同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(22)_第1页
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(22)_第2页
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(22)_第3页
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文档简介

1、.习题3-7 1. 求椭圆4x2+y2=4在点(0, 2)处的曲率. 解 两边对x求导数得 8x+2yy¢=0, , . y¢|(0, 2)=0, y¢¢|(0, 2)=-2. 所求曲率为 . 2. 求曲线y=lnsec x在点(x, y)处的曲率及曲率半径. 解 , . 所求曲率为 , 曲率半径为 . 3. 求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径. 解 y¢=2x-4, y¢¢=2. 令y¢=0, 得顶点的横坐标为x=2. y¢|x=2=0, y¢¢|x=2=2. 所求

2、曲率为 , 曲率半径为 . 4. 求曲线x=a cos3t, y=a sin 3t在t=t0处的曲率. 解 , . 所求曲率为 , . 5. 对数曲线y=ln x上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 解 , . , , . 令r¢=0, 得. 因为当时, r<0; 当时, r>0, 所以是r的极小值点, 同时也最小值点. 当时, . 因此在曲线上点处曲率半径最小, 最小曲率半径为. 6. 证明曲线在点(x, y)处的曲率半径为. 解 , . 在点(x, y)处的曲率半径为 . 7. 一飞机沿抛物线路径(y轴铅直向上, 单位为m)作俯冲飞行, 在坐标原点O处飞机

3、的速度为v=200m/s飞行员体重G=70Kg. 求飞机俯冲至最低点即原点O处时座椅对飞行员的反力. 解 , ; y¢|x=0=0, . . 向心力(牛顿). 飞行员离心力及它本身的重量对座椅的压力为 79´9.8+560=1246(牛顿). 8. 汽车连同载重共5t, 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6km/h, 桥的跨度为10m, 拱的矢高为0.25m . 求汽车越过桥顶时对桥的压力. 解 如图取直角坐标系, 设抛物线拱桥方程为y=ax2, 由于抛物线过点(5, 0.25), 代入方程得 , 于是抛物线方程为y=0. 01x2. y¢=0.02x, y¢¢=0.02. . 向心力为(牛顿). 因为汽车重为5吨, 所以汽车越过桥顶时对桥的压力为 5´103´9.8-3600=45400(牛顿). *9. 求曲线y=ln x在与x轴交点处的曲率圆方

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