无穷级数知识点

1、无穷级数1.级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即:Sn lim 4存在，称级数收敛。n k 12.若任意项级数Un收敛,n 1Un|发散，则称 Un条件收敛，若n 1un n 1收敛，则称级数 Unn 1绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。2.任何级数收敛的必要条件是lim un 0 n3.若有两个级数Un 和 Vnn 1un1s,Vnn 1则 (Unn 1Vn)Un1vns 。n 1D Un收敛,n 1Vn发散，则（Un Vn）发散。若二者都发散，则（Un Vn）不确定，如 1,n 1k 11发散，而1 10收敛。k 14.三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数:a)n ar六，收敛

2、，r 1n 0发放，r 1等比级数:b)P级数:1收敛，p 1n 1 np发放，p 1c)1收敛，p 1n 2 nlnp n发放，p 1对数级数:5.三个重要结论反之不成立,6.常用收敛快慢(an an 1 n 1）收敛 lim an存在正项（不变号）级数 n na2和bn都收敛anbnl 收,bn收 nan收 a2收,正整数ln n n (0) an(a 1) n! nn由慢到快连续型ln x x (0) ax(a 1)xx由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法lim%Unl 1,收l l 1,发（实际上导致了 lim n 0） nl 1,单独讨论（当n为连乘

3、时）l2.卜可西根值法| lim癌l l n *1,收1,发（当n为某n次方时）1,单独讨论un收敛，un发散vn发散n 1n 1n 13.此阶法|代数式unvnvn收敛n 1极限式lim un A,其中:nUn和 Vn都是正项级数n 1n 1?A 0 un是vn的高阶无穷小?A 0 un是vn的同阶无穷小?Avn是un的高阶无穷小un vnvn收敛un收敛，un发散n 1n 1n 1un kvnun和 vn敛散性相同。n 1 n 1vn发散。n 1Vn / Un收敛n 1vn收敛，vn发散un发散。n 1n 1n 151n222=On 1. n n 1 万n21 n 1n2、n1 , n 1

4、un =ln ；,nn 10 1 x2dx0 Un>x n0 1 x2dx1.-13 ,也可选用基准级数3n21一一-13就可知原级n 12n28、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧布尼茨判交错级数（任意项级数的特例）这是一个必要条件，如果不满足，则 （1）nun n 0是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。 lim un 0 Un Un 1（ 1）nun 收敛n 0必发散，若只有不满足，则不一定收敛还任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散任意项级数判敛的两个重要技巧：a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。b k阶无穷小试探法。在不能估计

5、出通项的无穷小阶次时，使用该试探法,9.帚级数an(x Xo)nn 01 .阿贝尔（Abel）定理如果级数anxn当x x0 x0 0,因为x0=0anx2 0显然收敛 点收敛，则级数在圆n 0n 1域x x°|内绝对收敛；如果级数anxn当x xi点发散，则级数在圆域x |力外发散。由阿n 0贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幕级 数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除 x x0 x0 0外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好事级数的关键。如推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不

6、是在整个数轴上都收敛，则必有一个确 n 0定的正数R存在，使得：当|x R时，幕级数绝对收敛；当x R时，幕级数发散；当x R与x R时，幕级数可能收敛，也可能发散，我们称 R为 anxn的收敛半径 n 110.幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域已知 an(x x0)n ,若 n 0Jm an 1或 Jm n an ；则根据比值判敛法有:x x0 1收敛R= limn风收敛an+1收敛半径R： Rlimn全平面收敛,0=00只有一个收敛点x0,收敛区间刈R,刈R :级数在x x0R x x0 R, x0 R收敛；幕级数的收敛区间是非空点集，对an（x x°）n至少在x x0处收敛，对

7、anxn至少在x 0处收敛。由阿贝尔定理可以推出：幕级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点R上）收敛性待定，故收敛域是收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R或X0R,X0R四种情况之一。x0R,x0R、X0R,X0R、X0R, X0 3.在收敛区域内的性质anxn的和函数 0f x连续并有任意阶导数;可逐项微分f '(x) (anXn)n 0nanxn 1an Yn 1X0 n 1XX可逐项积分0 f (x)dx ( 0 anXndX)n 0anxn绝对收敛011.利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项,佩亚若余项）为零。以下

8、是几个常用的麦克劳林展开结论。(1,1)1)n1,1)n u0 n! sin u1)n2n 1u(2n 1)! cosu1)2n 1 n u(2n)! ln(1u)n1)n1 nln21)n 1 n(1,1(1 u)(1)(Cnn uu (1,1) tan un2n1,u13u - uo2n13 arctanun 2n 1(1) un 0 2n 1u 1,1ln(1 x)nnx 一n 11non!5.幕级数求和方法函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法构造辅助幕级数法。付立叶级数1 .周期函数展开成付里叶级数? f(x)

9、为在l, l上周期为21的周期函数，则f(x)a02(an cosn 1x bn sin x),其中bn1 l1 lln1 f(x)cos- xdxln1 f (x)sin - xdx?特别地，当1f(x)ao(an cosnx bn sin nx) n 1其中anf (x)cos nxdxbnf (x)sin nxdx?当f(x)是偶函数r 1f(x) 3 a。an cosanf(x)f(x)n 112a0n x .cosdxlan cosnxn 1an0 f (x)cos nxdx?当f(x)是奇函数.n x2 l . n xf(x) Hsinbn 70f(x)sin dxnillll f (x)bn sin nxbn f(x)sin nxdxn 102 .非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f x只是定义在区间0, l或 0,，两种区间可以令t x相互转换, l为了利用付里叶级数展开，必须将f x拓展，其方式有两种，即：(1)偶拓展 令F(x) f(x) 0 x l ,使F(x)成为l, l上的周期偶函数，展开后取 f( x) l x 00 x l上的函数值即为f x的付里叶展开。(2)奇拓展 令F(x) f(x)0 x l 使F(x)成为l, l上的周期奇函数，