2015-2016届辽宁省锦州中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年辽宁省锦州中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1（5分）设P=x|x4，Q=x|x24，则（）APQBQPCPCRQDQCRP2（5分）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件3（5分）P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，若F1PF2=30°，则F1PF2的面积等于（）ABCD164（5分）设函数f（x）=|x+1|+|xa|的图象关于直线x=1对称，则a的值为

2、（）A3B2C1D15（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yR），f（1）=2，则f（2）等于（）A2B3C6D96（5分）若函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，则常数c的值为（）A6B2C2或6D7（5分）设a=log23，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCabcDcba8（5分）函数y=1|xx2|的图象大致是（）ABCD9（5分）圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y8=0的最大距离与最小距离的差是（）A18BCD10（5分）椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点

3、的直线的斜率为，则的值为（）ABCD11（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3CD612（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）若直线m被两平行线l1：xy+1=0与l2：xy+3=0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角为14（5分）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为15（5分）直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，则a的取值范围是16（5分）设函数f（x）=ax，曲线y=f（x）在点

4、（2，f（2）处的切线方程为7x4y12=0则曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）已知圆C与圆x2+y22x=0相外切，并且与直线x+y=0相切于点Q（3，），求圆C的方程18（12分）设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn19（12分）设a，b，都是正数，函数f（x）=asinx+bcosx的周期为，且有最大值（）求函数f（x）的解析式；（）若是f（x

5、）的一个单调区间，求m的最大值20（12分）为了了解学生的数学复习情况，某校从第四次模拟考试成绩中抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右小矩形面积之比为2：5：10：5：3，最左边一组的频数为4，请结合直方图解决下列问题（）求中位数；（）列出频率分布表；（）从样本中成绩在120，140）内的学生中任取2个学生，若成绩在120，130）内奖给1个小红旗；若成绩在130，140）内奖给2个小红旗设X表示2个学生所得红旗总数，求X的分布列和E（X）21（12分）曲线C的方程为 （ab0），曲线经过点，曲线的离心率为（I）求曲线C的方程；（）点P是直线y=4上任意一点但不在y轴

6、上，A1，A2是椭圆的上下两个顶点，直线PA1，PA2交椭圆分别为C和D，那么直线CD是否经过定点？如果经过定点，请求出定点坐标22（12分）已知函数f（x）=x2alnx在1，2上是增函数，g（x）=xa在（0，1上是减函数（）求f（x）、g（x）的表达式；（）当b1时，若f（x）2bx在x（0，1内恒成立，求b的取值的范围2015-2016学年辽宁省锦州中学高三（上）10月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确）1（5分）（2010浙江）设P=x|x4，Q=x|x24，则（）APQBQPCPCRQDQCRP【分析】此题只

7、要求出x24的解集x|2x2，画数轴即可求出【解答】解：P=x|x4，Q=x|x24=x|2x2，如图所示，可知QP，故B正确【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题2（5分）（2005北京）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的（）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件【分析】判断充分性只要将“m=”代入各直线方程，看是否满足（m+2）（m2）+3m（m+2）=0，判断必要性看（m+2）（m2）+3m（m+2）=0的根是否只有【解答】解：当m=时，直线（m+

8、2）x+3my+1=0的斜率是，直线（m2）x+（m+2）y3=0的斜率是，满足k1k2=1，“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”的充分条件，而当（m+2）（m2）+3m（m+2）=0得：m=或m=2“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m2）x+（m+2）y3=0相互垂直”充分而不必要条件故选：B【点评】本题是通过常用逻辑用语考查两直线垂直的判定3（5分）（2015秋锦州校级月考）P是椭圆上的一点，F1和F2是焦点，若F1PF2=30°，则F1PF2的面积等于（）ABCD16【分析】由题意方程求出a，c的值，在PF

9、1F2中，由余弦定理求得PF1PF2的值，代入三角形面积公式得答案【解答】解：如图，由椭圆，得a2=5，b2=4，则c2=a2b2=1，在PF1F2中，由余弦定理得：，即，则，得F1PF2的面积S=故选：C【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形面积的求法，是中档题4（5分）（2008山东）设函数f（x）=|x+1|+|xa|的图象关于直线x=1对称，则a的值为（）A3B2C1D1【分析】函数f（x）=|xa|+|xb|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线x=，可利用这个性质快速解决问题【解答】解：|x+1|、|xa|在数轴上表示点x到点1、a的距离，他们的和f（x）=|x+1|+|xa

10、|关于x=1对称，因此点1、a关于x=1对称，所以a=3故选A【点评】中学常见的绝对值函数一般都具有对称性：函数f（x）=|xa|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线x=a，函数f（x）=|xa|+|xb|的图象为轴对称图形，其对称轴是直线x=，函数f（x）=|xa|xb|的图象为中心对称图形，其对称中心是点（，0）5（5分）（2010泰安一模）定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yR），f（1）=2，则f（2）等于（）A2B3C6D9【分析】由于f（1）=2，f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yR），可考虑对变量赋值，令x=y=1，可求得f（2

11、），再令x=2，y=1，可求得f（1），从而可求得f（2）【解答】解：f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，yR），f（1）=2，令x=y=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2=6，再令x=2，y=1，得f（21）=f（2）+f（1）4=2，f（1）=0，f（2）=f（1）+f（1）+2=2故选A【点评】本题考查抽象函数及其应用，对于抽象函数的应用，突出赋值法的考查，利用函数关系式灵活赋值是关键，属于基础题6（5分）（2015秋锦州校级月考）若函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，则常数c的值为（）A6B2C2或6D【分析】由题意求导并令导数为0，即（2c）2+

12、4（2c）=0，从而解出c，再检验即可【解答】解：f（x）=（xc）2+2x（xc），函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，（2c）2+4（2c）=0，解得c=2或c=6；经检验，c=6，故选A【点评】本题考查了导数的应用，属于中档题7（5分）（2015秋锦州校级月考）设a=log23，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）AbacBcabCabcDcba【分析】利用对数函数的单调性求解【解答】解：a=log23=b，=log34=c，a，b，c的大小关系为cba故选：D【点评】本题主要考查了对数的大小判断，常常利用与1进行比较，属于基础题8（5分）（2014秋凌河区校级期中）函

13、数y=1|xx2|的图象大致是（）ABCD【分析】通过对xx20与xx20的讨论，将y=1|xx2|中的绝对值符号去掉，转化为分段的二次函数，通过数形结合即可获得答案【解答】解：y=1|xx2|=，当0x1，y=x2x+1，其开口向上，对称轴为x=，从而可排除A，B；同理，当x0或x1时，y=x2+x+1，其开口向下，对称轴为x=，从而可排除D，故选C【点评】本题考查带绝对值的函数，考查二次函数的图象与性质，通过对xx20与xx20的讨论去掉绝对值符号是关键，也是难点，属于中档题9（5分）（2015秋锦州校级月考）圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y8=0的最大距离与最小距离的差是（

14、）A18BCD【分析】圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，dr，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案【解答】解：圆x2+y24x4y10=0，（x2）2+（y2）2=18，圆半径r=3圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，dr，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，明确圆上的点到直线的最大距离和最小距离的计算方法是解题的关键10（5分）（2015兴国县一模）椭圆ax2+by

15、2=1与直线y=1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）ABCD【分析】联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1x）2=1，（a+b）x22bx+b1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k=【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1x）2=1，（a+b）x22bx+b1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=1x1+1x2=2=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k=故选A【点评】本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11（

16、5分）（2012湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3CD6【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3故选B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力12（5分）（2010浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循

17、环，模拟执行程序即可得到答案【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为k4故答案选A【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）（2014秋泰山区校级期末）若直线m被两平行线l1：xy+1=0与l2

18、：xy+3=0所截得的线段的长为2，则直线m的倾斜角为15°或75°【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m 和两平行线的夹角为30°由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为15°或75°，故答案为：15°或75°【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，两角和差的正切公式，属于基础题14（5分）（2010全国卷）已

19、知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且，则C的离心率为【分析】由椭圆的性质求出|BF|的值，利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标，再由椭圆的第二定义求出|FD|的值，又由|BF|=2|FD|建立关于a、c的方程，解方程求出 的值【解答】解：如图，作DD1y轴于点D1，则由，得，所以，即，由椭圆的第二定义得又由|BF|=2|FD|，得，a2=3c2，解得e=，故答案为：【点评】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想，本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径15

20、（5分）（2010全国卷）直线y=1与曲线y=x2|x|+a有四个交点，则a的取值范围是（1，）【分析】在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2|x|+a的图象，观察求解【解答】解：如图，在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2|x|+a，观图可知，a的取值必须满足，解得故答案为：（1，）【点评】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法，着重考查了数形结合的数学思想16（5分）（2015秋锦州校级月考）设函数f（x）=ax，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为7x4y12=0则曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为6【分析】已知

21、曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（2，f（2）在曲线上，利用方程联立解出a，b；可以设P（x0，y0）为曲线上任一点，得到切线方程，再利用切线方程分别与直线x=0和直线y=x联立，得到交点坐标，接着利用三角形面积公式即可【解答】解：因为函数f（x）=ax，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为7x4y12=0所以f（x）|x=2=a+|x=2=，所以，解得，故f（x）=x设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y=1+知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为yy0=（1+）（xx0），令x=0，得y=，从而得切线与直线x=0的交点坐标为（0，）；令y=x，得y=

22、x=2x0，从而得切线与直线y=x的交点坐标为（2x0，2x0）；所以点P（x0，y0）处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6故曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0，y=x所围成的三角形面积为定值，此定值为6故答案为：6【点评】本题考查了导数及直线方程、三角形面积的相关知识，运算量较大，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2009天心区校级模拟）已知圆C与圆x2+y22x=0相外切，并且与直线x+y=0相切于点Q（3，），求圆C的方程【分析】设圆C的圆心为（a，b ），由圆C与圆x2+y22x=0

23、相外切，并且与直线x+y=0相切于点Q（3，），可以构造关于a，b的方程，解方程求 出a，b，r，即可得到圆C的方程【解答】解：圆C与圆x2+y22x=0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又圆C与直线x+y=0相切于点Q（3，），可得圆心与点Q（3，）的连线与直线x+y=0垂直，其斜率为设圆C的圆心为（a，b ），则，解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=4，r=6，圆C的方程为（x4）2+y2=4或x2+（y+4）2=36【点评】本题考查的知识点是圆与圆的位置关系及其判定，直线与圆的位置关系，其中由已知构造关于圆心坐标a，b的方程组是解答本题的关键18（12分）（2014濮阳二模）

24、设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（）求an、bn的通项公式；（）求数列的前n项和Sn【分析】（）设an的公差为d，bn的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得an、bn的通项公式（）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和Sn【解答】解：（）设an的公差为d，bn的公比为q，则依题意有q0且解得d=2，q=2所以an=1+（n1）d=2n1，bn=qn1=2n1（），Sn=，得Sn=1+2（+），则=【点评】本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和19（12分

25、）（2015秋锦州校级月考）设a，b，都是正数，函数f（x）=asinx+bcosx的周期为，且有最大值（）求函数f（x）的解析式；（）若是f（x）的一个单调区间，求m的最大值【分析】（）根据函数的周期求出，再由最大值列出方程组，求出a、b的值，利用两角和的正弦公式化简函数解析式；（）由正弦函数的单调区间求出f（x）的单调区间，由和分类讨论：是增区间和减区间，分别求出m的值，再求出m的最大值【解答】解：（）因为f（x）=asinx+bcosx的周期为，且0，所以，得=2，则f（x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+），由最大值得，解得a=2，b=，所以f（x）=2sin2x+cos2

26、x=4sin（2x+）；（）由得，所以函数f（x）的递增区间是，由得，所以函数f（x）的递减区间是，因为是f（x）的一个单调区间，且=，所以当是减区间时，即，m的值是=；当是增区间时，即，m的值=，所以m的最大值是【点评】本题考查了正弦函数的性质，两角和的正弦公式，以及分类讨论思想，考查化简计算能力20（12分）（2015秋锦州校级月考）为了了解学生的数学复习情况，某校从第四次模拟考试成绩中抽取一个样本，将样本分成5组，绘成频率分布直方图，图中从左到右小矩形面积之比为2：5：10：5：3，最左边一组的频数为4，请结合直方图解决下列问题（）求中位数；（）列出频率分布表；（）从样本中成绩在120，

27、140）内的学生中任取2个学生，若成绩在120，130）内奖给1个小红旗；若成绩在130，140）内奖给2个小红旗设X表示2个学生所得红旗总数，求X的分布列和E（X）【分析】（I）先分别求出从左至右各组的频率，由此能求出中位数（II）由最左边一组的频数为4，求出样本单元数n，从而求出从左至右各组频数，由此能求出频率分布表（III）由题意X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（I）由题意知从左至右各组的频率分别为，即0.08，0.2，0.4，0.2，0.12，中位数为：120+=125.5（3分）（II）最左边一组的频数为4，样本单元数n=50，

28、从左至右各组频数分别为：4，50×0.2，50×0.4，50×0.2，50×0.12，即4，10，20，10，6，频率分布表为：分 组频 数频 率100，110）40.08110，120）100.2120，130）200.4130，140）100.2140，150）60.12合 计501（6分）（III）由题意X的可能取值为2，3，4，X的分布列为：X234p（10分）（12分）【点评】本题考查中位数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组知识和频率分布直方图的合理运用21（12分）（2015秋锦州校级月考）曲线C的方程为 （ab0），曲线经过点，曲线的离心率为（I）求曲线