初中数学竞赛专题复习第二篇平面几何第10章四边形试题人教版

1、30,1 / 910.1.1AD如图，在四边形ABCD中，3,BD 5，求边CD的长.第 10 章四边形10.1AC、平行四边形与梯形BD是对角线，已知ABC是等边三角形，ADC(a)(b)如图(b)，以CD为边向四边形ABCD外作等边ACD ACEAE,AD 3，于解析BCD BCA ACD所以BCD 9ACE, 又因为ADC 30CDE，连结AE由于ACBC,CDCE,DE . AE2AD24 .10.1.2 在YABCD中,BFE 3 AEF解析如图，DCE从而BD,BD5所以CDAB 2AD,F为AB中点,取CD中点G，连结FG、CF是ADE 90, 从而在CE ADD 交AD(或延长

2、线易知四边形BFE 310.1.3 AD、BE、CF是厶ABC的三条中线,解析如图，连结ADGF与FGCB均为菱形，FGEFG 3 AEF垂直平分CE，于是EFG CFGEF， 贝U EF是 中位线.RtAADE)于E求证:CFB，于是FG II BE,EG II AB,四边形ADCG是平行四边形.10.1.4 延长矩形ABCD的边CB到E，使CECA,F是AE的中点，求证:BFFD解析如图，取BD中点G，连结FG，贝 U FG1AD1 1 BECECA1 BD , 于是BF FD22 22由条件知 EGBF，故 EG|AF，于是 AGIEFICD，故结论成立.30,2 / 93 / 9题10

3、.1.4题10.1.510.1.5 菱形ABCD中，BD AC 2.3 ,BAD120求菱形的面积.解析如图,易知ABC与厶ACD均为正三角形.设菱形边长为x，则由BAD 120，得 BD . 3x ,AC此菱形面积为10.1.61.32BD AC x22在梯形ABCD中，ADII若延长 AQ、DP的交点正好位于2 3 34.BC，中位线MN分别交BC上，求 BC .ADAB、CD、AC、BD于M、解析设 AQ、DP延长后交于故 BC 2 .AD10.1.7 四边形ABCD中,解析如图所示，作AF BC则AFB为等腰直角三角形,R，且R在BC上，则由中位线知 AD 2PQABC,DEAFBCD

4、 6，故CE 3, DE 3 3 .AD 2PNBC2QN，135,BCD 120, AB . 6 , BCBC分别交BC所在直线于F、E,90, AB 、. 6，故 FB AF 3 ;所以EF FB BC CE3 53 3 8,53，CD求AD.作FG II AD交DE于G,DEC 90,DCE 60,4 / 95 / 9GE DE DG DE AF 3 332 3 .10.1.9 将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像 点也形成四边形，则必为一个梯形.解析如图，ADIIBC,A、B、C、D关于对应对角线的对称点分别为A、B、C、D.设AC、BD交于0

5、，连结A0、B0、C，0、D0贝V A0B=AOBCODCA OOD，故A、0、C共线，且-A0,同理B、0、D共线，B0 B0，所以由BOCO1COCODO DODOAO得 B0C01.DOAO故如A、B、C、D不位于同一直线上,则A，DIIBC，即ABCD成梯形.10.1.10已知：直角梯形ABCD,ADIIBC,ABBC,AB BC,E是AB上一点，AEAD,CEB 75，求ECD.从而 AD FG . EF2EG210.1.8 已知ABC中,右BECF, AD1BC .2解析如图，连结AF、AEA 90,D是由对称，有又BFEFADFECEADADBAF ADAE，于是 ADBAD 2

6、 CAD 180，故F、A、E共线.ADC 180，故FB II EC，而BE CF，所以梯ECBF为等腰梯形又 11EF BC .222 19 .BF、CE.C6 / 9 10.2 正方形解析如图，连结AC，则由ABBC,ABBC，得BAC45DAC.又AE AD，故AEC也ADC,EC CD.又DEC 180754560, 故DEC为正三角形,于是ECD60.10.1.11 在四边形ABCD中，A 60,BD90,AB 2,CD 1，求BC、AD和BD的长.C解析至于求如图，延长AD、BC至E，则60，故 BE 2 3 , BC 2.3DCE 60,CE 2CD 2.2，又AE 4,CE

7、3，故 AD 4.3 .BD，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用D四点共圆的性质:AC222 3 22.5 2、3 , BD AC sin6015 6.、3 .10.2.1在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为CD上的点，且AF BC CF.求证：BAFBAE.CE得CP AB BC,BAE.解析FP FC10.2.2 正方形边长等于 1,通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方 和的取值范围.如图，CP FC延长AE、BC AF.于是DC,BAE设交于P, 则BEP FAP，即BAF 2AEBDFC7 / 9C的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数10.

8、2.4 设M、N分别为正方形ABCD的边AD、CD的中点，且CM与BN交于P,求证：PA AB. 解析 如图，由MD CN知ABNC也CMD,故PBC PCB NCM PCB 90,故CM BN.延长CM、BA，设交于 Q，则 QACD AD ,A为直角三角形 QPB 斜边 BQ 之中点，于 是AP AB.和BM、DK的中点组成一个正方形.解析由于如图,MAO设O是正方形90 AOM2AM2DN2 2AM MOABCD的中心，I通过O,AM、DN分别与I垂直于M、N.DON,AO OD，故AMOOND,1AO -.21023正方形ABCD的对角线交于O,BAC的平分线交BD于G，交BC于F，求

9、证：OGCF2如图，作OE II FC，交AF于E,OEACF中位线，CF 2EO. 问题变为证明EO GO.GEO 45 OAF解析因为么FAF 45OGE，于是结论成立.10.2.5 已知两个正方形ABCD、AKLM（顶点均按照顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心ADNCKL8 / 9解析如图， 设DB、BM、由于DAAB,AK AM,DAM 90 BAMBAK,于是DAM BAK,由此得KB与DM1垂直且相等由于 SR/ DM/PQ , SP/-KB /RQ，故四边形 PQRS 为正方形.210.2.6MA2MB2AB2M是正方形ABCD内一点，若2 ，CMB 90，求MCD222

10、2AB2解析AN如图，作MN AB于N，贝UBNAMBM2，ANBNAB,解得 AN -41AB , BN -4AB不妨设AN3,BN3,MN x, 则DM2AN2AD2MN9(4 x)2,CM2BN2(CMMN)2142x,由条件CMD 90，知 DM2CM2 2CD216，解得 x 43又作ML BC于L,是 LC3,ML NBMCD LMC 6010.2.7 O是正方形于F,G是EO的延长线和BC的交点，求ABCD的两对角线的交点，P是BD上异于OFGO的任一点，PE AD于E,PF ABMMK、KD的中点分别为P、Q、R、S，即 10 29 / 9解析 如图，易知AF EP ED,AO

11、 DO,FAO 45 EDO，于是AFODEOBGO, 于是OF OG,AOB90 FOG，故OFG为等腰直角三角形，OFG 4510.2.8 K是正方形ABCD的边AB的中点，点L分对角线AC的比为AL:LC 3，证明：KLD 90解析 连结BL,由正方形关于AC对称，知BL DL又作LJ AB于J，由AL 3LC，易知 JB -AB丄KB，故J为KB中点，JL垂直平分KB，于是42LK LB,LKB LBK ADL，或AKL ADL 180,故KLD 90AEKL10 / 910.2.9求证：解析已知ABC,向外作正方形M是FH的中点.如图，作 FQ、HP分别与直线ABEF和ACGH直线A

12、K垂直BC于K,反向延长交FH于M,易见，FQ10.2.10 已知： 正方形ABCD中, 证：AG AB.反之，若AG AB,解析如图，延长CB至H，使HAE 904545 EAF边上的高，于是AG ABQFA 90AK，同理PH又 FQAPH ,FMQAF BAK ,AK，于是 FQE、F分别在90MHBC、AKB ,CD上,FA AB，故有AQF 也BKA,AG EF于G若EAF 45，求则BH，又EAFDFAH45，连结AH，贝VAHB也AFD,AF,AE AE，故AHE AFEHAF BAD 90,AB、AG为其对应KA垂直，垂足为 Q、PG11 / 9反之，若AG AB,贝U RtA

13、ABE也RtAAGE,EAG BAE,同理，FAG DAF,于是1EAF BAD 45 .210.2.11 在梯形ABCD中，AD II BC(BCAD) ,D 90,BC CD 12,E在边CD上，ABE 45，若AE 10，求CE的长.解析 延长DA至M，使BM BE过B作BG AM,G为垂足.易知四边形BCDG为正方形，所以X26 .故CE的长为BC BG.又ABE又CBEABM45GBM，RtABECsRtBMG，故 ，故ABE sABMAMAEBM10.BE.设CE则AG10AD 1210DE12在RtAADE2AD2DE，故 100122x 10 x 240，解之，得人DF12 / 910.2.13 四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，E、F、B在一直线上.求证：AE、AF三等分CAB.10.2.12 在正方形正方形对角线的交点为O，连结OM、 解析如图，易知MDC NCB，BO C