放缩法在导数压轴题中的应用-郑州第四十四中学

1、放缩法在导数压轴题中的应用-郑州第四十四中学恰当采用放缩法巧证导数不等式郑州市第四十四中学 苏明亮放缩法是高中数学中一种重要的数学方法， 尤其在证明不等式中经常用到.由于近几年数列 在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也 逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤 其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试 举几例，以供大家参考.一、利用基本不等式放缩，化曲为直例1(2012年高考辽宁卷理科第21题()设f(x) ln(x 1) G 1.证明：当0 x 2时，f总证明：由基本不等式，当x 0时，2Gl x 2,f (x) ln(x 1) x一x1 1 ln(x 1)-15记 h(x)则 h

2、'(x)故又由h(x)h(0) 0)所以 ln(x 1) x 急)即ln(x 1) , x 1 19xx 9x ln(x 1)- 2x6._, 2_1154x(x15x36)一22x 1 2 (x 6)2( x 1)(x 6)当0 x 2时，h'(x) 0,所以h(x)在(0,2)内是减函数.故当0 x 2时f(x)生.x 6评注：本题第(n)问若直接构造函数h(x) f(x)凡，对h(x)进行求导 由于h'(x)中既有根 x 6式又有分式，因此h'(x)的零点及相应区间上的符 号很难确定，而通过对 m进行放缩处理，使问 题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不

3、等式证明 G I 1,亦即是将抛物线弧y Q放大化 简为直线段y ； 1 ,而该线段正是抛物线弧y、父!在左端点(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方 法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法.二、利用单调性放缩，化动为静例2 (2013年新课标全国H卷第21题(II) 已知函数f(x) ex ln(x m).当m 2时,证明f (x) 0 .证法1 ：函数f(x)的定义域为(m,)则f '(x)exx m(x m)ex 1x m设 g(x) (x m)ex 1,因为 g'(x) (x m 1)ex 0) 所以g(x)在(m,)上单调递增.又 g( m) 10,g(2 m) 2

4、e2 m 1 2 1 1 0 )故g(x) 0在(m,)上有唯一实根x0.当 x ( m, Xo)时)g(x) 0,f'(x) 0；当 x (Xo,)时,g(x) 0, f'(x) 0)从而当X Xo时, f(x)取得最小值为f(Xo).由方程g(x) 0的根为Xo得e"ln(X0 m) %,X0 m7故 f(X0) 1 X0X0 m1X0m(X0m) m 2 m(当且仅当X0 m 1取等号)，又因为m 2时,所以f(x0) 0.取等号的f(x0) 0条件是X0 m 1e" -1及m 2X0 m同时成立，这是不可能的，所以f(X0) 0 ,故f(x) 0.证

5、法2：因y 1nx在定义域上是增函数，而m 2, 所以 1n(x 2) 1n(x m) ,故只需证明当m 2时，f(x) 0即可.当m 2时)f'(x)ex，在(2,)上单调递增.7x 2又 f'( 1) 0,f'(0) 0)故 f'(x) 0 在(2,)上有唯一实根 x0)且 X0 ( 1,0).当 x (2,x0)时)f'(x) 0；当 x (X0,)时)f'(x) 0)从 而当x X0时，f(x)取得最小值.由 f '(x) 0 得 e -1)1n(x0 2)X0% 272故 f(x) f(X0) X0 C0一)- 0.X0 2X0

6、 2综上)当m 2时)f(x) 0.评注：借助导数取值研究函数单调性是证明 初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明， 由于其含有参数m,因而在判断g(x)的零点和求 f(x)取得最小值f(xo)显得较为麻烦；证法2利用对 数函数y lnx的单调性化动为静，证法显得简单明 了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个 经典范例.三、活用函数不等式放缩，化繁为简两个常用的函数不等式:ex x 1 (x R)lnx x 1(x 0)两个常用的函数不等式源于高中教材(人教A版选修2-2 , P32)的一组习题，曾多次出现在高 考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章1.例3 (2014年高考新课标I卷理科

7、第 21题)x 1设函数f(x) aexlnx -？ 曲线y f (x)在点(1, f (1)处的切 x 7线方程为 y e(x 1) 2.求a,b(II )证明：f(x) 1.分析：本题以曲线的切线为背景，考查导数的 几何意义，用导数作工具研究函数的单调性， 求 函数最值以及不等式的证明.第(I)问较容易，般学生都能做出来，只需求出函数f(x)的导数,易得a 1,b 2.第(II)问难度较大，主要考查考生 运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能 力，是近年来高考压轴题的热点问题 .本题第 (II)问证法较多，下面笔者利用函数不等式来 进行证明.证明：由 ex x 1 ,得 ex1 x ,即

8、 ex ex ,故工ex (当且仅当x 1时取等号)exi又由ex1 x,得。e1x,故e. ex,两边取自然对 / x数得 ln(ex) 1 ex )即lnx10(当且仅当x 1时取等号)ex 、e由于、式等号不能同时成立，两式相加得lnx - ex,两边同乘以ex,得f(x) 1.评注：本题证明中利用函数不等式 ex x 1, 并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从 而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解.例4 (2016年高考山东卷理科第20题(II)已知f(x)a x ln x2x 1一厂，ax当a 1时)证明f(x) f (x) 3对于任意的x 1,2成立.(ax2 2)(x

9、 1)a 1时,f(x) f'(x)ln x2x 12- x(122 x2) xIn xx 1,2)由Inx得 f(x)f '(x)In xx 1,2.即只需证1,2h(x)1,2,则 h'(x)3x2 2x 64x(x)3x22x6)则(x)在x 1,2单调递减,因为1,证明：f(x)的定义域为(0,)a f '(x) a x所以在1,2上存在x0使得 x (1,x0)时,(x) 0,x (%,2)时, (x) 0 ,所以函数h(x)在(1,%)上单调递增，在(x°,2)上单调递 减，由于 h(1) 2,h(2) 2,因此当 x 1,2时，h(x)h

10、(2) | ,当且仅当x 2时取得等号，所以f(x) f'(x) h2，即f(x) f'(x) 3对于任意的x 1,2恒成立.评注：要证明f"(x)xlnx：. 1比较麻烦的是式子中有lnx,如果能让它消失，问题势 必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的 函数不等式lnx x 1进行放缩，方法自然，水到渠 成.上述两个常用函数不等式的变式：e x 1 x(x R)，j(xx 1ln1 x1 1(xxIn xx 1(x1)0)0)四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5 (2016年高考新课标III卷文科 21题) 设函数 f(x) lnx x 1.(I )证明当x (

11、1,)时,(II )设c 1,证明当x(0,1)时,1 (c 1)x cx证明：(I )易证当x 1,时)lnx x 1)即 1x.In x(II )由题设 c 1,设 g3 1 c 1 x cx,则 g (x) c 1 cxlnx) 1n c 1令,g x 0解得 x0 nc .当 x x0 时g' x 0 gx 单lnc调递增；当x X0时,g' X 0 , g x单调递减.由(I )知 lUc故 0Xo1 又 g(0) g(1) 0 故当 0 X 1 时,ln cg x 0 .所以当 x 0,1 时)1 c 1 x cx .评注：本题第(II )问利用第(I)中已证,c

12、1 ln明的不等式1 n x及 1巧妙地求出0 x 1 ln xlnc进而利用g x在0 x 1单调性及端点值g(0) g(1) 0证 明出gx 0.利用已证不等式(或结论)服务后 面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现， 这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的 计算，往往也为解题思路指明了方向.下面再看 一例：例6 (2013年高考辽宁卷理科21题)已知 函数 fx 1xe2x,gx ax x- 1 2xcosx,当 x 0,1 时，(I )证明:(II )确定a的所有可能取值，使得fx gx恒 成立证明：(I )证明：要证x 0,1时)1 xe2x 1 x, 只需证明1 x ex (

13、1 x)ex .记 h(x) 1 x e x (1 x)ex, 贝 U h'(x) x(ex ex).当 x (0,1)时,1h (x) 0因此h(x)在0,1上是增函数,故 h(x) h(0)=0 .所以f X 1 x, x 0,1 .要证x 0,1时,只需证明ex x 1综上,(II )解：3r,2x ,x /c、,f x g x 1 x e (ax 1 2xcosx) 13xax 1 2xcosx22一 xx(1 a 2cos x).221,、iCG(x) 2cos x)贝U G (x) x 2sin x .己 H (x) x 2sin x)则H(x) 1 2cos x . 当

14、x (0,1)时)H(x) 0)于是 G'(x)在 0,1 上是减函数,从而当x (0,1)时,G'(x) G'(0) 0)故 G(x)在 0,1 上是减函数.于是 G(x) G(0) 2) 从而a 1 G(x) a 3 .所以，当a 3时，f x g x在0,1上恒成立.下面证明，当a 3时，f x g x在0,1上不恒成3_ xax 2x cos x23xxax -1 x22 x cos xx(2 x a 一22cos x) ,记I(x) a I 28sxa G(x)，则I(x) G'当X (0,1)时,I'0,故I (x)在0,1上是减函数,于是I

15、 (x) 在0,1上的值域 a 1 2cos1,a 3.因为当a 3时，a 3 0 ,所以存在x0 (0,1),使得 I(x。)0 ,止匕时 f x> g x° ,即fx g x在0,1上不恒成立.综上，实数a的取值范围是(，3.评注：本题第二问是一道典型的恒成立求 参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数 的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解 决(笔者研究发现不能解决的原因是分离参数 后，出现了 “ 0型”的式子，解决这类问题的有 效方法就是高等数学中的洛必达法则)；若直接 构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高 次函数，处理起来难度很大.本题解法中两次巧 妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反 正，使问题得到解决.上述几道导数不等式都不是考查某个单一 的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数 (尤其与“ ex”和“ lnx”有关)