2015-2016年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

1、2015-2016学年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，M=1，3，5，7，N=5，6，7，则U（MN）=（）A5，7B2，4C2，4，8D1，3，5，6，72（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A2B3C4D53（5分）设命题甲为：0x5，命题乙为：|x2|3，则甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4（5分）如图是一个算法框图，则输出的k的值是（）A3B4C5D65（5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=

2、CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE的长为（）A1BCD26（5分）已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y7（5分）已知定义域为R的奇函数f（x）的导数为f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=lnf（ln2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBacbCcbaDbac8（5分）已知函数，若方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）Aa|2a0Ba|2a0Ca

3、|2a0或1a2Da|2a0或a=1二、填空题：9（5分）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为10（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=11（5分）曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是12（5分）在（x）8的二项展开式中，x2的系数是13（5分）在ABC中，BC=，AC=2，ABC的面积为4，则AB的长为14（5分）已知椭圆=1，P为x轴上一个动点，PA、PB为该椭圆的两条切线，A、B为切点，则的最小值为三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）己知函数f（x）=（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间

4、；（2）当时，求函数f（x）的最小值和最大值16（12分）某学校高一年级开设了A，B，C，D，E五门选修课为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的（）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；（）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望17（13分）如图四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上（1）求证：ABPC（2）若二面角MACD的大小为45

5、°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值18（13分）设等差数列an的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn+3=0，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Pn19（16分）如图，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆T与椭圆C交于点M与点N（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值20（14分）设函数f（

6、x）=exa（x+1）（e是自然对数的底数，e=2.71828）（1）若f'（0）=0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，g（x1），B（x2，g（x2）（x1x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a1，恒有g（x2）g（x1）m（x2x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+（2n1）n2015-2016学年天津一中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1（5分）（2009全国卷）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，M=1，3，5，7，N=5，6，7，则U（MN）=（）A5，7

7、B2，4C2，4，8D1，3，5，6，7【分析】先求集合MN，后求它的补集即可，注意全集的范围【解答】解：M=1，3，5，7，N=5，6，7，MN=1，3，5，6，7，U=1，2，3，4，5，6，7，8，U（MN）=2，4，8故选C【点评】本题考查集合运算能力，本题是比较常规的集合题，属于基础题2（5分）（2008天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A2B3C4D5【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值【解答】解：满足约束条件的可行域如图，

8、由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，zmax=5，故选D【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解3（5分）（2013宜宾一模）设命题甲为：0x5，命题乙为：|x2|3，则甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【分析】如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么 条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件【解答】解：|x2|3，1x5，显然，甲乙，但乙不能甲，故

9、甲是乙的充分不必要条件故选A【点评】本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题如果能从命题p推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么 条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件4（5分）（2014呼伦贝尔一模）如图是一个算法框图，则输出的k的值是（）A3B4C5D6【分析】算法的功能是求满足不等式k25k+40最小正整数解，通过解不等式求得输出的k值【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足不等式k25k+40最小正整数解，k25k+40k4或k1，输出k=5故选：C【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键5（5分）（2015秋天津校级月考）

10、如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE的长为（）A1BCD2【分析】利用相交弦定理可得BFAF=DFFC，解出BF；再利用切割线定理可得CE2=BEEA，解得BE【解答】解：由相交弦定理得BFAF=DFFC，DF=CF=，AF=2BF，2BF2=（）2，解得BF=1，AF=2CE与圆相切，由切割线定理可得CE2=BEEA，（）2=BE（BE+1+2），BE0，解得BE=故选：B【点评】本题考查了与圆有关的比例线段，熟练掌握相交弦定理和切割线定理是解题的关键6（5分）（2012山东）已知双曲线C1：=1（a0

11、，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y【分析】利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程【解答】解：双曲线C1：的离心率为2所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8抛物线C2的方程为x2=16y故选D【点评】本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力7（5分）（2015秋天津校级月考）已知定义域为R的奇

12、函数f（x）的导数为f（x），当x0时，f（x）+0，若a=f（），b=2f（2），c=lnf（ln2），则下列关于a，b，c的大小关系正确的是（）AabcBacbCcbaDbac【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小【解答】解：设h（x）=xf（x），h（x）=f（x）+xf（x），y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x0时，h'（x）=f（x）+xf（x）0，此时函数h（x）单调递增a=f（）=h（），b=2f（2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln2）=h（l

13、n2），又2ln2，bcabac故选：D【点评】本题主要考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目本题属于中档题8（5分）（2015杭州校级模拟）已知函数，若方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）Aa|2a0Ba|2a0Ca|2a0或1a2Da|2a0或a=1【分析】作出函数y=f（x）和y=x+a的图象利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围【解答】解：若0x2，则2x20，f（x）=2f（x2）=2（1|x2+1|）=22|x1|，0x2若2x4，则0x22，f（x）=2f（x2）=2（22|x21|）=44|x3|，2x4f（1）=2，f

14、（2）=0，f（3）=4设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，、等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间2，4内有3个不同的零点作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：当直线经过点A（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x2，当直线经过点O（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，当直线经过点B（3，4）和C（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，要使方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则a=1或2a0故选：D【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用

15、数形结合是解决此类问题的基本方法二、填空题：9（5分）（2015闸北区一模）复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为4【分析】化简复数为a+bi（a，bR），然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a的值【解答】解：=复数是纯虚数，解得：a=4故答案为：4【点评】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题10（5分）（2016杭州模拟）一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积V=【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为

16、底面的四棱锥，其底面面积S=×（1+2）×2=3，又左视图是等边三角形，高h=，故棱锥的体积V=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中分析出几何体的形状是解答的关键11（5分）（2014福建二模）曲线y=x2+1与直线x=0，x=1及x轴所围成的图形的面积是【分析】确定积分公式中x的取值范围，根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可【解答】解：由题意，S=（x2+1）dx=（）=，故答案为：【点评】本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题12（5分）（2013和平区一模）在（x）8的二

17、项展开式中，x2的系数是7【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数【解答】解：根据二项式定理，（x）8的通项为Tr+1=C8r（x）8r（）r=（）rC8r（x）82r，当82r=2时，即r=3时，可得T4=x2=7x2即x2项的系数为7，故答案为：7【点评】本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别13（5分）（2016湖南模拟）在ABC中，BC=，AC=2，ABC的面积为4，则AB的长为4或【分析】利用三角形的面积公式，求出，可得cosC=±，利用余弦定理可求AB的长【解答】解：BC=，AC=2，ABC的面积为4，4

18、=，cosC=±，AB2=16，AB=4；或AB2=32，AB=AB的长为4或故答案为：4或【点评】本题考查三角形的面积公式，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题14（5分）（2015秋天津校级月考）已知椭圆=1，P为x轴上一个动点，PA、PB为该椭圆的两条切线，A、B为切点，则的最小值为49【分析】设P（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），运用椭圆的一点处的切线斜率+2yy=0，求出直线PA，PB的方程，进而得到AB的方程为，代入椭圆方程，利用数量积公式，以及韦达定理，化简整理，由P为x轴上一个动点，可知n=0，利用基本不等式的关系，即可求得的最小值【解答】

19、解：设P（m，n），A（x1，y1），B（x2，y2），则对=1两边求导，得+2yy=0，则过切点A的斜率为，切线方程为：yy1=（xx1），又，化简即得PA：，同理可得，PB：，PA、PB为该椭圆的两条切线，直线AB的方程为，代入椭圆方程可得（4n2+m2）x28mx+（1616n2）=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，=（x1m）（x2m）+（y1m）（y2m），=x1x2+m2m（x1+x2）+y1y2n（y1+y2）+n2，=+m2n26，P为X轴上一个动点，n=0，=+m292=49，当且仅当=m2，即m2=2时取等号故答案为：49【点评】本题主要考查椭圆的简单几何性质，

20、直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理，平面向量的数量积和基本不等式的综合应用，属于中档题三、解答题（共6小题，满分80分）15（12分）（2015秋天津校级月考）己知函数f（x）=（xR）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数f（x）的最小值和最大值【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性得出结论（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最小值和最大值【解答】解：（1）f（x）=sin2x+=sin（2x）+1 的最小正周期为T=，令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的单调递增区间为（2）当时，2x0，故当2x

21、=时，当2x=0 时，f（x）min=sin0+1=1【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16（12分）（2010崇文区二模）某学校高一年级开设了A，B，C，D，E五门选修课为了培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能选修一门课程假设某班甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的（）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数；（）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（）设随机变量X为甲、乙、丙这三名学生参加A课程的人数，求X的分布列与数学期望【分析】（）每个学生选修一门课程，有5种选法，由分步乘法原

22、理即可求解（）“甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程”的对立事件为“三名学生选择三门不同选修课程”，利用对立事件的概率关系求解（）X的所有可能取值为：0，1，2，3，利用古典概型分别求概率，列出分布列求期望即可【解答】解：（）甲、乙、丙三名学生每人选择五门选修课的方法数是5种，故共有5×5×5=125（种）（）三名学生选择三门不同选修课程的概率为：三名学生中至少有两人选修同一门课程的概率为：（）由题意：X=0，1，2，3.；的分布列为数学期望=【点评】本题考查计数原理、古典概型、及离散型随机变量的分布列和期望，难度不大17（13分）（2016河南一模）如图四棱锥

23、PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，点M在线段PD上（1）求证：ABPC（2）若二面角MACD的大小为45°，求BM与平面PAC所成的角的正弦值【分析】（1）设E为BC的中点，连接AE，证明ABPC，只需证明AB平面PAC，只需证明ABAC，ABPA（2）设ACBD=O，连接OP，过点M作MNAD，过点N作NGAC于G，连接MG，证明MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45°，M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，证明BHA是BM与平面PAC所成的角，即可求BM与平面PAC所成的角的正弦值【解答】（1）证明

24、：设E为BC的中点，连接AE，则AD=EC，ADEC，四边形AECD为平行四边形，AEBCAE=BE=EC=2，ABC=ACB=45°，ABAC，PA平面ABCD，AB平面ABCD，ABPAACPA=A，AB平面PAC，ABPC（2）设ACBD=O，连接OP，过点M作MNAD，过点N作NGAC于G，连接MG，则MNPA，由PA平面ABCD，可得MN平面ABCD，MNAC，NGAC，MNNG=N，AC平面MNG，ACMG，MGN是二面角MACD的平面角，即MGN=45°设MN=x，则NG=AG=x，AN=ND=x，可得M为PD的中点，连接PO交BM于H，连接AH，由（1）AB

25、平面PAC，BHA是BM与平面PAC所成的角在ABM中，AB=4，AM=PD=，BM=3，cosABM=，BHA与ABM互余，BM与平面PAC所成的角的正弦值为【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查面面角，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键18（13分）（2015中山二模）设等差数列an的前n项和为Sn，且a2=8，S4=40数列bn的前n项和为Tn，且Tn2bn+3=0，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，求数列cn的前n项和Pn【分析】（）运用等差数列的通项公式与求和公式，根据条件列方程，求出首项和公差，得到通项an，运用n=1时，b1=T1，n

26、1时，bn=TnTn1，求出bn；（）写出cn，然后运用分组求和，一组为等差数列，一组为等比数列，分别应用求和公式化简即可【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由题意，得，解得，an=4n，Tn2bn+3=0，当n=1时，b1=3，当n2时，Tn12bn1+3=0，两式相减，得bn=2bn1，（n2）则数列bn为等比数列，； （）当n为偶数时，Pn=（a1+a3+an1）+（b2+b4+bn）= 当n为奇数时，（法一）n1为偶数，Pn=Pn1+cn=2（n1）+1+（n1）22+4n=2n+n2+2n1，（法二）Pn=（a1+a3+an2+an）+（b2+b4+bn1）= 【点评】本题主要

27、考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用，考查方程的思想在数列中的运用，同时考查数列的通项与前n项和的关系式，考查数列的求和方法：分组求和，是一道综合题19（16分）（2016宜宾模拟）如图，已知椭圆C：=1（ab0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r0），设圆T与椭圆C交于点M与点N（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|OS|为定值【分析】（1）依题意，得a=2，由此能求出椭圆C的方程（2）法一：点M与点N关于x轴对称

28、，设M（x1，y1），N（x1，y1），设y10由于点M在椭圆C上，故由T（2，0），知=，由此能求出圆T的方程法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cos，sin），N（2cos，sin），设sin0，由T（2，0），得=，由此能求出圆T的方程（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，（10分）故，由此能够证明|OR|OS|=|xR|xS|=|xRxS|=4为定值 法二：设M（2cos，sin），N（2cos，sin），设sin0，P（2cos，sin），其中sin±sin则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|OS|=|xR|xS|=|xRx

29、S|=4为定值【解答】解：（1）依题意，得a=2，c=，b=1，故椭圆C的方程为（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，y1），不妨设y10由于点M在椭圆C上，所以 （*） （4分）由已知T（2，0），则，=（x1+2）2=（6分）由于2x12，故当时，取得最小值为由（*）式，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到故圆T的方程为：（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cos，sin），N（2cos，sin），不妨设sin0，由已知T（2，0），则=（2cos+2）2sin2=5cos2+8cos+3=（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到故圆T的方程为： （8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，（10分）故 （*） （11分）又点M