多一度探究多一份精彩

1、.多一度探究 多一份精彩1试题与答案回放：题目：（盐城中考第题）（）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A)、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= °；图3图1 图2（）问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论（）拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、

2、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由解：（1）AD（或AD），90 （2）易证RtABGRtEAP（ASA），得出EP=AG；同样由RtACGRtFAQ，得出FQ=AG从而得出结论：EP=FQ.（3）结论： HE=HF. 理由：过点E作EPGA，FQGA，垂足分别为P、Q（如图5）.易证ABGEAP，得 = . 同理ACGFAQ，得 = . 因为AB= k AE，AC= k AF，所以 = = k，则 = . 所以EP=FQ. 由EHP=FHQ，所以RtEPHRtFQH. 即H

3、E=HF 图52、试题特点这是一道探究性中考试题，这类题目往往给出某种数学情境，要求考生在实验、观察、归纳、类比、探究等活动中，构建数学模型，领会数学方法，进而解决具体问题这类试题一般都非常规，不是课本内容的简单模仿，也不是通过反复演练就能完成的，需要更多的灵活性和创造性，能较全面地考察学生的思维能力和数学素养因此探究性综合试题在近年中考中层出不穷，并已成为中考的热点本题在问题设计上层层深入，题中三个问题前为后所用，联系密切又有一定梯度第一问是从图形变化入手，通过剪拼矩形，旋转直角三角形构成基本图形；第二问须从较为复杂的图形中识别出基本图形，并直接运用第一问给出的基本图形（即图2），两组基本图

4、形通过公共边联系在一起进行了初步运用；第三问对第二问的问题进行了改造、变形，但解决问题的方法不变，需学生在类比中解决、在拓展中变化、在变化中创新这样对原问题获得更为深刻、更为本质的认识，同时获得数学思维方法，形成数学能力本题是以研究性学习的形式呈现、以直角三角形的旋转得到基本图形为载体的综合题，集实验操作、观察分析、几何证明及探究应用于一身，既考查学生对基础知识的掌握情况，又考查学生理解运用新知识、解决新问题的能力，实现了基础知识考查与能力考查的有效结合面对本题绝大多数同学都能够上手，但能做全对的比较少，体现了本题具有良好的区分度，是一道不可多得的好题3、解法再探：从回收的考卷来看，本题得到满

5、分的考生对问题的解答有惊人的相似，特别是第（）问的解答与标准答案（下文称之“解法一”）几乎相同可见，题目设置“脚手架”的功效，在这里已发挥了重要的作用；从另一角度来说，因为研究的问题的方法已经呈现出来，无需考生去过多的挖掘，即使是问题较为隐蔽，考生只要沿命题者所设计的轨迹去探究，也较容易找到解决问题的思路，因此，对问题的解答出现了“千人一面”的现象，也不足为奇这样，无疑大大制约了学生开放的空间和创新意识进一步的焕发，也束缚了学生的思维，体现出试题的局限性其实，第（）问还有许多其他证法，抛开“拐杖”，更能训练学生的思维，发展创新能力与探究意识现仅限于初中数学知识，列举一些其他解法：解法二：构造全

6、等模型如图，在（或的延长线）上截取，在（或的延长线）上截取，连接交于点；过、分别作的垂线、，垂足分别为、易知 = = k ，由辅助线的作法得 ，所以DKBC，又AGBC，则AGDK由第（）问结论，可知ADOEAP，则AOEP；AKOFAQ，则AOFQ；所以EPFQ易证EPHFQH，所以HEHF解法三：用三角形中位线推论证明如图，过点作EDHG交FA的延长线于点，则DEAEAH，又由同角BAG的余角相等得ABCEAHDEA ，由同角EAF的补角相等得DAEBAC，由得ABCAED，所以，又知k ，对比两个比例式，得ADAF。在DEF中，为DF的中点，AHDE，所以点为的中点，即HEHF解法四：用

7、梯形中位线推论证明如图8，过点A作AG的垂线PQ，垂足为A；分别过点E、F作PQ的垂线EP、FQ，垂足分别为P、Q 由同角CAQ的余角相等得GACQAF，则RtGACRtQAF，则，同理RtGABRtPAE，则,结合得，即又PEAHFQ,由梯形中位线的推论得HEHF解法五：用平行四边形对角线的性质证明如图9，作DEAF交GH的延长线于点，连结DF由同角EAF 的补角相等得DEABAC，由同角BAG的余角相等得EADABG，因此ABCEAD ， 则又易知,结合得EDAF ， 而DEAF，所以四边形DEAF为平行四边形，即HEHF解法六：用连等的比例式证明如图10，在BAC内部作BAA，交于由同角

8、BAG的余角相等得EAHAB，所以ABEA则在EF中，AFAFEEAF1800，由周角知BACEAF1800，所以AABACBAA由辅助线知BAA，所以AFEDAC，又易证HAFACD，所以ACFA，则= 又易知k 结合得连等的比例式，得EHFH4. 拓展探究著名数学教育家波利亚曾说过：“好问题同某些蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有几个”因此在解决问题之后，还要通过变化对象的非本质属性，来提高对数学知识的典型运用和迁移运用能力，丰富数学基本思想方法的体会，提高问题结构信息的识别能力和数学知识的合理选择能力，提高分析问题和解决问题的能力总之，变式探

9、究对提高自身的解题能力和教学水平，会有十分重要的作用同时，新课标要求“不同的人得到不同的发展”，要满足一部分学生（特别是成绩较好学生）的学习需求，老师自己须作表率，因此对题目的拓展探究是十分必要的4.1条件与结论互换探究探究一：原命题的逆命题是否成立如图1，以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF， 若AB= k AE，AC= k AF，点为的中点，连结并延长交于点。求证：HGBC其证明过程可类比原命题的证法进行，这里只选取其中一种方法证明证明：延长至，使，连结易知AH为DEF的中位线，则AHDE，由同角EAF的补角相等得EADBAC；又易知， 而 ADAF ，则

10、因此ABCAED所以ABCAEDEAH又因为EAHBAG1800 900900所以ABCBAG900所以AGB900 ， 即HGBC4.2减少条件探究探究二：如图2，以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF， 若AB= k AE，AC= k AF，则ABC的面积SABC =k2 SAEF 简证：过点作于点，过作E，交的延长线于由BACFAT得ASCATF，所以=k，所以 = = .=k2 ，即SABC =k2 SAEF4.3变更条件探究探究三：如图3，以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF， 若AB= k AE，AC= k AF，点

11、为的中点，连结并延长交于点求证：由于ABC和AEF 在问题的地位是完全平等的，和的地位也是平等的，因此“探究三”与“探究一”的本质一样，可以说是同一命题下面提供一种辅助线的做法：取的中点，连结读者可以一试探究四：探究三的逆命题也成立，即：如图13，以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF， 若AB= k AE，AC= k AF，AHEF于H，延长HA交BC于G点求证：点为的中点“探究四“与原命题的本质一样 ，是同一命题其证明方法与上面证法类似探究五：如图4，以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF， 若AB= k AE，AC= k A

12、F，为ABC的中线，则kEF 简证：延长至点，使，连结，则四边形ABPC为平行四边形则BP= AC，BPAC，所以ABP1800BAC，又EAF1800BAC，则ABPEAF；因为k，所以k。则ABPEAF所以 =k，即=k，因此kEF探究六：如图15，若再以和为邻边作平行四边形EAFD，则DABC解析：连接EF交DA于H点，则H为EF的中点，由“探究一”可知：HGBC，即DABC4.4原条件下的结论探究探究七：在原命题的已知条件下，探索AH与BC的关系为：BC=2kAH解析：如图7，由原命题的解法三可知ABCAED得，又，所以，因此BC=2kAH4.5引申探究探究八：将原题目及探究一、二、三、四、五、六、七中的条件“以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF”改为“ 以ABC 的边AB、AC各为一边向ABC内作矩形ABME和矩形ACNF”，各命题的结论是否成立读者可以类比对应的证法自行解答，限于篇幅，在此不再赘述数学课程标准指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程学习数学的重要方式除接受学习外，