函数与方程思想总结(很好很全面)

1、学习资料收集于网络，仅供参考函数与方程思想函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通 过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1 .函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数 关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。2 .方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者 构造方

2、程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。 方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3 .函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y = f(x),当y=0时，就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式 y = f(x)看做二元方程y f(x) = 0。(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y = f(x),当y>0时，就转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x) =

3、 (1+x)An (nC N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和 比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。【例1】.关于x的方程(x21)2|x2 1| + k=0,给出下列四个命题：存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根；存在实数k,使得方程恰有8个不同白实根.其中真命题是

4、解答：根据题意可令I x21 |=t(t R0)则方程化为t2t+k=0, (*)作出函数t= I x2- 1 |的图象，结合函数的图象可知当t=0或t>1时，原方程有两上不等的根，当0Vt1时，原方程有4个根，当t=1时，原方程有3个根.(1)当k = 2时，方程(*)有一个正根t=2,相应的原方程的解有 2个；11(2)当k = 4时，方程(*)有两个相等正根t=2,相应的原方程的解有4个；(3)当k=0时，此时方程(*)有两个不等根t=0或t= 1,故此时原方程有 5个根；1 .(4)当0vk<4时，万程(*)有两个不等正根，且此时万程(*)有两正根且均小于 1,故相应的满足

5、方程|x2 1| = t的解有8个答案：12341【例2】若不等式x2+ax + 1词对于一切xC ( 0 , 2成立，则a的最小值为 1155解答：1 .分离变重,有 a>- (x + x), xC(O, 2恒成立.右胡的取大值为一万，aA万.12 .看成关于a的不等式，由f(0)芸0且f(2) >0可求得a的范围.3 .设f(x)=x2+ax + 1 ,结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论4 . f(x)=x2+1, g(x)=ax,则结合图形(象)知原问题等价于f(2) >g1(),即an 5.【例3】设f(x) , g(x)分别是定义在R上的奇函数和

6、偶函数，当x v 0时，f ' (x) g(xx) g' (x)> 0 ,且g(- 3)=0,则不等式f(x)g(x) v 0的解集为解析：以函数为中心，考查通性通法，设F (x) = f(x)g(x),由f(x) , g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，所以 F( x) = f(-x)g( -x) = - f(x)g(x) = F(x),即F(x)为奇函数.又当x<0时，F'(冷 f ' (x)g(x)r f(x)g ' (x0,所以 x<0 时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以 x>0时，F(

7、x)也为增函数.因为 F(-3) = f(-3)g(-3) = 0=- F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x) < 0的解集是(8, 3 )U (0 , 3 )【例4】 已知实数a,b分别满足a3 -3a2+5a = 1,b3 -3b2+5b = 5 ,则 a +b =解答：已知的等式都是三次方程，直接通过方程解出a,b有 一定的困难，但是，题设的两个等式的左边的结构相同，使我们想到用 统一的式子来表示这两个等式，对题设的两个等式变形为3 一一3 一一a -12 a-1 =-2, b-12 b -1 =2,根据这两个等式的特征 构造函数f(x)=x3+2x. 函数f

8、 (x )是一个奇函数，又是R上的增函数，则有f a-1 = 2, f b-1 =2,于是，f (a-1 )=-f (b -1 )= f (1 -b ),因而得 a1=1b.a + b = 2.【例5】 若圆x2 +y2 -4x-4y 10 =0上至少有三个不同的点到直线l : ax+by =0的距离为2后,则直线l的倾斜角的取值范围是 解答： 圆x2 +y2 4x4y10 = 0整理为(x2)2+(y-2)2=(3蜴2,圆心坐标为(2, 2),半径为 30要求圆上至少有三个不同的点到直线l : ax + by = 0的距离为242 ,则圆心到 直线l : ax + by = 0的距离应小于等

9、于2 ,2湍|=(aHa)2 33 < 仔2 + V3, k = ,2 V3 W k W 2 + V3 ,直约的倾斜角的取值范围是看胡【例6】如果实数x,y满足等式(x-2 f + y2 =3,那么上的最大值为心，以点相切的x解答：根据已知等式，画出以(2,0 )为圆而为半径的圆，则丫的几何意义是圆上一x(x, y )与原点(0,0 )所连直线的斜率.显然，：的最大值是过原点(0,0)与圆 直线OA的斜率，由OC =2,CA=逐可得/AOC =工.3于是，y的最大值是tan三一3【例7】设是方程x2+x-' =0的两个不等实根，那么过点和tarr sin18(3/)的直线与圆t

10、+y =1的位置关系是fa2 sin 8+cos 8 1 -1 = 0解答：由题意，仅sin+cos3 i>-l = 0 ,因此以。,。)和我32)都在直线,0.Sin3+0. cos0-l、a =,- = 1jmiS+cosP1-1 = 0上，：原点到该直线的距离Jsi/s+ds ，:过AB的直线与单位圆相切. 1lg I x Ill. x ¥ 1【例8】设定义域 为R的函数f(x) = J " I ", ，则关于x的方程00，x = 1f2(x)十bf(x) + c=0有7个不同实数解的充要条件是 解答：画出函数f(x)的图像该图像关于对称，且f x 一

11、0，令 f x =t,若f 2(x)+bf (x)+c = 0有7个不同实数解,则方程t2+bt +c =0有2个不同实数解，且为一正根, 、 J 一零根.因此,充要条件是b<0且c=0y :；3、【例 9】.设函数f(x) = x2 1 ， 对任息 xC (- ,-Hc)，2一 x2一f(一)4m f (x) W f (x-1)+4f(m)恒成立，则实数 m的取值范围是 .m【答案】I-OO,喙u降+OO ) 2.2 '解析：(解法 1)不等式化为 f(x 1)+4f(m) f 蜉 1；+ 4m2f(x) > 0,即(x 1)2 1 + 4m2 4 4+1 + 4m2x2

12、 4m2 >0, m整理得 l1-m17+4m2 ,x2-2x-3>0, 2 c /12 2x+ 32x+ 3-3 ,)J, +8 ；疸成立的问题.因为 x >0,所以 1m7 + 4mx-,设 g(x) =x, x J, +°° i.于是题目化为1- m1? + 4m2>g(x),对任意xC1 一 2u = x,贝U 0V u<-.因而在 u= 2处取得最大值.38,为此需求g(x) = 2x>，x j, +00和最大值.设 函数g(x) = h(u) = 3u2 + 2u在区间?，3上上是增函数,h(2 > 3X 4+卜=8,所

13、以 1-工+ 4m2>g(x)maX 3933m整理得 12m45m2 3>0, IP (4m2-3)(3m2+ 1)>0,所以4m23>0,解得mW 乎或m>3,因此实数m的取值范围是 mC 口8, 乎1u g3, +oo ；.(解法2)(前面同解法1)原题化为1*+ 4m2>g(x),对任意xC 3, +°0恒成立的问为此需求g(x) = 2x4A xC尚，+8 ”的最大值. x/设 t=2x + 3,则 tC6, +8). g(x)=h(t)=4t=9 = t+.6学习资料因为函数t+：在(3, +8)上是增函数，所以当 t = 6时，t+9

14、取得最小值6 + |,从而h有最大值 一3-=3.所以1 专+4m2>gmax(x) = 8，整理得 12m4-5m2-3>0, 6+2-6m即(4m23)(3m2+ 1)>0,所以 4m2一3>0,解得 mW一或 m>2,因此实数m的取值范围是 mC joo,一乎 L 乎，+oo .(解法 3)不等式化为 f(x-1)+ 4f(m) f jx /+ 4m2f(x)”即整理得l -m+ 4m2 x2-2x- 3>0,令2(x - 1)2- 1 + 4m2 4 m2+ 1 + 4m2x2 4m2 > 0,F(x) = , - m2+ 4m2 K2- 2x

15、- 3.由于F(0) = - 3<0,则其判别式 A>0,因此F(x)的最小值不可能在函数图象的顶点得 到，所以为使F(x) > 0对任意x J, +oo，亘成立，必须使F | 加最小值，12 c114m 2 即实数m应满足解得m2>3,因此实数m的取值范围是me 一当 lu 坐,+OO |'【例10.某工厂2005年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正 在改造建设，一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同， 到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相 同，问全年总利润W与全年总投入资金N

16、的大小关系是解答：设第一个月的投入资金与一月份的利润均为a,每月的增加投入百分率为则每月的利润组成数列 /=融（1 < M<12泮£,每月投入资金组成数列4 jQ + r）”12泮eM）,如图，由两函数图象特点可知，有%=4小二包可见%>，孙&1,故W>N1. （2011北京）已知函数f（x） =-,x-2 x Jx-1)3,x<若关于x的方程2f （x） = k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是2.（2011广东）等差数列an前9项的和等于前 4项的和.若a1=1, 4+34=0,则k =3.（2009福建）若曲线f（x）=ax3+lnx存

17、在垂直于y轴的切线，则实数 a的取值范围是4.(2010天津)设函数f(x)=x 1，对任意xC1, +8)f(mx) + mf(x)<0恒成立，则实 x数m的取值范围是.解答：1. (0,1)解析：f(x) =2(x>2)单调递减且值域为(0,1, f(x) =(x1)3(xv2)单调递增且值域为(一8, 1),结合函数的图象可得 f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(0,1).一 C .9X8,4X3,16 - 1 + 3X -6(= 0,得 k= 10.2.10 解析：S9=S4,9a1+ 2 d=4a1 + 2-d, a1=1, d= g;由 1 + (k 1

18、)本题也可用数列性质解题，S9=S4 27=0.3. ( 8 0)解析：由题意可知fz (x) = 3ax2 + -,又因为存在垂直于 y轴的切线，所 x以 3ax2 + = Q x叱(一8, 0).4. (00, 1)解析：因为对任意 xC 1 , +°° ), f(mx) + mf(x) = 2mx 七m< 0 恒 11 ix x成立，显然mw 0.所以当mv 0时，有2m2x21 m2>0对任意xC 1,)恒成立，即2m2x 1 -1 - m2> 0,解得 m2>1,即 mv1;当 m>0时，有 2m2x21 m2v 0 对任意 xC1,

19、 十 °°)恒成立，m无解，综上所述实数 m的取值范围是 mv 1.解答题题型一构造函数与方程思想【例1】已知函数f(x) = x|x2 3|, x 0, m,其中mCR,且m>0(1)若m<1 ,求证：函数f(x)是增函数；(2)如果函数f(x)的值域是0,2,试求m的取值范围； 如果函数f(x)的值域是0,入m2,试求实数 入的最小值.解答：(1)证明：当 m<1 时，f(x) = x(3 - x2) = 3x - x3,因为 f' (x) = 33x2= 3(1x2)>0,所以 f(x)是增函数,(2)解：令 g(x) = x|x2-3

20、|, x>0,(3x-x3, 0WxW®则 g(x) = 1 3厂g' (x) = 33x2,由 g' (x)=0 得 x=1,1vx 3x, x> 43.当 0WxwM3时，所以g(x)在0,1上是增函数，在1,寸3上是减函数.当x>43时，g' (x) = 3x23>0,所以g(x)在不，+8)上是增函数，所以 XC0, W时，g(Mmax= g(1) = 2, g(x)min=g(0)=g(V3)=。，所以0<m<1不符合题意，1wmw43符合题意.当 m时，在 xC 0, W时，f(x)C 0,2,在 xC 4 m时

21、,f(x) C 0, f(m),这时f(x)的值域是0,2的充要条件是f(m) w 2, 即 m33mW2, (m 2)(m + 1)2< 0,解得 3<mW2.综上，m的取值范围是1,2.3(3)由(2)可知，0Vm<1时，函数f(x)的最大值为f(m)=3mm , 当1WmW2时，函数f(x)的最大值为f(1) = 2.由题意知2=入m2,即入=m2, m C 1,2时这是减函数，入C 2, 2 I.当m>2时，函数f(x)的最大值为f(m)=m33m,由题意知 m3 3m=入m2,即入=m m3,这是增函数，入C & +°° j综上，当

22、m=2时，实数 入取最小值为2.变式训I练已知函数g(x) = xlnx,设0v av b,求证：0 V g(a) + g(b) 2g Ja-yb 卜(b a)ln2.点拨：确定变量，构造函数证明不等式.证明:g(x) =xlnx , g ' (x) = lnx + 1.构造函数F(x) = g(a) + g(x) 2g则 F' (x) = g' (x) 2 g xj' = lnx - lnay当0vxva时，F' (x)<0,在此F(x)在(0, a)内为减函数; 当x>a时，F' (x) >0,因此F(x)在(a, +8)上

23、为增函数. 从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a).因为 F(a) = 0, b>a,所以 F(b)>0,即 0Vg(a) + g(b) 2g再构造函数 G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则 G' (x) = lnx lna2x ln2 = lnx ln(a + x).当x>0时，G' (x)<0.因此G(x)在(0, +8)上为减函数.因为 G(a)=0, b>a,所以 G(b)<0,即 g(a) + g(b) 2ga b-2-产(b-a)ln2.综上得 0Vg(a)+g(b) 2ga+ b ；-2-尸(b-a)ln2.【例2】已知

24、二次函数y= g(x)的导函数的图象与直线 y=2x平行，且y = g(x)在x=1处取得最小值 m 1(m w 0).设函数f(x)=差.(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为 取,求m的值(2) k(k R)如何取值时，函数 y=f(x) kx存在零点，并求出零点.解：设 g(x) = ax2 + bx+ c,则 g' (x) = 2ax+ b；又g' (x)的图象与直线 y = 2x平行，2a= 2, a= 1.(1分)b又 g(x)在 x = 1 取极小彳K, 一 2= 1, b= 2,g(1)=ab+c= 12+c= m 1, c=m; (2

25、 分)f(x)=gx-L x+£+2,设 P(xo, y。)，则 |PQ2=x0+(yo2)2=x0+ l'xo+ m)= 2x2+ mr+ 2m > 2-J2m2+ 2m, (4 分) xoxo2当且仅当2xo2=m7时，|PQ|2取最小值，即|PQ限最小值 小.当 m>0 时，2/m +2m=2,. m = >/21(6 分)当 m<0 时，一2m +2m=2, . m=嫡一1(7 分)(2)由 y = f(x) kx = (1 k)x + m+ 2=0, x得(1 k)x2+2x+m=0. (*)当k = 1时，方程(*)有一解x = m1,函数

26、y= f(x) kx有一零点x= m2； (8分)当kw1时，方程（*）有二解函数y= f(x) kx有两个零点1右 m<0 , k<1 ,函数 m1 ±1 m(1 k ) 八中廿:，(12分)k 11A = 4 4m(1 k)>0 ,右 m>0 , k>1 , mx_-24-4m(jHE)_ 辿-mg_)x2(1-k) k-1，(10 勿)一，一-2ij4-4m(1-k y = f(x) kx 有两个手点，x = *'=2 1-k当 kw1 时，方程(*)有一解 A = 4-4m(1 -k)=0, k=1-jm,函数 y = f(x) kx 有

27、一个零点,x= J J14 分) k I【例3】,对于定义域为D的函数二/W ,若同时满足下列条件:f（x）在D内单调递增或单调递减；存在区间可匚口使在口上的值域为a力;那么把j=/Qc"）叫 闭函数.（1）求闭函数二一符合条件的区间a/；31/二 _ 工 十 口 e R+)(2)判断函数4 工是否为闭函数？并说明理由；(3)若)二七+历工是闭函数，求实数k的范围.分析：这是一个新定义型的题目， 要能从题中所给信息，进行加工提炼，得出解题的条件.解：-白3 匕T士 什T(1)由题意，户一广在a同上递减,则ib>a解得所以，所求的区间为1,1.工0时，f&)=+祗，工二，

28、小皿皿二出(2)当所以，函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数.(3)若丁 二七+4正是闭函数，贝U存在区间 a b,在区间a, b上，函数f(x)a = k+a + 2< 的值域为a, b,即屈5,为方程才二七+"7豆的两个实数根，即方程/ 一(2在+l)x+户- 2=0(才3-2"上)有两个不等的实根,设f(x)=x2 (2k + 1)x + k2 2.8>0,/W>0L2 左+1 -此A>0,2上+1。90:当尢<一2时有>_2a -2 J 12 解得4 .当k >一2有时不等式组无解.综上所述，“1&quo

29、t;法二：只需满足方程x2-（2k+1）x+k2- 2=0有两大于或等于k的不等实根，即:/伏）0,等上三（-2.2比十1,点评：在解数学题的过程中，寻找一个命题 A的等价命题B往往是解题的关键，本题 就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题.题型二函数与方程思想在不等式中的应用【例4】.设a>b>c,且a+ b+c=0,抛物线J=+为工被x轴截得的弦长为1,求证：也<1 <2也.证明：a>b>c,且叶&+"。二。4<0.从而 A = 4"-4配0.2故抛物线）二gi +26i+c与x轴有两

30、个不同的交点，即方程幻？+ 2"+c = 0必有2b cr y+演二，兀论二一两个不相等的实数根八1四,由韦达定理得胃 鼻.尸=（再一y=（为+4），-4再再=与=但口，= 4(1 + £)2-£ = 4(，孑+3 a a a a a Z可见，?是4的二次函数.由&乂 及4+b+c = 0,得a 3 ,解得7/2 = 4(- + l)3 + 3 (-2- 3a 2,白2 在 2上是减函数，.V+3d <4(-2+：y + 3,即 30 12小0,:枢<j <2后.题型三 函数与方程思想在三角函数中的应用【例 5】,已知函数 f(x)=x

31、2 (m+1)x+ m(m C R).(1)若tanA, tanB是方程f(x) + 4=0的两个实根，A、B是锐角三角形 ABC的两个 内角.求证：m>5；(2)对任意实数 %恒有f(2+cosa)q0证明m>3；(3)在(2)的条件下，若函数f(sin的最大值是8,求m.(1)证明：f(x) + 4=0 即 x2 (m + 1)x + m+4=0.依题意：A = (w + 1)2-4(+4)>0，tan 工+tanB =所+1 > 0代JanAtang=%+ 4 >0 又A、B锐角为三角形内两内角，：2VA+Bv it., A m tanX+tan5掰+1Atan(月 + S =< 0.tan(A + B)<0,即l-tantan B 一幽一 3加一 2掰-150w+1 > 0:w+4 > 0-0：一吟3：. n>5.(2)证明：/f