平面解析几何知识点

1、1 直线的倾斜角与斜率：(1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角倾斜角0,180 ),90斜率不存在(2)直线的斜率：k池(x1x2),k tan.(P(x1, y-i)、F2(x2,y2)X2Xi2.直线方程的五种形式：()点斜式：y y-k(x Xi)(直线l过点P-(x-, y-)，且斜率为k). 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x0.(2)斜截式：y kx b(b为直线l在 y 轴上的截距).(3)两点式：_y -(%y2,x-ix2).y yiX2xi

2、注： 不能表示与x轴和y轴垂直的直线；方程形式为：(X2xi)(y yi)(y2yi)(x xi)0时，方程可以表示任意直线.0( 其中AB 不同时为 0).A Cx，即，直线的斜率：kB B倒数)或y 0.已知直线过点(X0,y)，常设其方程为y k(x x) y或x x.(2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条 直线一般不重合.3.直线在坐标轴上的截矩 可正，可负，也可为 0.(1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点.(2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点.(3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点.4.两

3、条直线的平行和垂直:(1 )若l1: yk1x b-i,I2：yk2x b2(4)截距式：X y1(a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b0).a b注： 不能表示与x轴垂直的直线, 过原点的直线.也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示(5)般式：Ax By C般式化为斜截式：y注： (1)已知直b，常设其方程为ykx b或x 0.已知直线横截距x0,常设其方程为xmy X。(直线斜率k存在时,点的直线系方程为Ax B1y C1(A2X B2y C2) o(除l1/l2k1k2,bib2;l1l2k1k21(2 )若|1: A-|X B1yCi0,12: A：x B2y C20,有11

4、/12AiB2A2Bi且 A C?A2Ci.1112AiA2BiB20.5.平面两点距离公式：1直线y kx b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.2与直线l: AXBy C o平行的直线可表示为AXBy C1o.3过点P(Xo, yo)与直线l : AXBy C o平行的直线可表示为：A(X Xo) B(y yo) o.(2)垂直直线系方程：与直线l : AXBy C o垂直的直线可表示为Bx Ay C1o. 过点P(X), yo)与直线l : AXBy C o垂直的直线可表示为:B(x Xo) A(y yo) o.(3)定点直线系方程：经过定点R(Xo,yo)的直线系方程为y y

5、ok(x x)(除直线X沧)，其中k是待定的系数.经过定点P)(Xo,y。)的直线系方程为A(XXo)B(yyo)0,其中代B是待定的系数.(4)共点直线系方程： 经过两直线h：A1XB”C10, l2:A2XB2y C20交(Pl(Xi,yi)、P2(x2, y2) ,p P2J(X1ABXBXA.Xo线段RP2的中点是M (Xo,y。)，贝 yy。6 点到直线的距离公式：2 2X2)(yiy2).X轴上两点间距离:点P(xo，yo)到直线丨:AXBy C 0的距离：d7.两平行直线间的距离：两条平行直线l1： AXBy C10,丨2：&直线系方程：(1)平行直线系方程：X1X22yiy2

6、点的直线系方程为Ax B1y C1(A2X B2y C2) o(除J)，其中入是待定的系数.9.曲线Cf(x, y) 0与C2：g(x, y) 0的交点坐标10. 圆的方程：(1)圆的标准方程：(Xa)2(y2 2b)r(r 0).(2) 圆的一般方程：2X2yDxEy F 0( D2E24F0)(3) 圆的直径式方程:若A(x1,y1),B(X2，y2)，以线段AB为直径的圆的方程是:(X Xi)(x X2) (y yi)(y y?) 0.DE11 22注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是(兰，E),r1D2E24F.222(2) 一般方程的特点：2 2 2 2x和y的系数相同且

7、不为零； 没有xy项；D E 4F 0A C 0;B 0;D2E24AF 0.11圆的弦长的求法：(1)几何法：当直线和圆相交时，设弦长为I， 弦心距为d，半径为r,贝U：“半弦长2+弦心距2=半径2” _ (丄)2d2r2；2(2) 代数法：设|的斜率为k,l与圆交点分别为 A(X1，yJ, B(X2，y2)，则|AB| 1 k2|XAXB| 1k12|yAyB|(其中|X1X21,1yy2I的求法是将直线和圆的方程联立消去y或x，利用韦达定理求解)12.点与圆的位置关系:点P(x0，y0)与圆(x a)2(y b)2r2的位置关系有三种P在在圆外2 2 2d r(Xoa) (yb) r.P

8、在在圆内2 2 2d r(X0a)(yb) r .P在在圆上2 2 2d r(X0a) (yb) r.【P到圆心距离d (a X0)2(b y。)2】方呈组g(x：y)0的解.(3)二元二次方程Ax2Bxy Cy2Dx Ey F 0表示圆的等价条件是:13直线与圆的位置关系:直线Ax By C 0与圆(x a)2(y b)2r2的位置关系有三种判别式为14两圆位置关系：设两圆圆心分别为0-02，半径分别为口上,O1O2dd r1r2外离4 条公切线；dr1r2内含无公切线；d r1r2外切3 条公切线；dr,D内切1条公切线；r1r2相交2条公切线.内含 内相交外严相寫9- 4- 9-0 d

9、|”严(1 +一 d15圆系方程：x22yDxEy F0(D2E24F0)(1)过点A(X1,yJ,B(x2, y2)的圆系方程:(x Xj(x X2)(yyj(y y2)(X X1)(y1y2)(y %)(花X2)0(x X1)(xX2)(y yj(y y2)(axby c) 0,其中axby c0是直线AB的方程.(2)过直线丨：AxByC0与圆C:2 2x yDx Ey F 0的交点的圆系方程：22xy DxEyF(AxBy C)0, 入是待定的系数.(3)过圆 G :x2y2D1xE1yF10与圆C2:2X2y D2XE2y F20的交点的圆系方程：x22yD1x E1yF-i(x22

10、yD2X E2y F2)0,入是待定的系数特别地， 当1时，2 2x y D1XEdF12 2(X yD2XE?yF2)0就是(D1D2)X(E1E2)y (F1F2)0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆(dAa Bb C.A2B2圆心到直线距离为d,由直线和圆联立方程组消去X(或y)后，所得一元二次方程的d r 相离0；dr 相切0；d r 相交0r2交点的直线.16圆的切线方程：(1)过圆x2y2r2上的点P(xo,y)的切线方程为：xx yy r2.(2) 过圆(x a)2(y b)2r2上的点P(x0, y0)的切线方程2r.0上的点P(X0,y。)的切线方程为：E(y0y)F

11、0.2若 P(Xo,y)是圆x2y2r2外一点，由 P(Xo,y)向圆引两条切线，切点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为xx0yy0r2若 P(x0,y0)是圆(x a)2(y b)2r2外一点，由 P(x0,y0)向圆引两条切线，切 点分别为 A,B 则直线AB 的方程为 帆a)(x a) (y0b)( y b) r2(6)当点P(x,y)在圆外时，可设切方程为y y。k(x x。)，利用圆心到直线距离等 于半径，即d r，求出k;或利用0，求出k若求得k只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x x0.17.把两圆x2y2D,x E,yF,0与x2y2D2x E2y F20方程相减 即得相

12、交弦所在直线方程:(D,D2)x(巳E2)y (F,F2)0.18.空间两点间的距离公式：. 2 2 2若A(X1,y1,zJ,B(X2,y2,Z2)，则AB * xj (y?yj (z2乙)19.简单线性规划(确定可行域，求最优解，建立数学模型)、目标函数：要求在一定条件下求极大值或极小值问题的函数。用关于变量是一次不等式(等式)表示的条件较线性约束条件。、线性规划：求线性目标函数在线性的约束条件下的最值问题二、轨迹问题(一)求轨迹的步骤1、 建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p (x, y)2、立式：写出适条件的 p 点的集合3、 代换：用坐标表示集合列出方程式f ( x, y)

13、=04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上(二)求轨迹的方法为：(x a)(x0a) (y b)(yb)(3)过圆x2y2Dx Ey FD(X0 x) xx yy 1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：禾 U 用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别表示两条动直线, 然后联立，消去变量即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再

14、参考参数法，找到轨迹方程。三、椭圆椭圆：平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合x a cos3、 参数方程（为参数）几何意义：离心角y bsi n4、几何性质：（只给出焦点在 x 轴上的的椭圆的几何性质）、顶点（a,0）,（0, b）2、焦点（c,0）c3、离心率e （0 e 1）aa24准线：x（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）c5、 焦点三角形面积：SVPFFb2tan（设F1PF2）1226、 椭圆面积：S椭a b（了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（0）；相交（0） ；相切（0）判定方法：直线方程与椭圆方程联立，禾 U 用判别式判断根的个数8、椭圆

15、切线的求法1)切点（x0y0）已知时，2x2y2,21(ab0)切线xx2yy11abab22y2x21(a b0)切线yy2誓1abab22uuuv uuuvuuuPFPF1 IPF22a(2aF1F2）第二定义：de -(0 e 1) a2、标准方程:x2a22y_b21(a b 0)或2y_2ax21(a b 0)；1、定义:2)切线斜率 k 已知时，x2y.21(ab0)切线ykxa2k2bab2 2 _2-21(a b 0)切线y kx b2k2a2a b9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离2x2ab21(a b 0)r a exo（左加右减）四、双曲线2y2a2a1(a b 0)b2r

16、 a eyo（下加上减）1、定义：PF,PF22aPFc第二定义：e (e 1)da2、标准方程:2 2x y、221(a0, b 0)(焦点在 x 轴)a b2x、21(a0, b 0)(焦点在 y 轴)b参数方程:x a secy b tan（为参P(a sec , btan )3、几何性质顶点（a,0）焦点（c,0）2 2c ab2离心率e -ae12准线x a_c2渐近线务a2yb21(a0,b0)y22a2x了1(a0,b0)4、特殊双曲线、等轴双曲线2x2a2h1ae.2渐近线y x2 2 2 2、双曲线笃 爲1的共轭双曲线笃 爲1a ba b性质 1：双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线性质 2:双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系相离（0）;相切（0）； 相交（0）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式2 2x V1(a 0, b 0)点 P 在右支上r ex0