同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(24)

1、. 习题12-8 1. 求下列微分方程的通解: (1)y¢¢+y¢-2y=0; 解 微分方程的特征方程为 r2+r-2=0, 即(r+2)(r-1)=0, 其根为r1=1, r2=-2, 故微分方程的通解为 y=C1ex+C2e-2x. (2)y¢¢-4y¢=0; 解 微分方程的特征方程为 r2-4r=0, 即r(r-4)=0, 其根为r1=0, r2=4, 故微分方程的通解为 y=C1+C2e4x. (3)y¢¢+y=0; 解 微分方程的特征方程为 r2+1=0, 其根为r1=i, r2=-i, 故微分方程的通解

2、为 y=C1cos x+C2sin x. (4)y¢¢+6y¢+13y=0; 解 微分方程的特征方程为 r2+6r+13=0, 其根为r1=-3-2i, r2=-3+2i, 故微分方程的通解为 y=e-3x(C1cos2x+C2sin2x). (5); 解 微分方程的特征方程为 4r2-20r+25=0, 即(2x-5)2=0, 其根为, 故微分方程的通解为 , 即. (6)y¢¢-4y¢+5y=0; 解 微分方程的特征方程为 r2-4r+5=0, 其根为r1=2-i, r2=2+i, 故微分方程的通解为 y=e2x(C1cos x+

3、C2sin x). (7)y(4)-y=0; 解 微分方程的特征方程为 r4-1=0, 即(r-1)(r+1)(r2+1)=0其根为r1=1, r2=-1, r1=-i, r2=i, 故微分方程的通解为 y=C1ex+C2e-x+C3cos x+C4sin x. (8)y(4)+2y¢¢+y=0; 解 微分方程的特征方程为 r4+r2+1=0, 即(r2+1)2=0, 其根为r1=r2=-i, r3=r4=i, 故微分方程的通解为 y=(C1+C2x)cos x+(C3+C4x)sin x. (9)y(4)-2y¢¢¢+y¢¢

4、;=0; 解 微分方程的特征方程为 r4-2r3+r2=0, 即r2(r-1)2=0,其根为r1=r2=0, r3=r4=1, 故微分方程的通解为 y=C1+C2x+C3ex+C4xex. (10)y(4)+5y¢¢-36=0. 解 微分方程的特征方程为 r4+5r2-36=0, 其根为r1=2, r2=-2, r3=3i, r4=-3i, 故微分方程的通解为 y=C1e2x+C2e-2x+ C3cos3x+C4sin3x. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y¢¢-4y¢+3y=0, y|x=0=6, y¢|x=0

5、=10; 解 微分方程的特征方程为 r2-4r+3=0, 即(r-1)(r-3)=0, 其根为r1=1, r2=3, 故微分方程的通解为 y=C1ex+C2e3x. 由y|x=0=6, y¢|x=0=10, 得 , 解之得C1=4, C2=2. 因此所求特解为 y=4ex+2e3x. (2)4y¢¢+4y¢+y=0, y|x=0=2, y¢|x=0=0; 解 微分方程的特征方程为 4r2+4r+1=0, 即(2r+1)2=0, 其根为, 故微分方程的通解为 . 由y|x=0=2, y¢|x=0=0, 得 , 解之得C1=2, C2=1

6、. 因此所求特解为 . (3)y¢¢-3y¢-4y=0, y|x=0=0, y¢|x=0=-5; 解 微分方程的特征方程为 r2-3r-4=0, 即(r-4)(r+1)=0, 其根为r1=-1, r2=4, 故微分方程的通解为 y=C1e-x+C2e4x. 由y|x=0=0, y¢|x=0=-5, 得 , 解之得C1=1, C2=-1. 因此所求特解为 y=e-x-e4x. (4)y¢¢+4y¢+29y=0, y|x=0=0, y¢|x=0=15; 解 微分方程的特征方程为 r2+4r+29=0, 其根为

7、r1, 2=-2±5i, 故微分方程的通解为 y=e-2x(C1cos5x+C2sin5x). 由y|x=0=0, 得C1=0, y=C2e-2xsin5x. 由y¢|x=0=15, 得C2=3. 因此所求特解为y=3e-2xsin5x. (5)y¢¢+25y=0, y|x=0=2, y¢|x=0=5; 解 微分方程的特征方程为 r2+25=0, 其根为r1, 2=±5i, 故微分方程的通解为 y=C1cos5x+C2sin5x. 由y|x=0=2, 得C1=2, y=2cos5x+C2sin5x. 由y¢|x=0=5, 得

8、C2=1. 因此所求特解为y=2cos5x+sin5x. (6)y¢¢-4y¢+13y=0, y|x=0=0, y¢|x=0=3. 解 微分方程的特征方程为 r2-4r+13=0, 其根为r1, 2=2±3i, 故微分方程的通解为 y=e2x(C1cos3x+C2sin3x). 由y|x=0=0, 得C1=0, y=C2e2xsin3x. 由y¢|x=0=3, 得C2=1. 因此所求特解为y=e2xsin3x. 3. 一个单位质量的质点在数轴上运动, 开始时质点在原点O处且速度为v0, 在运动过程中, 它受到一个力的作用, 这个力的大

9、小与质点到原点的距离成正比(比例系数k1>0)而方向与初速一至. 又介质的阻力与速度成正比(比例系数k2>0). 求反映这质点的运动规律的函数. 解 设数轴为x轴, v0方向为正轴方向. 由题意得微分方程 x¢¢=k1x-k2x¢, 即x¢¢+k2x¢-k1x=0, 其初始条件为x|t=0=0, x¢|t=0=v0. 微分方程的特征方程为 r2+k2r-k1=0, 其根为, 故微分方程的通解为 . 由x|t=0=0, x¢|t=0=v0, 得, 解之得 , . 因此质点的运动规律为 . 4. 在如图所示

10、的电路中先将开关K拨向A, 达到稳定状态后再将开关K拨向B, 求电压uc(t)及电流i(t). 已知E=20V, C=0.5´10-6F(法), L=0.1H(亨), R=2000W. 解 由回路电压定律得 . 由于q=Cuc, 故, , 所以 , 即. 已知, , 故 . 微分方程的特征方程为 , 其根为r1=-1.9´104, r2=-103, 故微分方程的通解为 . 由初始条件t=0时, uc=20, uc¢=0可得, . 因此所求电压为 (V). 所求电流为 (A). 5. 设圆柱形浮筒, 直径为0.5m, 铅直放在水中, 当稍向下压后突然放开, 浮筒在水中上下振动的周期为2s, 求浮筒的质量. 解 设r为水的密度, S为浮筒的横截面积, D为浮筒