同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(2)

1、.习题9-1 1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为m =m(x, y)的电荷, 且m(x, y)在D上连续, 试用二重积分表达该板上全部电荷Q. 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分. 2. 设, 其中D1=(x, y)|-1x1, -2y2; 又, 其中D2=(x, y)|0x1, 0y2. 试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系. 解 I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=1, y=2以及z=0围成的立体V的体积. I2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y

2、=2以及z=0围成的立体V1的体积. 显然立体V关于yOz面、xOz面对称, 因此V 1是V位于第一卦限中的部分, 故V=4V1, 即I1=4I2. 3. 利用二重积分的定义证明: (1) (其中s为D的面积); 证明 由二重积分的定义可知, 其中Dsi表示第i个小闭区域的面积. 此处f(x, y)=1, 因而f(x, h)=1, 所以, . (2) (其中k为常数); 证明 . (3), 其中D=D1D2, D1、D2为两个无公共内点的闭区域. 证明 将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域和, n1+n2=n, 作和 . 令各和的直径中最大值分别为l1和l2, 又l=max(l1l2)

3、, 则有 , 即 . 4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小: (1)与, 其中积分区域D是由x轴, y轴与直线x+y=1所围成; 解 区域D为: D=(x, y)|0x, 0y, x+y1, 因此当(x, y)D时, 有(x+y)3(x+y)2, 从而. (2)与, 其中积分区域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围成; 解 区域D如图所示, 由于D位于直线x+y=1的上方, 所以当(x, y)D时, x+y1, 从而(x+y)3(x+y)2, 因而. (3)与, 其中D是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0); 解 区域D如图所示, 显然当(

4、x, y)D时, 1x+y2, 从而0ln(x+y)1, 故有 ln(x+y)2 ln(x+y), 因而 . (4)与, 其中D=(x, y)|3x5. 0y1. 解 区域D如图所示, 显然D位于直线x+y=e的上方, 故当(x, y)D时, x+ye, 从而 ln(x+y)1, 因而 ln(x+y)2ln(x+y),故 . 5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值: (1), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; 解 因为在区域D上0x1, 0y1, 所以 0xy1, 0x+y2, 进一步可得 0xy(x+y)2, 于是 , 即 . (2), 其中D=(x, y)| 0xp, 0yp; 解 因为0sin2x1, 0sin2y1, 所以0sin2xsin2y1. 于是 , 即 . (3), 其中D=(x, y)| 0x1, 0y2; 解 因为在区域D上, 0x1, 0y2, 所以1x+y+14, 于是 , 即 . (4), 其中D=(x