信号课程讲义

1、第八章第八章 z变换、变换、z域分析域分析nz变换变换 n逆逆z变换变换nz变换基本性质变换基本性质nz变换与拉氏变换关系及变换与拉氏变换关系及z变换的应用变换的应用nDTFT、频响特性、频响特性 8.1 z变换变换 0nnX zx nT z 0sTnxtx ttx nTtnT 000ststssnXsxt edtx nTtnTedt000stsnTnnx nTtnT edtx nT e一、一、z变换的定义变换的定义1.抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换 z变换变换( )0 (0)x tt设设 10 nnsTX zx nezzsTze令令引入新引入新复变量复变量8.1 z变换变换 20120

2、nnxxX zZ x nxx n zzz nnnX zZ x nx n z2.单边单边z变换变换3.双边双边z变换变换表现为表现为z-1的幂级数的幂级数(洛朗级数洛朗级数)，系数为序列，系数为序列 x(n) 样值；样值；z变换演变为级数求和问题；变换演变为级数求和问题；注意注意 z 取值范围取值范围(收敛域收敛域)，保证级数和有限，即收敛，保证级数和有限，即收敛8.1 z变换变换 0001nnn 01nnnZnnz二、典型序列的二、典型序列的z变换（单边）变换（单边）( 可取任意点值，收敛域为整个可取任意点值，收敛域为整个z平面平面 ) z1.单位样值序列单位样值序列8.1 z变换变换 000

3、1nnnu 01111 ()111nnzzZ u nzzzz2.单位阶跃序列单位阶跃序列1z 收敛域为：收敛域为：8.1 z变换变换0( ) 11nnzzZ u nzz0()1nnzdzzdz12011nnn zz 201nnznzz3.斜变序列斜变序列( )( )x nn u n dX zx nX zn x nzdz 归纳：归纳：性质之一性质之一20( ) 1)1 (nnzzZ nu nnzz8.1 z变换变换 323414111z zdz zzzZn u nzdzz 223111zdzz zZ n u nzdzz 8.1 z变换变换 1101011azazzazanuaZnnnnnn111

4、11zazzaaazz4.指数序列指数序列 bnbbzZ e u nzeze bea 若若 ，则，则 2nnzddazzaZ na u nzZ a u nzdzdzza 23nnaz zadZ n a u nzZ na u ndzza nuanxn8.1 z变换变换 0020020cos1cos22 cos1jjzzzzZn u nzezezz 000020sin1sin22 cos1jjzzzZn u njzezezz5.正弦、余弦序列正弦、余弦序列令令 ，则，则 000 1jnjjzZ eu nzeze 0jb 根据根据 ，可以得出：，可以得出：0001cos2jnjnnee bnbbzZ

5、 e u nzeze 001 jnjzzZ eu nze 0jb令令 ，则，则 8.1 z变换变换 200220coscos 2cosnzzZn u nzzz 00220sinsin 2cosnzZnnzzzu 0000jnnjjnnjzZeu nzezZeu nze 根据根据 可以得出：可以得出：8.1 z变换变换例例1：求下列各序列的：求下列各序列的z变换（单边）变换（单边） 0nmm解：解： 0 0 nmnZnmnm zzz nuann1解：解： 21nnnazzZna u nZ na u nZ a u nzaza2222 azzazzzazaza8.1 z变换变换 nun0sin解：解

6、： 000sinsincoscossinZnu nZnu nZnu n1cos2sincos1cos2cossin0202020zzzzzzz1cos2sincoscossinsin02002zzzzz2020sinsin 2cos11zzzzz8.1 z变换变换解：解： nun0cos nunZnunZnunZsinsincoscoscos00020020coscossinsin2 cos1zzzzz2020coscos 2 cos11zzzzz 8.1 z变换变换解：解： 00cosh,sinhnu nnu n 000001cosh22nneezzZnu nZu nzeze02020cos

7、h 2 cosh1zzzzze 000001sinh22nneezzZnu nZu nzeze0020sinh 2 cosh1zzzez8.1 z变换变换 !nau nn 解：解： 123111111 !2!3!nazaZu nazazzaazen 12!u nn解：解： 2241112220111112!2!2!4!nnZu nzzznn 1 21 21201cosh2zzeezz 8.1 z变换变换 nunan!ln解：解： 1-1211(ln )ln11 (ln )(lnln) !2!na zzaZu na zzaa zean 11nun解：解： 1231111111ln 1 231nn

8、Zu nzzzzznnz 8.1 z变换变换 12n nu n解解： 23111 22211n nzZu nZ n uZu nznnz8.1 z变换变换三、三、z变换的收敛域变换的收敛域1.收敛域的定义：使收敛域的定义：使z变换定义式级数收敛的所有变换定义式级数收敛的所有z 值的集合值的集合2.单边单边z变换：序列与变换式唯一对应，变换：序列与变换式唯一对应， 具有唯一的收敛域具有唯一的收敛域RezImzaRezImzab 0zaa收敛域的形式为：收敛域的形式为： 0,0azbab收敛域形式为收敛域形式为：双边双边z变换：不同序列在不同收敛域条变换：不同序列在不同收敛域条 件下，可以对应同一个

9、变件下，可以对应同一个变 换式换式8.1 z变换变换11111a zazaaza zzz例例2：求下列两式的：求下列两式的z变换，并注明其收敛域变换，并注明其收敛域 12nuanxn解：解： 11121111nnnnnna zXza zaza za z nuanxn1 10 nnnzazXza zza8.1 z变换变换3. z变换在收敛域内的各点处处解析变换在收敛域内的各点处处解析4.收敛域的求法收敛域的求法 ,nnx n z级数收敛的充分条件为级数收敛的充分条件为 nnx n z 正项级数正项级数如何判定正项级数如何判定正项级数 是否收敛？是否收敛？nna比值判别法：比值判别法：1n1lim

10、11nnaa 收敛收敛不一定不一定发散发散根式判别法：根式判别法：n1lim11nna 收敛收敛不一定不一定发散发散8.1 z变换变换 21121111nnnznxznxznxnxZ nx2n1nn05.有限长序列有限长序列 ，只在只在 上有值上有值 nx21nnn z0收敛域：至少为收敛域：至少为zImzRe10n 0z时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为：20n 0z 时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为： 120,0nn0z 时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为：几几种种情情况况8.1 z变换变换1xRz 6.右边序列的右边序列的z变换收敛域至少为：变换收敛域至少为：01n1xRz

11、 时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为： 1lim1limnnnxnnx n zzx nR 1nn nZ x nx n z1limnnna，根据正项级数收敛的判别方法根据正项级数收敛的判别方法01n1xRz 时，序列为因果序列，其收敛域形式为：时，序列为因果序列，其收敛域形式为：定义在定义在 上上，根据根据 值不同，可分为以下两种情况：值不同，可分为以下两种情况： nx1nn 1n8.1 z变换变换20 xRz 7.左边序列的左边序列的z变换的收敛域至少为：变换的收敛域至少为：02n20 xzR 时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为： 22nnnnnnZ x nx n zxn z21lim

12、1limnnnxnnxn zzRxn 02n20 xzR时，序列为反因果序列，收敛域的形式为：时，序列为反因果序列，收敛域的形式为：定义在定义在 上上，根据根据 值不同，可分为以下两种情况：值不同，可分为以下两种情况： nx2nn2n8.1 z变换变换 011210nnnnnnnnnnZ x nx n zx n zx n zxn zx n z8.双边序列的双边序列的z变换收敛域变换收敛域211xnnnRnxzznx(1)式的收敛条件为：式的收敛条件为： 11xnnnRnxzznx(2)式的收敛条件为：式的收敛条件为：双边序列双边序列 定义在定义在 上上 nxn 若若 ，则序列的收敛域为：则序列

13、的收敛域为： ；否则无收敛域；否则无收敛域21xxRR12xxRzR8.1 z变换变换例例3：求下列各式的求下列各式的z变换，并注明其收敛域变换，并注明其收敛域 10nnx na u nb unba 解：解： bzzazzzXbza收敛域为收敛域为 nnx 3解：解： 12083331 33103nnnnnnzzzX zzzzzzz 331 z收敛域为收敛域为8.1 z变换变换 nun131解：解： 11133 (31)nnnX zzzz310 z收敛域为收敛域为 1021nunun解：解： 11090212121zzzzXnnnn z0收敛域为收敛域为注意注意0和和8.1 z变换变换 552nunun 45104553