随机振动-第1章课件

1、研究的主题研究的主题系统随机激励系统响应统计特性激励的统计特性振动系统动力特性统计特性随机变量变化的规律性的特征关系关系第一章第一章 随机变量的分布随机变量的分布及其数字特征及其数字特征 随机变量及其分布列、分布函数随机变量及其分布列、分布函数 确定现象确定现象 在一定条件下必然发生或必然不发生的现象在一定条件下必然发生或必然不发生的现象 比如简谐运动：比如简谐运动： 随机现象随机现象 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 它在事前是不可确定的它在事前是不可确定的 在一次试验中它有随机性在一次试验中它有随机性 在大量重复试验中，它有具有统计规律在大量重复

2、试验中，它有具有统计规律tAtxsin)(0任意给定时任意给定时间间t，都可以，都可以得到确定的得到确定的物理量物理量x 随机变量随机变量 定义定义 在随机试验的结果中能取得不同数值的量在随机试验的结果中能取得不同数值的量 随机变量类型随机变量类型 离散型随机变量：仅能取得有限个或无限多个可数的数值离散型随机变量：仅能取得有限个或无限多个可数的数值 连续型随机变量：可取得某一区间内的任意数值连续型随机变量：可取得某一区间内的任意数值 举例举例 例例1六轮赌六轮赌 例例2抛掷硬币试验抛掷硬币试验 出现正面的现象为随机现象（反之亦然）出现正面的现象为随机现象（反之亦然） 用用1表示出现正面表示出现

3、正面 用用0表示出现反面表示出现反面 用随机变量用随机变量X表示试验结果：表示试验结果：X取值为取值为1或或0 X为离散随机变量为离散随机变量 例例3掷骰子试验掷骰子试验 出现任一点的现象为随机现象出现任一点的现象为随机现象 每次试验有六种可能：出现每次试验有六种可能：出现1、2、3、4、5、6中的某一个点数中的某一个点数 用用X作为随机变量，取值可以分别为作为随机变量，取值可以分别为1、2、3、4、5、6 X为离散型随机变量为离散型随机变量 例例4取鸡蛋取鸡蛋 一批鸡蛋中有一批鸡蛋中有q的坏鸡蛋，任取两只，取得坏蛋的情况为随机现象的坏鸡蛋，任取两只，取得坏蛋的情况为随机现象 可取得可取得0只

4、坏蛋、只坏蛋、1只坏蛋、只坏蛋、2只坏蛋只坏蛋 用用X为随机变量，取值可为为随机变量，取值可为0、1、2 X为离散型随机变量为离散型随机变量 例例5乘乘804公交汽车上街公交汽车上街 上车后上车后5分钟时座椅振动加速度为分钟时座椅振动加速度为1.2m/s*s的情况为随机现象的情况为随机现象 上车后某时刻座椅加速度取某一区间内的数值的情况为随机现象上车后某时刻座椅加速度取某一区间内的数值的情况为随机现象 用用X为随机变量表示某一时刻座椅处的振动加速度为随机变量表示某一时刻座椅处的振动加速度 X为连续型随机变量为连续型随机变量 分布列（针对离散型随机变量）分布列（针对离散型随机变量） 定义定义 设

5、随机变量设随机变量X的取值为的取值为 记相应的概率值为记相应的概率值为 将随机变量的取值与其相应的概率值列成表，这种表就称为分布列将随机变量的取值与其相应的概率值列成表，这种表就称为分布列 描述随机变量的统计特性描述随机变量的统计特性 例例1掷硬币试验的分布列掷硬币试验的分布列 例例2掷骰子试验分布列掷骰子试验分布列nxxx, 21 nxXPxXPxXP,21X011/21/2ixXPX1234561/61/61/61/61/61/6ixXP 分布函数分布函数 定义定义描述随机变量的统计特性描述随机变量的统计特性 随机变量随机变量X取小于等于连续实数值取小于等于连续实数值 的概率的概率 称为称

6、为X的分布函数的分布函数 对离散型随机变量对离散型随机变量 性质性质 是非减函数是非减函数 , 举例举例1（连续随机变量分布函数）连续随机变量分布函数） 线段线段0a内随机投一质点内随机投一质点 假设落在假设落在0a上任一点都是可能的上任一点都是可能的 落点位置是一个连续型随机变量落点位置是一个连续型随机变量xxXPxXPxF)()(xFxxiixXPxXPxF)(0)(lim)( xxFF1)(lim)(xxFF1)(0 xF)(xF 分布函数分布函数10/0)(axxXPxFxa0axaxx0000 x)(XFa01 举例举例2（离散随机变量分布函数）（离散随机变量分布函数） 前面取鸡蛋的

7、例子前面取鸡蛋的例子 设抽到坏鸡蛋的个数为随机变量设抽到坏鸡蛋的个数为随机变量X 设经计算取两只鸡蛋其中设经计算取两只鸡蛋其中0只、只、1只和只和2只坏鸡蛋的概率分别为只坏鸡蛋的概率分别为 分布函数分布函数2 . 023 . 015 . 00XPXPXP18 . 05 . 00)(xXPxFxxxx221100)(XF012x5 . 08 . 00 . 1 概率密度函数概率密度函数 定义定义 设设F(x)为连续型随机变量为连续型随机变量X的分布函数且连续可微的分布函数且连续可微 X落在落在 区间的概率为区间的概率为 则概率比度函数定义为则概率比度函数定义为 概率密度函数与分布函数的关系式概率密

8、度函数与分布函数的关系式 若不计高阶无穷小，落在小区间的概率与概率密度函数若不计高阶无穷小，落在小区间的概率与概率密度函数xxFxxFxFxpx)()(lim)()(0),(xxx)()()(xFxxFxxXxFdxxpdxxXxP)()( 分布函数与概率密度函数分布函数与概率密度函数 X落在区间落在区间 的概率的概率 概率密度函数的特点概率密度函数的特点 非负函数非负函数 下述积分区域内结果为下述积分区域内结果为1xdxxpxF)()(),(dxxpXP)(0)(xp1)(dxxp 几何意义几何意义 举例举例 例例1设正弦函数设正弦函数 。若。若随机任选一时间随机任选一时间t，且时间，且时间

9、t的选取是等可能的，问的选取是等可能的，问x(t)落落在在x到到x+dx范围内的概率是多范围内的概率是多少？并求概率密度和分布函数少？并求概率密度和分布函数txtxsin)(0 x(t)落在落在x到到x+dx的概率的概率 概率密度函数概率密度函数 分布函数分布函数TdtdxxtxxP2)(函数为周期函数，只讨论一函数为周期函数，只讨论一个周期即可，周期为个周期即可，周期为T2020/1xxxdxdt/2T220)(xxdxdxxtxxP2201)(xxxpdxxpdxxxxP)(xxxdxxF220)(xdxxpxxPxF)()( 概率密度函数和分布函数曲线概率密度函数和分布函数曲线 例例2由

10、试验获得某参数时间历程样本由试验获得某参数时间历程样本记录曲线记录曲线x(t)，设其为各态历经，设其为各态历经的随即过程，求此参数的随即过程，求此参数x(t)（随机变量）的概率密度函数（随机变量）的概率密度函数 测试曲线测试曲线 落在落在范围内的总时间到xxxkkiittttt211 落在区间的概率落在区间的概率 概率密度函数概率密度函数 当当 很小时很小时 更精确表达更精确表达TtxxtxxP)(xxTtxxxtxxPxp)()(xxxtxxPxpx)(lim)(00 1)(dxTdxTtxp 分析仪处理概率密度函数分析仪处理概率密度函数 对时间历程等间隔采样，间隔时间对时间历程等间隔采样，

11、间隔时间 取取N个采样区间个采样区间 其中有其中有 个采样点落在个采样点落在 概率密度函数为概率密度函数为ttxn范围内到xxxxNnxpx)( 均匀分布和正态分布均匀分布和正态分布 均匀分布均匀分布（等概率分布）（等概率分布） 概念概念 随机变量随机变量X的一切可能取值都在某一区间的一切可能取值都在某一区间a,b内内 在该区间内的任一等长度区间都具有相同的概率在该区间内的任一等长度区间都具有相同的概率 概率密度函数概率密度函数p(x)在区间在区间a,b内为常量内为常量 概率密度函数概率密度函数xab其它bxaabxp 0)/(1)( 分布函数分布函数 函数曲线函数曲线bxbxaaxabaxx

12、F 1)/()(0)( 正态分布正态分布（高斯分布）（高斯分布） 定义定义 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为 其中其中 均为常数，且均为常数，且 则称此随机变量则称此随机变量X服从参数为服从参数为 的正态分布，记的正态分布，记 分布函数分布函数)( 21)(222)(xexpx,02,NXxtxxdtedxexF22222)(2)(21 21)( 概率密度函数和分布函数曲线概率密度函数和分布函数曲线 标准正态分布标准正态分布 当当 ，称随机变量，称随机变量X服从标准正态分布服从标准正态分布 概率密度函数和分布函数分别为概率密度函数和分布函数分别为时和102221)(xex

13、dtexxt2221)(有表可查有表可查 概率密度函数特性概率密度函数特性 对称性：关于对称性：关于 对称对称 在在 处曲线有拐点，且曲线以处曲线有拐点，且曲线以ox轴为渐进线轴为渐进线 如如 不变，改变不变，改变 值，则值，则p(x)平移，形状不变平移，形状不变xx21)(maxxp 当当 时，时，p(x)具有最大值具有最大值 如如 不变，改变不变，改变 ， 越小，曲线越尖，越小，曲线越尖，X落在落在 附近概率越大附近概率越大x21)(maxxp 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 概念概念 设设X是随机变量，则它的函数是随机变量，则它的函数Yg(X)也是随机变量也是随机变量 当当X取值为

14、取值为x时，随机变量时，随机变量Y取值取值y=g(x) 现已知现已知X的分布，要确定它的函数的分布，要确定它的函数Yg(X)的分布的分布 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布 已知已知X的概率分布的概率分布X1x2xnxixXP1p2pnp 随机变量函数随机变量函数Y=g(X)的分布的分布 如果如果 的值都不相等的值都不相等 Y的分布为的分布为 如果如果 中的值有相等中的值有相等 将相等的值分别并起来将相等的值分别并起来 根据概率加法定理将对应的概率根据概率加法定理将对应的概率 相加相加 )(iixgy Y)(11xgy )(22xgy )(nnxgy iyYP1p2pnp)(ix

15、gip 例例1 随机变量随机变量X的概率分布如下，求的概率分布如下，求 的分布的分布 Y的分布（注意：的分布（注意： )nXY X100.70.3ixXP00 , 11nnY100.70.3iyYP 例例2 X的概率分布如下，求的概率分布如下，求 的概率的概率 Y的分布（注意的分布（注意X取值为取值为1、0、1时时Y取值为取值为1、0、1）X1011/52/52/5ixXP2XY Y012/51/5+2/5=3/5iyYP 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 概念概念 已知已知X的概率密度函数的概率密度函数p(x)和随机变量函数和随机变量函数Yg(X) Y取值取值y=g(x)在在

16、X一切可取值的区间是连续的一切可取值的区间是连续的 根据根据p(x)求求Y=g(X)的概率密度函数，分三种情况讨论的概率密度函数，分三种情况讨论 Y=g(X)是单调增函数是单调增函数 其反函数其反函数x=h(y)也是单增函数，也是单增函数，Yy当且仅当当且仅当Xh(y)时才可能时才可能 因此，随机变量因此，随机变量Y的分布函数为的分布函数为 经复合求导，经复合求导，Y的概率密度函数为的概率密度函数为)()()()(yhdxxpyhXPxXPyYPyF)()( )()()()()()()(yhyhpyhdyhpyhddyhyFyyh)g(y)g(-yh 0)( Y=g(X)是单调减函数是单调减函

17、数 其反函数其反函数x=h(y)也是单减函数，也是单减函数，Yh(y)时才可能时才可能 Y的分布函数为的分布函数为 Y的概率密度函数为（求导）的概率密度函数为（求导） 上述两种单调函数概率密度函数合并可表示成上述两种单调函数概率密度函数合并可表示成)()(1)(1)()(yhdxxpyhXPyhXPyYPyF)()( )()()()()()()(yhyhpyhdyhpyhddyhyFyyh)()( 0)(gy-gyh)()(max)()(min 0)()()(,gg,ggyyhyhpy其它 例例1 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为p(x) 求求Y=kX+b的概率密度函数（

18、的概率密度函数（k、b均为常数）均为常数） 求解求解kbypkyhpkykyhbykyhxbkxxgy1)(1)(1)()(1)()( 例例2 若上例中的随机变量若上例中的随机变量X的概率密度函数为正态分布的概率密度函数为正态分布 则线性函数则线性函数Y=kX+b的概率密度函数为的概率密度函数为 服从正态分布的随机变量的线性函数也服从正态分布服从正态分布的随机变量的线性函数也服从正态分布 分布参数分别为分布参数分别为)( 21)(222)(xexpx 211)(22)(2)(kbkyekykbk 和 Y=g(X)不是单调函数不是单调函数 Yy的概率为的概率为 的概率之和的概率之和 积分区间积分

19、区间 依赖于依赖于y，即随，即随y变化变化 求导即得随机变量求导即得随机变量Y得概率密度函数得概率密度函数,21yyX iyidxxpyYPyF)()(yi 例例 随机变量随机变量X在在 区间服从均匀分布区间服从均匀分布 其分布概率密度函数其分布概率密度函数 求求 的概率密度函数的概率密度函数2 , 02/1)(xpXyYsin0 解解 当当 ，概率密度函数为，概率密度函数为 当当 ，同理可得，同理可得 因此，概率密度函数为因此，概率密度函数为时yY 0)/arcsin()arcsin(y/y02100)()( )(yydxxpdxxpyXPyXPyYPyF2201)(yyy时0Yy2201)

20、(yyyyYyyyy 1)(220 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望（均值）数学期望（均值） 定义一定义一 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布规律为的分布规律为 若级数若级数 绝对收敛，则称绝对收敛，则称 为为X的数学期望的数学期望,记为记为 , 即即, 2 , 1 ipxXPii1iiipx1iiipxXE1iiipxXE 定义二定义二 对连续型随机变量，若其概率密度函数为对连续型随机变量，若其概率密度函数为p(x)，且积分，且积分 绝对收敛，则其数学期望为绝对收敛，则其数学期望为 数学期望的重要性质数学期望的重要性质Ecc，c为常数为常数EcXcEXEcXdcEX+d,

21、c和和d均为常数均为常数EXYEX+EY,X和和Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量EXYEXEY,X和和Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量EXYEXEY，X和和Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量dxxxp)(dxxxpXE)( 方差方差 离差的概念离差的概念 方差方差 随机变量随机变量X X的离差的平方的数学期望称为的离差的平方的数学期望称为X X的方差的方差 对连续型随机变量对连续型随机变量 对离散型随机变量对离散型随机变量 XEXY随机变量X的离差离差的数学期望恒为零EY=EX-EX =EX-EX=0 )(22或记作XEXEXD )(2iiipxExXDdxxpxE

22、xXD)()(2 方差的重要性质方差的重要性质Dc= =0,c为常数为常数DcX= =Dc+X= =DX设设X、Y为两个独立的随机变量为两个独立的随机变量 标准差（均方差）：标准差（均方差）： 均方值均方值离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量2XDcYDXDYXD 或XD122iiipxXEdxxpxXE)(22如果数学期望EX=0方差就等于均方值2XEXD 方差、均方值和数学期望之间的关系方差、均方值和数学期望之间的关系 正态分布的数学期望与方差正态分布的数学期望与方差 数学期望数学期望 方差方差22222)( )()()(2 )(XEXEXEXEXEXEXEXEXD 2

23、1222)(dxexXEx22)(2 )(2122dxexXDx随机变量的正态分布，可由其数学期望和方差完全确定 3 规则规则 二维随机变量二维随机变量 二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数 联合分布函数的定义联合分布函数的定义 连续型随机变量连续型随机变量X、Y9974. 0339544. 0226826. 0XPXPXP表明X落在 区间内几乎是近于所有的值3,3, ,),(yYxXPyYxXPyxF 离散型随机变量离散型随机变量 边际分布函数边际分布函数 X、Y各自的分布函数各自的分布函数 连续型随机变量边际分布函数的定义连续型随机变量边际分布函数的定义 离散型随机变量边际

24、分布函数的定义离散型随机变量边际分布函数的定义yyxxijyyxxiiiiiipyYxXPyYxXPyxF, ,),()()(yFxFyx、)F(x,YxXPxFX ,)(xxjijXipxF1)(可类似的表示 )(yFY 如果联合分布函数已知，则可求得边际分布函数如果联合分布函数已知，则可求得边际分布函数 反之一般不成立反之一般不成立 但若二维随机变量但若二维随机变量X、Y相互独立，则有相互独立，则有 联合分布函数的性质联合分布函数的性质 是两个变量的非减函数是两个变量的非减函数 落在区域落在区域R内的概率内的概率)()(),(yFxFyxFyx),(yxF0),(),(),( FyFxF1),(F),(),( ),(),(, 111221222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 二维随机变量的概率密度分布函数二维随机变量的概率密度分布函数 联合概率密度函数定义联合概率密度函数定义 二维随机变量随机落在二维随机变量随机落在 区域内的概率为区域内的概率为 联合概率密度联合概率密度R),(),( ),(),(, yxFyyxFyxxFyyxxFyyYyxxXxPyxyyYyxxXxPyxpyx,lim),( 00),(,),( 2yxFyxyxFyxp ）（或 不计高阶小量，有不计高阶小量，有 随机点落在面积随机点落在面积R的概率的概率 联合分