九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析

1、九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案解析一、锐角三角函数1.如图，从地面上的点 A看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点 P的仰角是45。，向前 走6m到达B点，测得杆顶端点 P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.(1)求/ BPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m) .备用数据： 启1； ,【答案】(1) /BPQ=30；(2)该电线杆PQ的高度约为9m.【解析】试题分析：(1)延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；(2)设PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根据三角函数利用 x表示出AE和BE,根 据A

2、B=AE-BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函数求得 QE的长，则 PQ的长度即可求解.试题解析：延长 PQ交直线AB于点E,ABE(1) / BPQ=90 -60 =30°(2)设 PE=x米.在直角 APE中，贝U AE=PE=W / PBE=60 °BE西pe植x米,/ BPE=30 °在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6 米，则 x-ix=6,解得：x=9+3则 BE=(373+3)米.在直角 4BEQ中，QE=BeX! (3/3+3) = (3+73 )米.PQ=PE-QE=9+3/3 - (3+73) =6+2 Q =9(

3、米)答：电线杆PQ的高度约9米.考点：解直角三角形的应用 -仰角俯角问题.2.如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,/AEF=90； AE=EF过点F作射线BC的垂线，垂足为 H,连接AC.(1)试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2)求证：/ACF=90°连接AF,过A, E, F三点作圆，如图 2.若EC=4, ZCEF=15°,求的长.【答案】(1) BE="FH"理由见解析(2)证明见解析(3)=2 Tt【解析】试题分析：(1)由ABEEHF (SAS即可得到 BE=FH(2)由(1)可知AB=EH,而BC=

4、AB, FH=EB从而可知 FHC是等腰直角三角形，/ FCH为45°,而/ ACB也为45°,从而可证明(3)由已知可知/EAC=30, AF是直径，设圆心为 O,连接E0,过点E作ENL AC于点N, 则可得4ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得 AE的长，得到半径，得到|尼所对圆心角的度数，从而求得弧长 试题解析：(1) BE=FH理由如下：四边形 ABCD是正方形/ B=90 ；1 . FHXBC / FHE=90 °又,：L AEF=90/ AEB+Z HEF="90"且 / BAE+Z AEB=90/ HEF=Z BA

5、E/ AEB=Z EFH 又AE=EF2 .ABEAEHF (SAS3 .BE=FH(2)AABEAEHFBC=EH, BE=FH 又BE+EC=EC+CH BE="CH".CH=FH/ FCH=45 ,/ FCM=45.AC是正方形对角线，Z ACD=45 °/ ACF=Z FCM +/ ACD =90 °（3） AE=EF，4AEF是等腰直角三角形 AEF外接圆的圆心在斜边 AF的中点上.设该中点为 O.连结EO得/AOE=90。BH过E作EN± AC于点NRtA ENC 中，EC=4, Z ECA=45°, . . EN=NC=

6、#RtA ENA 中，EN =2 0又 / EAF=45 / CAF=Z CEF=15 （等弧对等角）/ EAC=30 °.AE=；RtA AFE 中，AE=40 = EF,，AF=8AE所在的圆O半径为4,其所对的圆心角为 /AOE=90°定=2 兀- 490 - 36。° =2 兀考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数3.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯 角为30。，求楼房CD的高度（J3=1. 7）.【答案】32. 4米.【解析】试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角

7、形.本题涉及多个直角三角形，应利用 其公共边构造关系式求解.试题解析：如图，过点 B作BELCD于点E,根据题意，/DBE=45, /CBE=30. . ABXAC, CD± AC,四边形ABEC为矩形， .CE=AB=12m,BE在 RtCBE 中，cot Z CBE=一 , CEBE=CE?cot30 ° 为2=1次 33 ,在 RtBDE 中，由 /DBE=45,得 DE=BE=12/3. .CD=CE+DE=12（百+1） =32.4答：楼房CD的高度约为32.4m .考点：解直角三角形的应用 仰角俯角问题.4.如图(1),在平面直角坐标系中，点A (0, - 6)

8、,点B (6, 0) . RtACDE中，/CDE=90,° CD=4, DE=4jl，直角边 CD在y轴上，且点 C与点A重合.RtCDE沿y轴 正方向平行移动，当点 C运动到点O时停止运动.解答下列问题：(1)如图(2),当RtA CDE运动到点D与点。重合时，设 CE交AB于点M,求/ BME 的度数.(2)如图(3),在RtA CDE的运动过程中，当 CE经过点B时，求BC的长.(3)在RtACDE的运动过程中，设 AC=h, OAB与 CDE的重叠部分的面积为 S,请写出 S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值.卸却图3【答案】(1) / BME=15 ;(2BC=4

9、 冉；(3) hW2时，S=-今 T h2+4h+8,4当 h>2时，S=18- 3h.【解析】试题分析：(1)如图2,由对顶角的定义知，/BME=/ CMA,要求/BME的度数，需先求出/CMA的度数.根据三角形外角的定理进行解答即可；(2)如图3,由已知可知/OBC=/ DEC=30,又OB=6,通过解直角 BOC就可求出BC的 长度；(3)需要分类讨论： hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MFLDE交DE于点 F, S=SEDC- SAefm； 当 h>2时，如图 3, S=Sxobc.试题解析：解：(1)如图2,图2在平面直角坐标系中，点 A (0, - 6),点

10、B (6, 0) .OA=OB,Z OAB=45 ；/ CDE=90,° CD=4, DE=4后,/ OCE=60 ；/ CMA=Z OCE- / OAB=60 -45 =15 ；/ BME=Z CMA=15 -如图3,邸/ CDE=90,° CD=4, DE=4百,/ OBC=Z DEC=30,°,.OB=6,BC=4q 3 ;(3)hW2时，如图4,作MNy轴交y轴于点N,作MF, DE交DE于点F,图4. CD=4, 0£=4石，AC=h, AN=NM,.CN=4- FM, AN=MN=4+h - FM,.CMNACEDex w.二CD DE &#

11、39;4-73/解得FM=4 走二!方,2S=Sedc- Saefm= X 4>y4j - (44h) X (4-丸)=-h +4h+8,工工24如图3,当hR2时，11 S=Sobc= _ OCX OB: (6 - h) X 6=18 3h.考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形5.已知RtABC中，AB是。O的弦，斜边 AC交。O于点D,且AD=DC,延长CB交。O于点E.(1)图1的A、B、C D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段明理由；(2)如图2,过点E作。的切线，交AC的延长线于点F.CE的长？请说 若CF=CD时，求sin/CAB的值；若CF=aC

12、D(a>0)时，试猜想sin/CAB的值.(用含a的代数式表示，直接写出结 果)怛 ?【答案】(1) AE=CE (2)亨；口+2 .【解析】试题分析：(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得 /ADE=/ ABE=90 ,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE(2)连接AE、ED,如图2,由/ABE=90可得AE是。的直径，根据切线的性质可得 /AEF=90 从而可证到AD&4AEF,然后运用相似三角形的性质可得 八片=AD?AF. 当CF=CD时，可得月 =3仃"，从而有EC=AE=CD,在DEC中运用三角函数可得DC 寸3sin/CED=&qu

13、ot;： ” ,根据圆周角定理可得 /CAB=/ DEC即可求出sin/CAB的值；当 CF=aCD(a>0)时，同 即可解决问题.试题解析：(1) AE=CE理由：连接 AE、DE,如图 1, . /ABC=90, . . / ABE=90, . . / ADE=/ ABE=90 , / AD=DC- .AE=CE(2)连接 AE、ED,如图2, ,/ABE=90,. AE是。的直径，: EF是。OO的切线，AE AD_ _ 、 _ 、 _ =Z AEF=90,Z ADE=Z AEF=90 ,又/ DAE=/ EAFAADEAAEF, . jflr.=AD?AF._ _ _ _ _ _

14、 _ _ 当 CF=CD时，AD=DC=CF AF=3DC, .DC I DCII '=DC?3DC=,.AE=， DC, EC=AE.EC=3dC, . .sinZ CAB=sinZ CED=r7=V?UC= 3 ; 当 CF=aCD(a>0)时，sinZCAB=a + 2 . CF=aCD AD=DC, . . AF=AD+DC+CF=( a+2) CD, /.AE= IDC, EC=AEEC=/0 + 3DC,DC /一而sin / CAB=sin/ CED=DC /、/、DC2=DC? (a+2) DC= (a+2)'儿,考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在

15、型.k-6.如图，反比例函数 y k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象相交于 xA(1,a),B两点，点C在第四象限，CA / y轴， ABC 90 .(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值.【答案】(1) k 2, B 1, 2 ；(2)2.【解析】【分析】(1)先根据点A在直线y=2x上，求得点A的坐标，再根据点 A在反比例函数ky - k 0的图象上，利用待定系数法求得k的值，再根据点 A、B关于原点对称即可x求得点B的坐标；(2)作BH, AC于H,设AC交X轴于点D,根据 ABC 90 , BHC 90，可得C ABH ,再由已知可得 AOD ABH ,从而得 C AO

16、D ,求出tanC即可.【详解】(1) ;点A(1, a)在y 2x上， a=2, A(1, 2),把A(1, 2)代入y k得k 2, xk;反比例函数y - k 0的图象与正比例函数 y 2x的图象交于 a，B两点, xB两点关于原点。中心对称，B 1, 2 ；(2)作BHI± AC于H,设AC交X轴于点D,ABC 90 , BHC 90 , C ABH ,CA/ y 轴，BH / x轴，AOD ABH , . . C AOD ,AD 2-1 tanC tan AOD2 .【点睛】本题考查了反比例与OD 1次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用

17、相关知识是解题的关键，（2）小题求出/C=/AOD是关键.7.如图，在。的内接三角形 ABC中，/ACB= 90°, AC= 2BC,过C作AB的垂线l交。O 于另一点D,垂足为E.设P是AC上异于A, C的一个动点，射线 AP交l于点F,连接PC与PD, PD交AB于点G.(1)求证：PASPDF;(2)若 AB= 5, ?q，求 PD 的长.AP BP【答案】（1）证明见解析;(1)根据 AB± CD, AB 是。的直径，得到 Ad Ac，/ACD=/B,由/fpc=/b,得 至I Z AC> Z FPQ可得结论；(2)连接OP,由Rp gp,得到OPLAB, Z

18、 OPG= Z PDQ根据AB是。O的直径，得到/ACB=90,由于 AC=2BC,于是得到 tan / CAB= tan / DCB=BC /日玄1I，得到ACCE BE 1OG ，求得 AE= 4BE,通过 OPG EDG,得到 AE CE 2GE理即可得到结果.【详解】(1)证明：连接AD,OP,然后根据勾股定ED. ABXCD, AB是OO的直径,Xd Xc，Z ACD= Z B= Z ADC, Z FPG= Z B, Z ACEU Z FPQ Z APC= ZACF, Z FAG= Z CAF.PAGACAF;15(2)连接 OP,则 OA=OB=OP=，AB -22Xp §

19、;p ,OPXAB, Z OPG= Z PDQAB是。的直径，Z ACB= 90 ；,.AC=2BC,BCtan Z CAB= tan Z DCB=，ACCE BE 1"AE CE 2'，AE=4BE,.AE+BE= AB=5,.AE=4, BE= 1, C2, .OE=OB- BE=2.5- 1 = 1.5,Z OPG= Z PDC, Z OGZ DGE,OG.OPGAEDG, GEOPED，OE GE OP 2.5GECE 225GE= , OG=一, 36.PG=OP2OG56GD= DE2 GE223.PD= PG+GD= 3忖本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定

20、理，勾股定理，圆周角定理，证得 OPGsEDG是解题的关键.C (0, 3)三点.(1)(2)(3)试求抛物线的解析式； 点P是y轴上的一个动点, 如图，若直线1经过点连接 PA,试求5PA+4PC的最/J、值；T ( -4, 0) , Q为直线1上的动点，当以 A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.3-x 3; (2) 5PA+4PC的最小值为18; (3)直线l的解析式 4、，3为y -x3或y3.【解析】【分析】(1)设出交点式,代入 C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AEL BC于点E,过点P作PD)± BC于点D,易证CDMA COB,

21、得到比例式PC -PD ,得到PD=- PC,所BC OB5以 5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 ( PA+PD ,当点 A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC= 5 5(PA+PD = 5AE最小，利用等面积法求出 AE=18 ,即最小值为18 ( 3)取AB中点F, 5以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ= 90°或/ ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴， 所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点 Q使/ BAQ= 90°或/ ABQ= 90°,即 / AQB= 90时，只有一个满足条件的点 Q,，直线l与。F相切于点

22、Q时，满足/ AQB= 90 °的点Q只有一个；此时，连接 FQ,过点Q作QGi±x轴于点G,利用cos/QFT求出 QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：(1)二.抛物线与x轴交点为A ( - 2, 0)、B (4, 0) -y = a (x+2) ( x- 4)把点C (0, 3)代入得：-8a=33 a =8二抛物线解析式为 y= - (x+2) (x- 4) =- - x2+_ x+3884(2)连接 AC BC,过点A作AE± BC于点E,过点P作PD)±BC于点D/ CDP= / COB= 90 &#

23、176; / DCP= / OCB. .CD。COBPC PD BC OB- B (4, 0) , C (0, 3) OB= 4, OC= 3, BC= Job2 OC2 =54 - .PD= PC5，5PA+4PC= 5 (PA+4PC) = 5 (PA+PD 5 当点 A、P、D在同一直线上时， 5PA+4PC= 5 (PA+PD = 5AE最小 . A (2, 0) , OCX AB, AE± BC Sa abc= 1AB?OC= 1 BC?AE 22ABn OC 6 3 18AE= -BC 55 -5AE= 18 5PA+4PC的最小值为18.(3)取AB中点F,以F为圆心、

24、FA的长为半径画圆当/BAQ= 90°或/ABQ= 90°时，即AQ或BQ垂直x轴，只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/ BAQ= 90或/ ABQ= 90/ AQB= 90时，只有一个满足条件的点Q 当Q在。F上运动时(不与 A、B重合)，/AQB= 90 °，直线l与。F相切于点Q时，满足/AQB= 90的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QGi± x轴于点G/ FQT= 90 ° .F 为 A ( 2, 0)、B (4, 0)的中点 .F (1, 0) , FQ= FA= 3,. T (4, 0)一一 FQ TF= 5, c

25、os/ QFT=TF. RtFGQ 中，cos/QFT=FG 3FQ 5“39 FG= - FQ= 一,9 xq= 1 一55 , QG=，Q2 FG2,32212若点Q在x轴上方，则Q (4 125,设直线l解析式为：y= kx+b4k012解得:，直线l：若点Q在x轴下方，则45,12一)5，直线l： y3x 34综上所述，直线l的解析式为【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论9.如图，在正方形 ABCD中，E是边AB上的一动点，点 F在边BC的延长线上，且C

26、F AE ,连接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于点 H.(1)求证：DE DF ;(2)求证：DH DF :(3)过点H作HM ± EF于点M,用等式表示线段 AB, HM与EF之间的数量关系，并 证明.B【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） EF 2AB 2HM ,证明详见解析【解析】【分析】（1）根据正方形性质，CF AE得到DE DF .(2)由 zXAED ACFD ,得 DEDF .由 ABC 90 , BD 平分 ABC,得 DBF 45 .因为FH平分 EFB,所以DHF DBF BFH 45 BFH , 所以DH DF .(3)过点H作

27、HN BC于点N ,由正方形EFH BFH .由于DFH DFE EFH 45 EFH ,ABCD性质，得bd Jab2 ad272AB.由 fh 平分 EFB， HMHM HN .因为 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BHHNsin 45.2HN 、2HM由EFDFcos45夜DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM（1）证明：.四边形ABCD是正方形,AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 DE DF .(2)证明：AAEDACFD ,DE D

28、F . EDF 90 , DEF DFE 45 . ABC 90 , BD 平分 ABC, DBF 45 .FH 平分 EFB , EFH BFH .DHFDBF BFH 45BFH ,DFH DFE EFH 45 EFHDHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .证明：过点H作HN BC于点N ,如图, .正方形 ABCD 中，AB AD , BAD 90 , BD .AB2 AD2 2AB. FH 平分 EFB , HM EF, HN BC, HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,.Bh hn 万hN .2HM . sin 45DH BD BH . 2AB .

29、2HM . EF DFV2DF 石DH ,cos45 EF 2AB 2HM .【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数 10.如图1,以点M ( 1, 0)为圆心的圆与 y轴、x轴分别交于点 A、B、C、D,直线y=-:'x工 与。M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出 OE、OM的半径r、CH的长；(2)如图2,弦HQ交x轴于点 巳 且DP:PH= 3:2,求cos/ QHC的值；(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与 E、C重合)，连接BK交。M于点T

30、,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数 a,始终满足 MIN- MK=a,如果存在，请求出 a的值；如 果不存在，请说明理由.图1图2图J【答案】(1) OE=5, r=2, CH=23*,* cosQHC =-(2)(3) a=4【解析】【分析】(1)在直线y= 3 x'中，令y=0,可求得E的坐标，即可得到 OE的长为5;连接 MH,根据4EMH与EFO相似即可求得半径为 2;再由EC=MC=2 / EHM=90 ,可知CH 是RTA EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上白中线等于斜边的一半即可得出CH的长；(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到 CH/QPD,从而求

31、得 DQ的长，在直 角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即为 cos/ QHC的值；(3)连接AK, AM,延长AM,与圆交于点 G,连接TG,由圆周角定理可知， /GTA=90,° Z3=Z4,故 / AKC=Z MAN,再由AMKsNMA 即可得出结论. 【详解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如图 1,连接 QC、QD,则/CQD =90°, / QHC =/ QDC,DP易知CH/DQP,故 PHDQOH,得dQ=3,由于CD=4,*，二 coszQDC =QD 3CD 4(3)如图2,连接AK, AM,延长AM, 与圆交于点 G,连接TG,则=2

32、+ "=900 ,N = T/Z + £3 = W由于E/7R。十上口- 90",故，乙R,'。-乙？；而乙”八。一乙2,故"一上2在MM*和卬M%, ±1 一2； "MKjNM月故 AMKsNMAMN AM； ;即：:二* 二二一I -故存在常数W,始终满足ar a次=o常数a="4"解法二：连结BM,证明AAST sXlKB得二, *二丁， 一-二11.如图，公路AB为东西走向，在点 A北偏东36.5方向上，距离5千米处是村庄 M , 在点A北偏东53.5方向上，距离10千米处是村庄 N ;要在公路 A

33、B旁修建一个土特产 收购站P （取点P在AB上），使得M , N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出 P的位置（不写作法）并计算：（1） M , N两村庄之间的距离；（2） P 到 M、N 距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5 =0.6, cos36.5 =0.8, tan36.5 = 0.75计算结果保留根号.）【答案】（1） M , N两村庄之间的距离为 729千米；（2）村庄M、N到P站的最短距离和是5 5千米.【解析】【分析】（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站 的位置.求出 DN, DM,利用勾股定理即可解决问题.（

34、2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是 MN的长.【详解】 解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.(1)在 RtANE 中，AN=10, Z NAB=36.5，NE=AN?sin/NAB=10?sin36.5, ° =6AE=AN?cos/ NAB=10?cos36.5 ° , =8过M作MCAB于点C,在 RtMAC 中，AM=5, /MAB=53.5 .AC=MA?sin/AMB=MA?sin36.5 ,° =3MC=MA?cos/AMC=MA?cos36.5 ° =4过点

35、M作MD，NE于点D,在 RtA MND 中，MD=AE-AC=5,ND=NE-MC=2,mn=1y522=729,即M , N两村庄之间的距离为 J29千米.（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是 MN'的长.DN' =10MD=5,在 RtMDN中，由勾股定理，得MN' §52 102 =5 病（千米）村庄M、N到P站的最短距离和是 5，5千米.【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题.12.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一

36、座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是 31。，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面 7.9米（CD的长），试求出主塔 BD的高.（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin31 ° =0.,52dos31° 0.§6tan31° =0.60【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+Cg得出.【详解】在 RtA ABC 中,/ ACB=90°,sinABCABBC AB sinA 152 sin31 152 0.52 79.04 .BD BC

37、 CD 79.04 7.9 86.94 86.9 （米）答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键13.如图，在 RtABC中，/C= 90°, /A=30°, AB = 4,动点P从点A出发，沿 AB以每 秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD，AC于点D(点P不与点A, B重合)，作/DPQ= 60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.(1)用含t的代数式表示线段 DC的长： ;(2)当t =时，点Q与点C重合时；(3)当线段PQ的垂直平分线经过 4ABC一边中点时，求出t的值.

38、II 3 51【答案】(1)-01 ； (2) 1； (3) t的值为万或二或彳【解析】【分析】(1)先求出AC,用三角函数求出 AD,即可得出结论；(2)利用AQ=AC,即可得出结论；(3)分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论.【详解】(1) AP= , AB=4,/A=30°.AC= , AD= .cd= y -甲i ；(2) AQ=2AD=2/&当AQ=AC时，Q与C重合即2<&=2*尸 t=1 ;(3) 如图，当PQ的垂直平分线过 AB的中点F时，111II/ PGF= 90 : PG= ：PQ= ：AP= t, AF=&AB= 2. /A

39、=/AQP= 30 °,，/FPG= 60； . . / PFG= 30 °, . . PF= 2PG= 2t,11,-.AP+PF= 2t + 2t = 2, .=' 如图，当PQ的垂直平分线过 AC的中点N时, ./QMN = 90 ； AN=；AO 小，QM=；PQ= AP=t.在 RtA NMQ 中,NQ =MQCOS 30".AN + NQ= AQ, 如图，当PQ的垂直平分线过 BC的中点F时,二1八,.BF=BC= 1, PE= kPQ=t, / H= 30： / ABC= 60 ；/ BFH= 30 = Z HI,. BH= BF= 1.在

40、RtA PEH 中,PH= 2PE= 2t.5-，AH= AP+ PH=AB+ BH, ，2t+2t=5, ，t = T41 |3 |5即当线段PQ的垂直平分线经过 ABC一边中点时，t的值为w或彳或不. 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，垂直平分线 的性质，正确作出图形是解本题的关键.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=-2x2+bx+c与直线y=1x-3分别交x42轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与 x轴的另一个交点为点 A,顶点为点D,连接CD 交x轴于点E.(1)求该抛物线的表达式及点D的坐标；(2)求/ DCB的正切值；(3)如果点F在y轴上，且/ FBC= / DBA+/DCB,求点F的坐标.D1 O1【答案】(1) yx2 2x 3, D (4, 1) ; ( 2) ； (3)点 F坐标为(0, 1)或43(0, - 18)【解析】【分析】(1) y= x - 3,2令y= 0,则x= 6,令x= 0,则y = 3,求出点B、C的坐标，将点B、1 2 .C坐标代入抛物线(2)求出则点Ey= - -x2+bx+c,即可求解;49则CH= ,即可求3_(3, 0) , EH= EB?sin/ OBC= 丁，CE=