新意不断亮点频现 高考数学函数题解析

1、.新意不断 亮点频现-2007年高考函数题赏析许晓进 共青团安溪县委员会 362400“以能力立意”是新高考数学命题的指导思想高考在考查数学基础知识的同时，注重数学学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的“交汇点”处设计试题，是2007年高考数学命题的一大亮点，而函数作为高中数学的核心内容，许多知识都可与其建立联系，从而围绕这根红线设计出了一大批内涵丰富、立意新颖、表述脱俗、背景鲜活、设问独特的好试题下面分析函数试题的几个新亮点 亮点1：以图像和表格形式呈现函数问题，考查学生对函数定义本质的理解函数的表示形式主要有三种形式，即表

2、格、图像和解析式，而表格和图像两种形式表达函数则较为直观、形象，这样命题既考查考生对函数定义的理解，又考查考生的阅读理解能力和分析、转化、解决问题的能力，似有“返璞归真”之意，体现高考对基础知识的考查力度和考查形式（毫克）（小时）例1（湖北文理）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为；（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生

3、方可进教室，那么， 药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室解析：（I）由题意和图示，当时，可设（为待定系数），由于点在直线上，将其代入解得；同理，当时，可得 为所求（II）由题意可得，即得或或，由题意至少需要经过小时后，学生才能回到教室点评：本题属于阅读理解型试题，主要考查正比例函数、指数型函数、分段函数的基本知识以及数形结合思想和待定系数的方法，考查考生的阅读理解能力、识图能力、运算能力和运用函数思想解决实际应用问题的能力本题图文并茂，形象直观，以图像呈现内容，让考生从图像当中提炼出有用信息，并加以解决，避免知识单一化，实现知识的整合例2（北京理）已知函数，分别由下表给出1231

4、31123321则的值为；满足的的值是解析：=；当x=1时，不满足条件；当x=2时，满足条件；当x=3时，不满足条件 只有x=2时，符合条件点评：本题形式新颖、灵活，以表格形式出现，主要考查考生对图表的识别和理解能力，考查函数的基本问题，属于送分题亮点2：以立体几何为载体考查函数问题，实现知识间的“交汇融合”例3（广东理）如图1所示，等腰三角形ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE，表示四棱锥P-ACEF的体积 （1）求的表达式； （2）当为何值时，V(x)取得最大值？ （3）当取得最

5、大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值 图1解析：（1）由折起的过程可知，PE平面ABC，易得：，V(x)=（）（2），所以时， ，V(x)单调递增；时 ，单调递减；因此时，取得最大值（3）过F作MF/AC交AD与M,则，PM=，在PFM中， ，异面直线AC与PF所成角的余弦值为点评：本题主要考查函数、函数极值、导数及其应用、几何体体积计算、空间两异面直线所成角的计算等基础知识，考查数形结合思想以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力本题以立体几何搭建平台，首先建立函数关系，是解决本题的关键，然后以导数作为工具求最值，实现知识的迁移和应用，思维跨度比较大，但顺利自然，贴切而又生动，真正

6、实现了知识之间的融合与交汇，考查了学生的综合思维品质和驾驭数学知识解决数学问题的能力另外，第（3）问还可以用向量方法去解决，此处略例4（湖南理）如图2，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元已知，（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小（III）在上是否存在两个不同的点，使沿折线修建公路

7、的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论AEDBHP图2解析：（I）如图3，由三垂线定理逆定理知，所以是山坡与所成二面角的平面角，则，设，则记总造价为万元，据题设有当，即时，总造价最小（II）设，总造价为万元， 图3根据题设有则，由，得当时，在内是减函数；当时，在内是增函数故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元（III）解法1：不存在这样的点，事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与之间故可设位于与之间，且=，总造价为万元，则类似于（I）、（II）讨论知，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样

8、的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价解法2：同解法1得当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法1点评：本题以实际问题为出发点，以立体几何为背景和载体，主要考查函数的基本性质及用导数求极值的思想方法，考查应用能力和计算能力这种命题形式打破了以往纯立体几何和纯函数问题命题的格局，使学生思考的方法和范围超越了固有的思维空间，使问题本身的综合性得到进一步加强，是一道具有较高区分度的试题，也为高校选拔优秀人才提供了很好的素材将函数问题嵌入立体几何问题中，使问题情景生动而又别致新颖，使函数的基础知识提升到一个新的高度，真正体现了函数与其它知识“交汇”的新特点，这是未来高考

9、对函数考查的一个新方向亮点3：以解析几何为背景考查函数问题，实现知识间的纵向整合与碰撞例5（北京理）如图4，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值 图4 图5解析：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图5），则点的横坐标为，点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为，即梯形面积的最大值为点评：本题是一道靓题，以解析几何为原材料，考查函数的基础

10、知识及导数的应用，考查最值的求法，将函数与解析几何两块主体内容有机地渗透和联系在一起这种在交汇点设计的试题，注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识的考查点，又能从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，能对基础知识考查达到必要深度，可谓视角独特、回味无穷亮点4：以函数为主线和出发点，考查函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等多个内容，实现知识大聚会例6（四川理）设函数()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项；()对任意的实数x,证明；()是否存在,使得恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值；若不存在,请说明理由解析：（）利用二项展开式的有关结论知，该展开式中二项式系数

11、最大的项是第4项，这项是（）证法1：因证法2：因，而，故只需对和进行比较令，有，由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即，故有恒成立所以，原不等式成立（）对，且，有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立点评：本题将函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等多个内容融为一体，考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识本题打破“条件完备，结论明确”的命题框架，设计“条件不完备或结论不明确”的开放性试题，重在考查学生的思维品质和进行探究性学习的能力，属于难度较大，综合性较强，知识点较多的试题已知函数的结构特征注定了后继问题的设置，这样既看到了函数的“

12、大度”和“包容”，又开拓了函数内容的“视野”广泛性，这些都无不显示出命题者的智慧，也为今后高考函数部分的命题提供了一个思维方向和模板亮点5：以函数为生命线，与方程联袂，考查函数、方程、不等式、数列等知识例7（浙江文）已知 (I)若k2，求方程的解； (II)若关于x的方程在(0，2)上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明解析：（）当k2时，当时，即或时，方程化为，解得，因为，故舍去，所以当时，即时，方程化为，解得由得当k2时，方程的解所以或 (II)不妨设0x1x22，因为，所以在（0,1上是单调函数，故在（0,1上至多一个解若1x1x22，则x1x20，故不符题意，因此0x11x22由

13、得，所以；由得，所以；故当时，方程在(0，2)上有两个解当0x11x22时，由此两式消去k 得，即，因为x22，所以点评：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力需要考生有较扎实的理论知识及较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力本题以函数作为主线，与方程联袂，以求参数的取值范围和证明不等式为最终归宿，充分体现了主干知识在高考中的地位和要求，考查考生的综合数学素养和各种能力例8（广东文）已知函数,是方程的两个根(),是的导数,设 (1)求的值；(2)已知对任意的正整数有,记,求数列的前项和解析：(1)由已知条件及

14、求根公式得, (2)， 数列是首项,公比为2的等比数列， 点评：本题主要考查函数、导数、一元二次方程、对数、数列等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法以及抽象概括能力、逻辑推理论证能力、运算求解能力和创新意识等本题以考生熟悉的一元二次方程作为基础，联系函数、导数和数列知识，使问题的综合性得到进一步加强，真正体现优秀考题的选拔功能亮点6：以函数作平台，以导数作工具，考查线性规划问题例9（全国卷文）已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，且（）证明；（）若，求的取值范围解析：求函数的导数（）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根所以，当时，为增函数，由，得（）在

15、题设下，等价于即，化简得，此不等式组表示的区域为平面上三条直线，和所围成的的内部，其三个顶点分别为：和，在这三点的值依次为，所以的取值范围为ba2124O点评：本题主要考查了函数导数、极大值与极小值、方程的根解问题以及利用线性规划来求取值范围问题，考查了运算求解能力、知识迁移能力和数形结合的数学思想方法本题选取了全新的角度，以函数的知识作为平台，引入极值，借导数这一工具来考查线性规划问题，将函数、导数、线性规划融为一体，使得新增的导数和线性规划知识有机结合，既使问题有了新意，又增加了题目的含金量，更显示出高考压轴题目的“高端”之处全新的问题情景，对学生独立获取信息、加工信息和信息迁移的能力是一个考验，具有极大的挑战性，充分体现了“学会捕捉问题中的有用信息，进