同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(18)_第1页
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1、.习题5-2 1. 试求函数当x=0及时的导数. 解 , 当x=0时, y¢=sin0=0; 当时, . 2. 求由参数表示式, 所给定的函数y对x的导数. 解 x¢(t)=sin t , y¢(t)=cos t , . 3. 求由所决定的隐函数y对x的导数. 解 方程两对x求导得 e y y¢ +cos x =0, 于是 . 4. 当x为何值时, 函数有极值？ 解 , 令I ¢(x)=0, 得x=0. 因为当x<0时, I ¢(x)<0; 当x>0时, I ¢(x)>0, 所以x=0是函数I(x)的

2、极小值点. 5. 计算下列各导数: (1); (2); (3). 解 (1). (2) . (3) =-cos(psin 2x)(sin x)¢+ cos(pcos 2x)( cos x)¢ =-cos x×cos(psin 2x)-sin x×cos(pcos 2x) =-cos x×cos(psin2x)- sin x×cos(p-psin2x) =-cos x×cos(psin2x)+ sin x×cos(psin2x) =(sin x-cos x)cos(psin2x). 6. 计算下列各定积分: (1);

3、 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 =-cos x|+cos x|=-cosp +cos0+cos2p-cosp=4. (12), 其中. 解 . 7. 设k为正整数. 试证下列各题: (1); (2); (3); (4). 证明 (1). (2). (3). (4). 8. 设k及l为正整数, 且k¹l . 试证下列各题: (1); (2); (3). 证明 (1) . (2) . (3). . 9. 求下列极限: (1); (2

4、). 解 (1). (2) . 10. 设. 求在0, 2上的表达式, 并讨论j(x)在(0, 2)内的连续性. 解 当0£x£1时, ; 当1<x£2时, . 因此 . 因为, , , 所以j(x)在x=1处连续, 从而在(0, 2)内连续. 11. 设. 求在(-¥, +¥)内的表达式. 解 当x<0时, ; 当0£x£p时, ; 当x>p时, . 因此 . 12. 设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导且f ¢(x)£0, . 证明在(a, b)内有F ¢(x)£0. 证明 根据积分中值定理, 存在xÎa, x, 使. 于是有 . 由f ¢(x)£0可知f(x)在a, b上是单调减少的, 而a

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