三角函数知识点梳理

1、三角函数知识点梳理1、终边相同的角所有与角”终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合 或 前者a用角度制表示，后者a用弧度制表示。2、弧长公式与扇形面积公式1 =,即弧长等于。S 扇=o3、三角函数的定义任意角的三角函数定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么叫做a的正弦，记作 sin a ,即sin a=y；叫做a的余弦，记作 cos a ,即 cos a = x;叫做 a 的正切，记作 tan a ,即 tan a = 'y (x 0)o(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦。(2)三角函数线下图中

2、有向线段 MP, OM , AT分别表示, 和。4、特殊角的三角函数值角a0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°角a的弧度数sin acos atan aXsin15° =# 4 位,sin75 ° = V6：V2, tan15° = 2 <3, tan75° =2 + 叶3,由余角公式 易求15° , 75°的余弦值和余切值。5.同角三角函数的基本关系(1)平方关系： .(2)商数

3、关系： .变形有：, , .6.三角函数的诱导公式公式一一三四五六角2k % + a (k C Z)兀+ a一 a兀一 a兀-2”兀-2+ “正弦余弦正切口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限7.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为:上述过程体现了化归的思想方法。8 .“五点法”作图在确定正弦函数 y=sinx在0,2兀上的图象形状时，起关键作用的五个点是 ,1 , , .(2)在确定余弦函数y = cosx在0,2兀上的图象形状时，起关键作用的五个点是 1 , , .9.三角函数的图象和性质丁、函数性质y= sinxy= cosxy = tanx定义域图

4、象1i7童£1&尸X口耨*值域R对称性对称轴：;对称中心：对称轴：;对称中心：无对称轴；对称中心：最小正周期单调性单调增区间单调减区间一；单调增区间单调减区间一;单调增区间奇偶性11、函数y = Acos(x+4 )的最小正周期为 . y= Atan(x+4 )的最小正周期 为.12.用五点法画y= Asin( cox+。)一个周期内的简图用五点法画y = Asin( cox+4 )一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.co x + （）xy = Asin( w x+()0A0-A013.图象变换:路径：先向左（4>0）或向右（4<0）平移 个单位长度，

5、得到函数 y=sin（x+。）的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）,得到函数y = sin（cox + 4）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 彳（横坐标不变），这时的曲线就 是 y= Asin（ w x+（）的图象.路径：先将曲线上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin cox的图象；然后把曲线向左 （力>0）或向右（。<0）平移 个单位长度，得到函数 y =sin（cox+。）的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），这时 的曲线就是y = Asin（ cox+（）的图象.y>y=j4sin(wx+

6、 甲) (2)y=5iiiwx *y=sin(wx+14.函数y = Acos（ wx+（）的最小正周期为 . y = Atan（ co x+4 ）的最小正周期 为.15. （1）两角和差公式sinsincoscossincoscoscossinsintantantano1 mtan tan(2)倍角公式sin 2cos2tan 22sin cos ；2. 222cos sin 2cos 1 1 2sin2 tan2 °1 tan（3）降哥公式2 sin1 cos 221 cos2；cos 2216、解三角形§ 1）正弦定理在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，

7、即a- b- 2R（ Rsin A sin B sinC为ABC外接圆的半径）。§ 2）正弦定理常见变形(1) - ba b ca sin Basin Aasin Ab sin Bc sin C,_ , ;sin Bc sin Ca sin Asin A sin B sinC ；bsinA, csin B bsinC , csin A asinC ；b ca b c o sin B sin C sin A sin B sin Cabc2Rsin A , b 2Rsin B , c 2RsinC , sin A ，sin B ,sin C 。 2R2R2R（R为三角形 ABC外接圆的半

8、径）（3）三角形的面积公式：一 1 一 一 1S 底局 rabc （ r 是 ABC 内切圆的半径） 221 . . _1. .1. 一 abc一absinC - bcsin A 一acsinB （ R为 ABC外接圆的半径）。2 224R§ 3正弦定理的应用（1）已知两角和一边，求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和其他两角。§ 4三角形解的个数问题图形关系式解的个数A为锐角Cca/ bb/aa/&，A/ 4， a=bsinAa> b一解C 6B AB1-，b2bsinAv a v b两解C 心J A-B-a v bsinA无解A为钝

9、角或直 角XbCXA 吊A/Ba> b一解CC溶A BA Ba< b无解在 ABC中，已知a, b和角A,以点C为圆心，以边长 a为半径画弧，此弧与除去顶点 A 的射线AB的交点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：§ 5余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的条弦的积的两倍，即a2 b22, 2c 2bccosA, b22ac cos B , c2, 2 八，八a b 2ab cosC。余弦定理的变形:cos A.222b c a2bc,cosB2. 22八 a b ccosC 2ab点评(1)若 C 90 ,则 c2a2 b2,这

10、就是勾股定理，由此可知，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。(2)由定理知：若 A为锐角，则角，则cosA 0,从而b2 c22cosA 0, b2_12a 0 ,即 b2c2c2a2a0 ,即 b2 c2;若A为直角,a2;若A为钝则 cos A 0 ,22b c2a。上述结论在解客观题时使用较方便。将 a2 b2 c2 2bccos A 与 b2c2 2ac cos B一 22c 2bccosA 2 ac cos B 0,即c acosB bcosA ,这就是二角形中的射影定理。§ 6余弦定理的应用(1)已知三边，求三角；(2)已知两边及其夹角，求第三边和其他两角

11、。知能解读：解三角形§7已知一边和两角(设为 b, A, B),解三角形的步骤(1) C 180 A B ;(2)由正弦定理得absin A(3)由正弦定理得cbsin Csin B§ 8已知两边及其夹角(设为 a, b , C),解三角形的步骤(1)由余弦定理得 c2 Va2b2_2abcosC ；(2)由正弦定理求边 a , b中较小边所对的锐角； (3)利用内角和定理求第三个角。§ 9已知两边及其中一边的对角(设为 a, b, A),解三角形的步骤(1)先判定解的情况；(2)由正弦定理得sin B bs"，求B ； a(3)由内角和定理得C 180

12、 A B ,求C;(4)由正弦定理或余弦定理求边c o§ 10已知三边a , b , c ,解三角形的步骤(1)由余弦定理求最大边所对的角；(2)由正弦定理求其余两个锐角。17、实际应用题 1坡角：坡面与水平面的夹角，如图。h2坡比：坡面的铅直局度与水平范度之比。即i - tan （I为坡比，为坡角），如图。3仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水 平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角。如图。4方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角（如图）5方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角。6基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线。在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确