必修2.2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

1、§必修2.2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质教学目标1 .理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题.2 . 了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.学习内容知识梳理1 .直线与平面垂直的性质定理文字语百垂直于向一个平面的两条直线平行符号语后aa Pb b图形语百口二b7作用1线面垂直？线线平行；作平行线2 .平面与平面垂直的性质定理文字语百两个平囿垂直，则一个平囿内垂直于交线的直线与另,个平囿垂直符号语后=1 a aa 1图形语百Jaa 士作用卸圆垂直？线卸垂直； 作面的垂线题型一线面垂直性质的应用例1

2、如右图所示，已知PA，矩形ABCD所在平面，M, N分别是AB,PC的中点.(1)求证：MNLCD;(2)若/ PDA = 45°,求证：MN，平面PCD证明：(1)如图，取PD的中点E,连接AE, NE,又N为PC中点,则 NE/CD, NE=2CD.1又 AM /CD, AM=/CD, ，AM=NE.四边形AMNE为平行四边形.MN / AE.PA，平面 ABCD CD，PA ?CD?平面 ABCD CDXAD, PAAAD=ACD ±平面ADP ? CDXAE.AE?平面ADP MN LCD.(2)当/ PDA=45°时，Rt PAD为等腰直角三角形,则 A

3、EXPD.X MN / AE,MN ±PD.又 PD n CD = D,MN，平面 PCD.点评：线面垂直是空间垂直关系的核心，是线线垂直，面面垂直，线面、面面平行相互转化的桥梁.巩 固 如图，已知直线a± %直线b± 3,且AB1a, AB±b,平面 加3=c.求证：AB/c.证明：过点B引直线a7/ a, a与b确定的平面设为 X. a'/ a, AB±a, .-.AB±a,又 AB Lb, a'必 B, /.ABI Tb1 3, c? 3,bc.-.1 a± a, c? a,a± c.又 al

4、 a,az±c.由可彳导c_L下又AB_L %AB / c.题型二面面垂直性质的应用PBC, E为垂足.(1)求证：PAL平面ABC;例2如图，平面PABL平面 ABC,平面PACL平面 ABC, AEL平面(2)当E为4PBC的垂心时，求证:ABC是直角三角形.13证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解.(1)如图，在平面 ABC内取一点 D,作DFLAC于F.平面PAC，平面ABC,且交线为 AC,.DFL平面 PAC, PA?平面 PAC, DF XAP.作DG LAB于G.同理可证 DGLAP.DG , DF都在平面 ABC内，且 DG A DF = D , PAL平面

5、 ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H. E是4PBC的垂心， PCXBE.又已知 AE是平面 PBC的垂线，PCXAE.又 BE n AE= E, . PC±平面 ABE. PC LAB.又PA，平面 ABC,PAXAB. .AB,平面 PAC. ABXAC,即 ABC是直角三角形.点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合.改固】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD为矩形，PAL平面 ABCD ,点E在线段PC上，PC,平面 BDE.证明：BDL平面PAC;(2)若PA= 1 , AD = 2,求二面角 BPCA的正切值.

6、证明：. PA，平面 ABCD,RAXBD. PC，平面 BDE, PCXBD.又PAn PC=P, BD?平面 PAD. BD，平面 PAC.(2)设AC与BD交于点O,连接OE, PCX 平面 BDE, PCXOE.又. BO,平面 PAC,PCXBO. .PC,平面 BOE.1. PCX BE.丁./ BEO为二面角 BPCA的平面角. . BD,平面 PAC,BDXAC,四边形ABCD为正方形，BO=72.在APAC 中，OE-= PA? OB = 1? OE= ，OC AC 2 33 .tan/ BEO = OO,= 3. 二面角BPCA的平面角的正切值为 3.题型三综合应用DAB

7、= 60°例3 如右图所示，在四棱锥 PABCD中，底面ABCD且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ,(1)求证：ADXPB;(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F,使平面DEF，平面ABCD ,并证明你的结论.(1)证明：设G为AD的中点，连接PG,. PAD 为正三角形，PGXAD.在菱形 ABCD中，Z DAB =60°, G为AD的中点， BGXAD.又 BGAPG=G,，AD，平面 PGB.,. PB?平面 PGB, ADXPB.(2)解析：当F为PC的中点时，满足平面 DEF ±平面 ABCD.取PC的中点F,

8、连接DE, EF, DF,在 4PBC 中，FE/PB.在菱形 ABCD 中，GB / DE ,而 FE ?平面 DEF , DE?平面 DEF , EF n DE = E.PB?平面 PGB, GB?平面 PGB, PBAGB=B, 平面 DEF /平面PGB.由(1)得PGL平面 ABCD,而PG?平面PGB, 平面PGBL平面 ABCD, 平面DEFL平面ABCD.点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点， 如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件.对 于一些较复杂的

9、问题，注意应用转化思想解决问题.巩 固】 如图，在三棱锥 PABC中，FAB是等边三角形，ZFAC = Z PBC= 90°.(1)证明：ABXPC;（2）若PC=4,且平面 PAC，平面PBC,求三棱锥 PABC的体积.证明：（1）因为4PAB是等边三角形，所以 PB=FA,因为 /FAC=/ PBC=90°,PC= PC,所以 RtAPBCRtAPAC,所以AC=BC.如图，取AB中点D,连接PD, CD,则 PDXAB, CDXAB,又因为 PD n CD = D ,所以 AB,平面 PDC ,所以 ABXPC.(2)解析：作BEPC,垂足为E,连接AE.因为 RtA

10、PBCRtAPAC,所以 AEXPC, AE= BE.由已知，平面 PAC，平面PBC,故/AEB=90°.因为/AEB=90°, Z PEB = 90°, AE = BE, AB = PB,所以RtAAEBRtABEP,所以AEB, APEB, CEB都是等腰直角三角形.由已知 PC=4,得AE=BE=2, 4AEB的面积S= 2.因为PC,平面AEB,所以三棱锥PABC的体积V= 1 S PC = 8. 33综合题库A组1 .若直线a,直线b,且a,平面“，则有（）A. b/ aB. b? aC. b± aD. b/ a 或 b? a2 .两个平面互

11、相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面（）A .垂直B.平行C.平行或相交D.平行或相交或直线在另一个平面内3 .若直线1，平面a,直线m?平面3,有下列四个命题：“/仅 Um 也仅1 / m 1 / m? 3 吐m? a/ 3其中正确的命题的序号是（）A. B. C. D.4.如图,?ADEF的边AF垂直于平面ABCD, AF = 2, CD = 3,则 CE =B组1 .若直线a与平面a不垂直，那么在平面 a内与直线a垂直的直线（）A .只有一条B .有无数条C.是平面a内的所有直线D.不存在2 .如图，PAL平面ABCD,且四边形 ABCD为矩形，下列结论中不正确的是 （）A. PBX

12、BCB. PDXCDC. POXBDD. PAXBD3 .圆。的半径为4, PO垂直圆O所在的平面，且 PO=3,那么点P到圆上各点的距离是 4 .平面平面3,直线all %则a与3的位置关系为 5 .设a, b, c表不二条直线，a, 3表布两个平面，下列命题中不正确的是（）a_L aA. ? a1 3 a/ 3a_L aB. b； ? a±ba_L 3b / cC. b? a ? c / aC? aa / aD. b, ? b± a1 .关于直线m, n与平面a, 3,有以下四个命题： m/ a,若 m H a, n II 3 且 all 3,则 m” n 若 m

13、77; a, n± 3 且 a± &则 m± n m，a, n II 3 且 all 3,则 m± nn± 3且 a± 3,贝U m “ n其中真命题的序号是（）A.B.C.D.2 .已知， ABC所在平面外一点 V VB，平面 ABC,平面 VAB，平面 VAC.求证：AC ± BA.3 .如下图（左）所示，在边长为1的等边三角形 ABC中，D, E分别是AB, AC边上的点，AD = AE, F是BC的中2点，AF与DE交于点G,将4ABF沿AF折起，得到如下图（右）所小的二棱锥 ABCF,其中BC = 2.证明

14、：DE/平面BCF;解析：在等边三角形ABC中,AD=AE,AD=斐，在折叠后的三棱锥DB ECABCF中也成立,DE / BC.又.皮?平面BCF, BC?平面DE / 平面 BCF.（2）证明CFL平面ABF.解析：在等边三角形ABC中,F是BC的中点，所以 AFXBC,即AF ± CF ,且 bf =CF=12.在三黏淮ABCF中，BC = ¥，BC2=BF2+CF2.CF，BF .，BFnAF = F,，CF，平面 ABF.3 一当AD = 2时，求二棱锥 FDEG的体积Vf deg.解析：由(1)可知，GE/CF,结合(2)可得GEL平面DFG.VFDEG=VEDFG=3X2XDGXFGXGE=3X2X3X 整当 x/骑归纳总结1 . (1)直线与平面垂直的性质：定义：若a± % b? %则a±b;性质定理：a