同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(8)

1、.习题8-3 1. 求下列函数的全微分: (1); 解 . (2); 解 . (3) ; 解 因为 , , 所以 . (4)u=xyz. 解 因为 , , , 所以 . 2. 求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1, y=2时的全微分. 解 因为 , , , , 所以 . 3. 求函数当x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2时的全增量和全微分. 解 因为 , , 所以, 当x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2时, , . 4. 求函数z=exy当x=1, y=1, Dx=0.15, Dy=0.1时的全微分. 解 因为 所以, 当x=1, y=1, Dx=0.15,

2、Dy=0.1时, . *5. 计算的近似值. 解 设, 由于 , 所以取x=1, y=2, Dx=0.02, Dy=-0.03可得 . *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z=xy, 由于 , 所以取x=2, y=1, Dx=-0.03, Dy=0.05可得 (1.97)1.05»2-0.03+2ln2×0.05+1.97+0.0693 »2.093. *7. 已知边长为x=6m与y=8m的矩形, 如果x边增加5cm而y边减少10cm,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？ 解 矩形的对角线为, , 当x=6, y=8, Dx=0.

3、05, Dy=-0.1时, . 这个矩形的对角线大约减少5cm. *8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm, 内高为20cm,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值. 解 圆柱体的体积公式为V=pR2h, DV»dV=2pRhDR+pR2Dh,当R=4, h=20, DR=Dh=0.1时, DV»2´3.14´4´20´0.1+3.14´42´0.1»55.3(cm3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm3. *9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1

4、cm和24±0.1cm, 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x和y, 则斜边的长度为. . 令x=7, y=24, |Dx|£0.1, |Dy|£0.1, 则得斜边长度z的绝对误差约为 cm. *10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m和78±0.1m,这两边的夹角为60°±1°, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差. 解 设三角形的两边长为x和y, 它们的夹角z, 为则三角形面积为. . 令x=63, y=78, , |dx|=0.1, |dy|=0.1, , 则 , , , 所以三角形面积的近似值为2127.82m2, 绝对误差为27.55m2, 相对误差为1.29%. *11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和. 证明 设u=x+y, 则 . 所以两数之和的绝对误差|Du|等于它们各自的绝对误差|Dx|与|Dy|的和. *12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商