10考研高等数学强化讲义(第五章)全VIP

1、第五章向量代数与空间解析几何§ 5.1向量代数（甲）内容要点一、空间直角坐标系二、向量概念坐标x, y, z模 a =*x2 y2 z2方向角 -, 方向余弦 cos.：, cos ：, cos三、向量运算设 a Xi，yi，Zi ;b 乂2。2?2 ;c X3, y3，Z31 .力口（减）法 a _ b KX - X2, y1 y2, Zi Z22 .数乘a =：&Xiyi, z_11 -r_ _3 .数量积（点乘）（i）定义a b = ab cos/a,b ）（ii）坐标公式 a b =x1x2 + y1y2+z1z2（iii）重要应用 a b = 0 u a.L b _

2、 1 1 _ ' -4 .向量积（叉乘）（i）定义 a 乂 b = |a|b sin/（a, b ）a Mb与a和b皆垂直，且a,b,axb构成右手系一ijk（ii）坐标公式a x b =x1y14X2y2Z2（iii）重要应用aMb=0u a,b共线5.混合积（i）定义 a,b,ci=:'a b cX yzi（ii）坐标公式（a,b,c ）= X2 y2 Z2X3 y Z3（iii） （a,b,c ）表示以a,b,c为棱的平行六面体的体积口诀（36）：点乘为零判垂直；叉乘为零是平行；混合积为零共面；体积就加绝对值。（乙）典型例题例1 .点P到过A, B的直线之间的距离例2 .

3、点P到A, B, C所在平面的距离一，八1c因为四面体PABC的体积V =gd S冷bc又 V =1(PA, PB, PC )6例3.过点A, B与过点C, D的异面直线之间的距离因为CD = CD§ 5.2 面与直线（甲）内容要点一、空间解析几何1 .空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x,y和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）2 .距离公式 空间两点A（x1，y1，乙）与B（X2, y2 ,Z2 ）间的距离d为3 .定比分点公式M （x, y, z ）是AB的分点： 3=九，点A,B的坐标为

4、A（x1，yz ）, MBB（x2,y2,Z2 ）,则当M为中点时，二、平面及其方程4 .法（线）向量，法（线）方向数。与平面兀垂直的非零向量，称为平面 n的法向量，通常记成 n。法向量1m, n, p）的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面冗，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。5 .点法式方程已知平面n过M(Xo,yo,Zo谅，其法向量n=A,B,C,则平面n的方程为或n r - h = 0其中° =10, yo,Zo ：,r 'x,y,z；6 . 一般式方程其中A, B,C不全为零。x, y,z前的系数表示冗的法线方向数，n =A,B,C是n的法 向量特别情

5、形：Ax +By + Cz = 0 ,表示通过原点的平面。Ax + By + D = 0 ,平行于z轴的平面。Ax +D = 0 ,平行yOz平面的平面。x =0表示yOz平面。4 .三点式方程设A(x1，必，乙)，B(x2,y2,z2), C(x3,y3,z3)三点不在一条直线上。则通过A,B,C的平面方程为Ax + B1y+C1z + D1 =05 .平面束设直线L的一般式方程为 ，则通过L的所有、A2x + B2y+C2z + D2 = 0平面 方程为 KdAx + By+Cz 十Di )+K2(A2x+B2y + C2z+D2 )=0 ,其 中ki,k2 : 0.06 .有关平面的问题

6、两平面为：Ax + Biy + Ciz + Di =0 法向量 ni(A,B,Ci)再与用2间夹角件)(就是耳与n2之间夹角),日口 ni “2、 同同垂直条件平行条件重合条件7 .设平面兀的方程为Ax + By +Cz+D = 0 ,而点M (x1，yi,乙功平面几外的一点,则M到平面n的距离d :三、直线及其方程1 .方向向量、方向数与直线平行的非零向量 S,称为直线L的方向向量。方向向量的坐标称为方向数。2 .直线的标准方程（对称式方程）。其中（Xo,yo,Zo ）为直线上的点，l, m,n为直线的方向数。3 .参数式方程：4 .两点式设A（xi,yi,zi ）, B（X2,y2,Z2

7、）为不同的两点，则通过 A和B的直线方程为5 . 一般式方程（作为两平面的交线）6 .有关直线的问题两直线为x -x _ y - -z-z1ni方向向量S1 (li,mi, ni)11与l 2间夹角W ）（就是§与S2之间夹角）(即 _S_SL)S1 S2垂直条件平行条件limi四、平面与直线相互关系 平面n的方程为：Ax +By +Cz + D =0| 法向量 n(A,B,C)直线L的方程为:x 一迎_ l=_z_z° .向量 s(l,m,n) mnL与n间夹角气）(=cos& = n- ) ln|s|L与n垂直条件L与冗平行条件L与冗重合条件L上有一点在n上（乙

8、）典型例题x-y-z+1=0例1.求通过Mo(1,-1,2抑直线l :1的平面方程。2x+ y + z -5 = 0解：通过l的所有平面的方程为其中K1, K2为任意实数，且不同时为 0。=2，代入方程得1的平面今把M o0,-1,2 X弋入上面形式的方程得由于方程允许乘或除一个不为0的常数，故取 K2 =1,得K1即 4x-y-z-3=0它就是既通过点Mo又通过直线l的平面方程。'x+ y 2z+3 = 0 一222例2.求过直线，且切于球面x + y + z2x - y + z = 0解：过所给直线除平面 2x-y+z = 0外的其它所有平面方程为即(1 +2九 x+0 九 N 十

9、(九一2R+3 = 0(*);球面与平面相切，因此球心到平面距离应等于半径0+0+0+31于是:2 =11 2 . j，11 - , 1 - 2 2o1 , . 19得 6 1 - 2 :i!，3 =0.，=6代入(*)得两个所求的平面§ 5.3 面与空间曲线(甲)内容要点一、曲面方程1 . 一般方程F x,y,z)=0|x = x u,v2 .参数方程,y = y(u,v)(u,vFD (平面区域)、z = z(u, v )、空间曲线方程1. 一般方程1（x, y,z）=0F2& y,z）=0x = x t3 .参数方程y = y t ：- < t < 1z =

10、 z t三、常见的曲面方程1.球面方程设Po(X0,yo,Z0 )是球心，R是半径，P(x,y,z)是球面上任意一点，则|同=乩 即X - x0 ) 1 y - y0Z _ Z0- R °2.旋转曲面的方程f(x,z )=0,(i)设L是xOz平面上一条曲线，其方程是L绕Z轴旋转得到旋转曲面，y = 0.设P(x,y,z )是旋转面上任一点，由点 外仪0,0,4晚转而来(点M(0,0,z)是圆心)。由x0 = MP0 = MP =«x2 + y2 , z0 = z得旋转面方程是f (±'x2 + y2 ,z )= 0 ；(ii)求空间曲线，式“'&

11、quot;)一°绕2轴一周得旋转曲面的方程 2(x,y,z)=0第一步：从上面联立方程解出x=f(z), y = g(z)第二步：旋转曲面方程为 x2 , y2 = f2 z g2 z曲线C的方程F(x,y,z )=0、G(x,y,z )=0绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理3.二次曲面曲面名称方 程曲面名称方 程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面四、空间曲线在坐标平面上的投影曲线C在xy平面上的投影先从曲线C的方程中消去 Z得到H (x, y )= 0 ,它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么7 (x,y

12、)=。 z = o就是C在xy平面上的投影曲线方程曲线C在zx平面上投影或在 yz平面上投影类似地处理(乙)典型例题例1 .求以点A0,0,1 )为顶点，以椭圆-22上 L 7259 ，为准线的锥面方程。z = 3,解:过椭圆上任一点P(x°, yo, zo )的母线方程为x°t=yot因为点(xo, yo, zo )在椭圆上，所以=1zo -1 t -1 2t2x25t22y 2 = 1。而9t2z-1. .一、一 .、一 x2，将其代入椭圆方程，得锥面的方程为2252z-1422 ,例2.求旋转抛物面z = x + y与平面y + z =1的交线在xy平面上投影方程解：

13、从曲线方程2.2z = x + yx y中消去z,得曲线向j+z=1xy平面得投影柱面方程x2+y2+y =1。于是曲线在xy平面商得投影曲线的方程为x2x =1 -2t例3.求直线L : < y = 3 +t在三个坐标面上的投影;z = 2-3t解：在三个坐标面上的投影分别为|x 二1 - 2t1 n在xy平面上：<y=3+t z = ox = 1 2t2 口在xz平面（y = 0'x = 03 在yz平面上4 y = 3 + tz =2 -3tx -1 y z -1 一例4.求直线L: =上=在平面冗：x y+2z1 =0上的投影直线 匕的方11-1程，并求L0绕y轴一周所成曲面