第7讲-题课1模n剩余类加群课件

1、 2022-3-23 18:32：我们知道整数集合Z对于加法+而言作成整数加群；所有模n剩余类构成的集合是整数集合的一个分类（对应的是整数集合上的同余关系），我们的目的是规定由所有模n剩余类构成的分类上的一个代数运算，使其为一个群。 2022-3-23 18:32所有模n剩余类构成集合记作nZ1, 1 , 0| nrrZn, 2, 1, 0|qrqmr即其中规定代数运算nnnZZZ),(baba因为定义是用剩余类代表规定的象，而一个类中的代表很多，需要证明该对应与代表的选取无关。 2022-3-23 18:32,)(mod cnqcqncccccc设 ,bbaa则 bababnqbanqaqq

2、2121,baqqnba)(21称此运算为模n剩余类加法，记 babanZ模n剩余类加法模n剩余类集合 2022-3-23 18:32nZ对于模n剩余类加法模n剩余类集合构成一个群。证明（定义法） 非空；封闭。结合律)()(cbacbacba)()(cbacbacba左单位元000aaaa的左逆元-a0aaaa 2022-3-23 18:32nZ对于模n剩余类加法模n剩余类集合构成一个群。证明（同态法）整数集合Z对于加法+构成整数加群。建立映射：nZZ :aa )()()(babababa是同态满射。所以是群。 2022-3-23 18:32例2：求模12剩余类加群中每一个元的逆元和阶。11,

3、10,9,8,7,6,5,4,3,2,112Z1单位元，阶为1，逆元是其本身1。2 逆元是 10，阶为6；3 逆元是 9，阶为4；4 逆元是 8，阶为3；5 逆元是 7，阶为12；6 逆元是其本身 6，阶为2。 2022-3-23 18:32例3：设S=1,2,3,4。规定SS上的一个二元关系R：cbdadcRba),(),(则R是一个等价关系。试给出其确定的分类。分析：(a,b)和(c,d)有关系当且仅当a-b=c-d当且仅当差是相同的。从而确定7个类。 2022-3-23 18:32差为0 0 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) 差为1 1 (2,1), (3,2), (

4、4,3) 差为2 2 (3,1), (4,2) 差为3 3 (4,1) 差为-1 -1 (1,2), (2, 3), (3, 4) 差为-2 -2 (1,3), (2,4) 差为-3 -3 (1,4) 2022-3-23 18:32011,(1)(0)(1)mnm, 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1 , 0NN(,),)NN 与与( (设设试证明试证明不同构不同构. .NN(0), (1),nNm 证明：（反证法）如果证明：（反证法）如果设设0n0不在不在N中，矛盾。中，矛盾。(, ), )NN 与与( (不同构不同构. . 2022-3-23 18:321：求模：求模24剩余类加群中

5、每一个元的逆元和剩余类加群中每一个元的逆元和阶。阶。课堂练习2：设：设G是全体是全体n阶可逆方阵集合，设阶可逆方阵集合，设N是一个是一个可逆可逆n阶方阵。设阶方阵。设G上带有如下代数运算上带有如下代数运算 ：任取方阵任取方阵A ，B。令。令ANBBA 试用定义法和同态法证明试用定义法和同态法证明G对于上述运算构成对于上述运算构成群。群。 2022-3-23 18:323：在非零复数集合：在非零复数集合C*中规定下面两个关系。中规定下面两个关系。的模相同babaR,1的幅角相同babaR,2试证明试证明R1，R2是等价关系，分别给出相应是等价关系，分别给出相应的分类，并且给出一个全体代表团。的分类，并且给出一个全体代表团。0,1,2,3,1,2,3,NN , , NN 与与4：设设那么，那么，不可能同构。不可能同构。 2022-3-23 18:32精品课件精品课件！ 2022-3-23 18:32精品课件精品课件！ 2022-3-23 18:325：试分别列举满足下面条件的关系。：试分别列举满足下面条件的关系。 (1)：满足对称律推移律，不满足反射律；：满足对称