同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(10)

1、.习题8-1 1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1)(x, y)|x¹0, y¹0; 解 开集, 无界集, 导集为R2, 边界为 (x, y)|x=0或y=0. (2)(x, y)|1<x2+y2£4; 解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 (x, y)|1£x2+y2£4,边界为 (x, y)|x2+y2=1或x2+y2=4. (3)(x, y)|y>x2; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 (x, y)| y³x2, 边界为

2、 (x, y)| y=x2. (4)(x, y)|x2+(y-1)2³1Ç(x, y)|x2+(y-2)2£4. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 (x, y)|x2+(y-1)2=1È(x, y)|x2+(y-2)2=4. 2. 已知函数, 试求f(tx, ty). 解 . 3. 试证函数F(x, y)=ln x×ln y满足关系式: F(xy, uv)=F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 证明 F(xy, uv)=ln(x, y)×ln(uv) =(ln x+ln y)(ln u+l

3、n v) =ln x×ln u+ln x×ln v+ln y×ln u+ln y×ln v =F(x, u)+F(x, v)+F(y, u)+F(y, v). 4. 已知函数f(u, v, w)=uw+wu+v, 试求f(x+y, x-y, xy). 解 f(x+y, x-y, xy)=(x+y)xy+(xy)(x+y)+(x-y)=(x+y)xy+(xy)2x. 5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y2-2x+1); 解 要使函数有意义, 必须 y2-2x+1>0, 故函数的定义域为 D=(x, y)|y2-2x+1>0. (2

4、); 解 要使函数有意义, 必须 x+y>0, x-y>0, 故函数的定义域为 D=(x, y)|x+y>0, x-y>0. (3); 解 要使函数有意义, 必须 y³0,即, 于是有 x³0且x2³y,故函数定义域为 D=(x, y)| x³0, y³0, x2³y. (4); 解 要使函数有意义, 必须 y-x>0, x³0, 1-x2-y2>0, 故函数的定义域为 D=(x, y)| y-x>0, x³0, x2+y2<1. (5)(R>r>0);

5、解 要使函数有意义, 必须 R2-x2-y2-z2³0且x2+y2+z2-r2>0, 故函数的定义域为 D=(x, y, z)| r2<x2+y2+z2£R2. (6). 解 要使函数有意义, 必须 x2+y2¹0, 且即z2£x2+y2, 故函数定义域为 D=(x, y, z)|z2£x2+y2, x2+y2¹0. 6. 求下列各极限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6). 解 (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1); 证明 如果动点p(x

6、, y)沿y=0趋向(0, 0), 则 ; 如果动点p(x, y)沿x =0趋向(0, 0), 则 . 因此, 极限不存在. (2). 证明 如果动点p(x, y)沿y=x 趋于(0, 0), 则 ; 如果动点p(x, y)沿y =2x趋向(0, 0), 则 . 因此, 极限不存在. 8. 函数在何处间断？ 解 因为当y2-2x=0时, 函数无意义, 所以在y2 -2x=0处, 函数间断. 9. 证明. 证明 因为, 所以 . 因此 . 方法二: 证明 因为, 故. 对于任意给定的e>0, 取d=2e, 当时恒有 , 所以 . 10. 设F(x, y)=f(x), f(x)在x0处连续, 证明: 对任意y0ÎR, F(x, y)在(x0, y0)处连续. 证明 由题设知, f(x)在x0处连续, 故对于任意给定的e>0, 取d>0, 当|x-x0|<d时, 有|f(x)-f(x0)|<e. 作(x0, y0)的邻域U(x0, y0), d), 显然当(x, y)ÎU(x0, y0), d)时, |x-x0|<d, 从而 |F(x, y