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文档简介
1、求证:(1) AE=BD(2)CM=CN(3)CMNfc等边三角形(4) MN/ BC八年级上册经典几何题分类训练常见辅助线的作法有以下几种:1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解 题,思维模式是全等变换中的“对折” .2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构 造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线, 利用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折”,所考知识点常 常是角平分线的性质定理或逆定理.4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维 模式是全等变换中的“平移”或
2、“翻转折叠”5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定 线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利 用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线 段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时, 常把某点到原 三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答.一、以等边三角形为基础1. DACAEBC均是等边三角形,AE,BD分别与CD,CEfc于点M,N,2.已知:如图1,点C为线段AB上一点, 三角形,AN交MCf点E, BM交CN于点F.证:4CEF为等边三角形;(3)将ACMgg点C按逆时针方向旋转 ACM CBNS
3、是等边(1)求证:AN=BM (2)求90°,其他条件不变,在图2中补出符合要求的图形,并判断第(1)、(2)两小题的 结论是否仍然成立(不要求证明).3、如图所示,已知 ABC和4BDE者BAE=CDBF=BGBH平分/人限 角形;FG/ AQ其中正确的有必日空 ZEA图2三角形。下列结论/ Q460ABF©是等边三AA3个B4个C5个D6个4.如图,ABE等边的任意一点于 D; DE当OB的"M / N点。重A Ai三角形,AB=6cm。为AB上(与B点不重合),ODL BC AC于 E; EP, AB于 P。问: 长等于多少时,点P与 合?B二、以等腰直A三
4、角形为基础5. (2008 履鹏)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置乂喝由它抽象出白几何图形,B, C, E在同一条直线 上,连弃?JE(1) %血侑2中心全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有;B标1D勺字母);C(2)证明:DC BE .6、(2009年牡虺江)已知RQABCAC BC, ZC 90 , D 为 AB 中点,EDF 90°,一 图(第22EDF绕D点旋转,它的两边分别交 AC、CB (或它们的延长线) 于 E、F.当 EDF绕D点旋转到DE AC于E时(如图1 ),易证QQ1GSA DEF SA CEF _ SA ABC ,2当 EDF绕D
5、点旋转至ij DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情 况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,SADEF >SA CEF、SA ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.7、用两个全等的等边三角形 ABCftAACDW成菱形60、重合,的三角尺与这个菱形心,使三角尺的600AABCN巴一个含 用冰点与点A9 .如图,两个全等的含30°、600角的三角板ADEffi三角板ABC& 置在一起,/ DEAW ACB=90 , / DAEW ABC=30 , E、A C三点在 一条直线上,连接BD,取BD中点M 连接ME MC试判断 EMC勺 形状,并
6、说明理由.10 .已知:在ABC, /ACEfe锐角, 点D为射线BC上一动点,连接 AD 以AD为一边且在AD的左侧作等腰直 角 ADE解答下列各题:如果AB=AC /BAC=90 .(i )当点D在线段BC上时(与点B 不重合),如图甲,线段BD CE之间边分别与AR AC重汽将三角尺绕点的两边分别与菱形笆CDfe于点E、F时(如BE CF逆时针旋转.醒度,呼得出但结以明你的结*;C(2)当图t k的两边分别与菱形白图2 FB两边BC CD的延长线相交于点E、F时(如图所小),你在(1)中得到的结论还成立吗?说明理由8.如图1、图2、图3, AAOB COD匀是等腰直角三角形,/ AOB
7、=/ COa 90o,(1)在图1中,AC与BD相等吗,有怎样的位置关系?请说明理由。(2)若 CO啜点。顺时针旋转一定角度后,到达图 2的位置,请 问AC与BD®相等吗,还具有那种位置关系吗?为什么?(3)若 CO啜点。顺时针旋转一定角度后,到达图 3的位置,请 问AC与BD还相等吗?还具有上问中的位置关系吗?为什么?的位置关系为(ii )当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,i) 中的结论是否还成立?为什么?11.如图:在ABC, BE CF分别是AC AB两边上的高,在 BE上F取BD=AC在CF的延长线上截取 CG=AB连结AD AG 求证:(1) AD=AG(2) AD与A
8、G的位置关系如何。12、在 RtAABO, AB=AC / BAC=90 ,。为 BC的中点.(1)写出点。到ABC勺三个顶点A、B、C的距离的大小关系,并说 明理由.(2)若点M N分别是AB AC上的点,且BM=AN试判断 OM帔状, 并证明你的结论.13、如图,已知在 ABC中,/BAC为直角,AB=AC D为AC上一点,如何变化,若变化,求它的变化范围;若不变,求出它的度要求画图并回答:数,并说明理由 三、以角平分线为基础画/MAB / NBA勺平分线交于 E。(1) /AEB是什么角?14.如图所示,已知在 AEC中,/ E=90° , AD平分/EAC,D曰AC, 垂足为
9、F,DB=DC.15、如图,OP是/ MON勺平分线,请你利用该图形画一对以 OP所 在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角 形的方法,解答下列问题:(1)如图,在 ABO, / ACB是直角,/ B=60° , AD. CE 分别是/ BAO / BOA的平分线,AD OE相交于点F。请 你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图,在 ABC中,如果/ AOB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成 立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。16.如图 1 NBDM腰 RtAABO 的角平少B / BAO = 901)求证 BOA
10、BAD /E'o '''''<2 口 图 P a BD土豆BD=2OE A图 N图(2)过点E作一直线交AM于D,交BN于O,观察线段DE OE,你 有何发现?(2)无论DO的两端点在AM BN如何移动,只要 DO经过 点E,(3) AD+BO=ABAD+BO=OD成立?并说明理由。18.已知AO/BD, / OAB?口 / DBA的平分线EA EB与OD相交于点E. 求证:AB=AO+BD.四、利用面积一定解题19、如图所示,已知D是等腰 ABO底边BO上的一点,它到两腰AB AO的距离分别为DE DF,OMLAB,垂足为M,请你探索一下
11、线段 DE DR OM三者之间的数量关系,并给予证明.20.如图,在4ABO中,/A=90° , D是AO上的一点,BD=DO P是 BO上的任一点,PEI BD PF± AO E、F为垂足.求证:PE+PF=AB 五、综合变式,类比法是关键21、已知四边形 ABOD 中,AB AD , BO OD , AB BO ,ZABO 120°, Z MBN 60°, /MBN绕B点旋转,它的两边分别交AD, DO (或它们的延长线)于E, F .当/ MBN绕B点旋转到AE OF时(如图1 ),易证 AE OF EF .17、如图,过线段AB的两个端点作射线A
12、MBN使B当/ MBN绕B点旋转到AE OF时,在图2和图3这两种情况 下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段 AE, OF , EF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.22 (2011年浙江省杭州市模2)(本小题满分10分)如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边?ABCM AB BC上的动点, 点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,(2)(3)直线/、变,(1)连接AQ CP交于点M则在P、Q运动的过程中,/ CM嚷化 吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数; 何时?PBQt直角三角形?如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线
13、 AB BC上运动, AQ CP交点为M则/CM®化吗?若变化,则说明理由,若则求出它的度数;(1)求证:/ ABE之 C;(2)若/ BAE的平分线AF交BE于F, FD/ BC交AC于D,设AB=5 AC=8求DC的长。27.已知:如图, ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG / BC ,交AC于点G ,在GD的延长线上取点E ,使DE DB , 连接AE, CD .(1)求证:AGEDAC;(2)过点E作EF / DC ,交BC于点F ,请你连接AF ,并判断 AEF是怎样的三角形,试证明你的结论.AB AC , AD AE ,28.已知,如图所示,在4ABC和4ADE中
14、,23、(09湖北宜昌) 点D与点A关于火(1)求证:AB若 / BAC/2J的数量关系/并脱明理24、如图QL寸称,PB分别与线段CF,知:如图,AF平分/ BAC BC±AF,垂足为E,请你判断/ F与/MCDF分别为线段AC上的两个动EL AQf E, BF±ACC1AF=CE书D交AC于点维CF,若 AB=CRAF相交于P, M.DAE ,且点B, A, D在一条直线上,分别为BE, CD的中点.连接 BE, CD, M , N(4)(5)ME=MF当E、F两点移动到如图的位 置时,其余条件不变,上述结 论能否成立?若成立请给予证明; 由.BACCFAE DM若不成
15、立请说明理(1)求证:BE CD ;AM在图的基础上,将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图所示的图形.请直接写出 (1)中的两个结论是否仍然成立.29、已知: ABM BC上的高AD所在的25、如图,在ABCffiADCE, AB=DC AC=DBAC与D皎于点MBE所(1)如图,/ BC线相交于点F角三角形且/做FGAC二B三与AC上的高(6) 求证:AB(C1 ADCB (2)过点 C作 CN/ BD,过点 B作 BN/AC CN与BN交于点N,试判断线段BN与CN的数量关系,并证明交直B .AB于点G,忒探究线段DFG DC AD三M之间.满足怎样的数
16、量¥系?并说明妙E(2)如图,鸿I&BC=135 ,其他的条件不变,图除究(1) 中三条26、已知:如图E在4ABC的边AC上,且/ A你的结论.线段之间满足怎样的数量关系?并说明理由BC30.如图,已知E是正方形ABCD勺边CD的中点,点F在BC上,且/ DAEN FAE.30、(9-3全等与相似的综合与创新2013东营中考)(本题满分10分)(1)如图(1),已知:在 ABC中,/ BAC= 90° , AB=AC直线 m经过点A, BDL直线m,CH直 线m垂足分别为点 H E,证明:DE=BaCE(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在ABC+, AB=A
17、C DA E三点都在直线 m上,弁且有/ BD/=Z AE(=/ BA(=a, 其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=B"CE是否成立? 如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.拓展与应用:如图(3) , D E是D A E三点所在 直线m上的两动点(D A E三点互不重合),点F为/ BA评分线上的一点,且 AB林口 ACF匀为等边三角形,连接 BD CE若/ BDG/AE0/BAC 试判断4 DEF 的形状.D (2)如图A若BE的酊线交DAC于点F/A3- BFE- A(|垂足为F" BACA45 E m原题设底条件不变.求证:AAEF0BCF.(图3)32、已知
18、/ ABC=Z C, / 1第卷窘FBE! AE,求证:AC-AB=2BE33、(2013%衢州)【提出问题】(1)如图1,在等边4ABC中,点M是BC上的任意一点 (不含端点B、C), 连结AM ,以AM 为边作等边 4AMN ,连结 CN ,求证:/ ABC= / ACN .【类比探究】(2)如图2,在等边4ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论Z ABC= / ACN还成立吗?请说明理由.34、已知:/ 1 = /2, CD=DE EF/AB,求证:EF=AC2FBE=BD ,D为ABE在游BE/E CBD;35 (2013 荷泽)(1)如图,在 4ABCDC.求证:中,AB=CB , /A
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