1(11annnaSnnaana)131()131(11211211349)7(131ana.7最大时，当nSn ？的和最大问这个数列的前多少项，中，已知等差数列11310SSaan两种两种求等差数列前求等差数列前n项和最值的方法项和最值的方法的值由不等式有最大值nSdan, 0, 01的值由不等式有最小值 nSdan, 0, 01的取值范围注意最值利用二次函数的性质求根据另外nbnanSn2确定确定确定确定001nnaa001nnaa练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=26-2n,要使此数

15、列的前要使此数列的前n项和最大项和最大,则则n的值为的值为( )A.12 B.13 C.12或或13 D.14C7，且，分别为项之和前，已知等差数列例4324nnTSTSnbannnnnn.1111的值求：ba2)(2)(11nnnnbbnaanTS解nnbbaa111111ba11111111bbaa211211bbaa2121TS432nnTSnn又67232121TS.67231111ba故例例3.，且，分别为项之和前，已知等差数列例4324nnTSTSnbannnnnn.1111的值求：ba解法解法2：21kS 21(21)kkTkb 由已知得：由已知得：(21)kka 2121kkk

16、kaSbT 11211121aSbT2123214 23.67 例例3. 1212:,nnnnnnnnnTSbaSbaba之间的关系与前项和，中的结论：两个等差数列性质性质4：若数列若数列an是是等差数列等差数列，那么数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k , 仍然成等差数列仍然成等差数列例例4. 等差数列等差数列an的前的前m项的和为项的和为30，前，前2m项的和为项的和为100，则它的前，则它的前3m项的和为项的和为 () A. 130 B. 170 C. 210 D. 260C6.5n nnaa当n6时，0 当n6时，0当n6时，12nnTaaa12naaa(1)1122n nn 212nn 例例5:已知数列已知数列 前前n项和项和 记数列记数列 的前项和为的前项和为 求求 的表达式的表达式212nSnn nanTnTnanan213式：解：前面已求出通项公(2).1320nan令s当n6时，1267nnTaaaaa12678()()naaaaaa66()nSSS62nSS6 5(1)26 112 112 22n nn 21272nnnT2126nnn212726nnn 例例5:已知数列已知数列 前前n项和项和 记数列记数列 的前项和为的前项和为 求求 的表达式的表达式212nSnn nTnTnana变式探究变式探究