2017-2018学年高中数学第二章平面向量1从位移、速度、力到向量教学案北师大版必修4

1、1 从位移、速度、力到向量核心必知核心必知1.1.位移、速度和力位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的.2 2 .向量的概念(1)(1) 向量的定义：在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量.(2)(2) 向量的表示法1有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段.2向量的表示法( (i) )几何表示法：用有向线段表示，若有向线段的起点为A终点为B,则该有向线段记作:AB.盘 牛f).=(ii)(ii)字母表示法：用黑体小写字母a，b，c，表示，书写用 - 表示.(3)(3) 向量的模( (长度) )向量( (或

2、a) )的大小，称为向量 -( (或a) )的长度，也叫模，记作| |(|(或| |a|)|).(4)(4) 与向量有关的概念零向量长度为零的向量称为零向量，记作0 0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1 1 的向量，叫作a方向上的单位向量，记作ao自由向量由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作a=b问题思考 辨析问険斛就惑( (tfiiLjf i*t isAuf ifiu/tnK自至常习植理主，干预习导引区-2-平行( (共线) )向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.a

3、与b平行或共线，记作a/b.零向量与任一向量平行-3-问题思考1 1 有向线段就是向量，对吗？提示：不对.有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以 用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量.2 2 相等向量的起点相同，对吗？提示：不对.相等向量是指长度相等且方向相同的向量.所以，两个向量只要长度相等，方 向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关.能力提升I$拔高和课深化提能夺高分讲一讲1 1判断给出下列命题是否正确，并说明理由.(1)(1)若 | |a|b| |，贝 U Ua b；若 | |a| | = | |b| |，贝 U Ua=b；向就莊和向就丽的长度相等帛(

4、4)若与b是共线向量:(5)若垃；W与向星Clj是共线向量，则A.B.C.D四点 共缓尝试解答 不正确.向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量,方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系.(2)不正确.两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的 向量；(3)正确.向量丽与臥的长度都等于线段八B的长度甲故(3正确.(4)正确.若a =趴说明向量与b的模相等*且方向相同, 是共线向童.知识突破I重点知逞步步採究穂根基知识点 1向量的有关概念4-C重点知识+讲透练令】I课堂互动区-4-(3)不正确.若向量丽与向量CD是共线向量级则向量丽与所在的

5、直线平行或重合*因此不一定共线.类题-通法1 1 对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小.2.2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量.3 3 .零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性.练一练1 1 .给出下列命题(1)(1) 若| |a| | = 0 0,则a= 0 0;(2)(2) 若a=b,则 | |a| | = | |b| |;(3)(3) 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；(4)(4) 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(5)(5) 两个有共同终点

6、的向量，一定是共线向量；其中正确命题的个数是( () )A.A. 1 1B.B. 2 2C.C. 3 3D D. 4 4解析：选 B B (1)(1)不正确.零向量与数字 0 0 是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0 0是一个实数，没有等量关系；(2)(2) 正确.两向量相等，其长度必然相等；(3)(3) 不正确.若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(4)(4) 正确.相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；(5)(5) 不正确.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.向量的几何表示-1【重点知识讲透练金】I知识点 2-5-讲一讲2 2 小李离家从A点

7、出发向东走 2 2 kmkm 到达B点，然后从B点沿南偏西 6060走 4 4 kmkm,到达C点，又改变方向向西走 2 2 kmkm 到达D点.(1)(1)作出(2)(2)求小李到达D点时与A点的距离.尝试解答(1)作工反BidO如图所示辛(2)依题意四边形ABC7为平行四边形.二AD = 13C=l.即小李到达D点时离A点 4 4 km.km.类题通由.彳丁力肖令i.i.用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点.2 2 .确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形 的性质等.2.2.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田

8、”字.如下图所示，在中国象棋的半个棋盘(4(4X8个矩形中，每个小方格都是单位正方形) )中，若马在A处，可跳到Ai处，也可跳到 A A 处,解：如图，以点C为起点作向量( (共 8 8 个) )，以点B为起点作向量( (共 3 3 个) ).用向量表示马走了“一步”B C处走了一步的所有情况.，试在图中画出马在-6-77.41、V/-7-讲一讲3 3如图所示，0为正方形ABCD寸角线的交点，四边形OAED OCFB是正方形在图中所示的向量中:(1)(1)分别写出与:相等的向量;1)Y|A?)| = |(X| = |BF|,且廡与禾)的方向相同：与丟)相等的向量是O(;.BF.同理与 负)相等

9、的向量是兀巨(2)TAODEBFM*6(：三点共线奠題-通法1 1.在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质.2 2 寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素.练一练3.3.如右图，四边形ABCD CEFG CGH都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是( () )相等向量与共线向量I【拔高如识-拓宽提鉅】I(2)(2)写出与、共线的向量.尝试解答与AO线的向量是PE.(XRF,C(X-8-Ati-9-A.AB = EF1兀与可了共线CBD

10、=EHIX了元与共线解析：选C由题意知，AB= EF A成立;又AB/ FH DC与EC共线都成立， B B, D D 成立.而BD不一定等于EH故 C C 不一定成立.同样啊结果不一样的过程*节宵解題时间也是捋分!直角坐标平面内.动点P满足丨1 = 1(0为唯标原 点儿乂他定点Q( 3.求向址甩的模的取值范围.巧思I I; ;I I = 1 1 说明点P到定点o的距离为 1 1,即P在以原点为圆心，以 1 1 为半径的圆表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决.B两点，由平面知识易知：当P运动至A，B两点时，向量-|分别取最小值，最大值, rLK2V ()Q| =/( 3)2+42=

11、 5.AQ =51 = 4,*.* | BQ| = 5+1 = 6*A|PQ|的取值范團为4,6.解题高手|妙解题上，Q点在圆外,妙解如图，由小小= =1 1 知动点P的轨迹是单位圆，连接QC并延长与单位圆相交于A,-10-L. . “陀”和冷护什和让“g 令窿蛛习 固本提陡勺学业水平达标1 1.下列物理量：质量；速度；力；加速度；路程；密度；功.其中不是向 量的有（ ）A A. 1 1 个B B. 2 2 个C.C. 3 3 个 D D . 4 4 个解析：选 D D 本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两 个要素：大小和方向，因为是既有大小，又有方向的量，所以

12、它们是向量；而只 有大小而没有方向的量，所以不是向量.2 2 .给出下列命题：起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；起点相同的两个相等的非零向量的终 点相同；两个平行的非零向量的方向相同；两个共线的非零向量的起点与终点一定共线其 中正确的是（ ）A A.B B .C.C.D D .解析：选 B B 起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故不正 确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故正确；两个平行的非零向量的方向相同或 相反，故不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故 不正确.3.3.设0为厶ABC的外心，则 -是 （）A.A

13、. 相等向量B.B. 平行向量C.C.模相等的向量达标蜒1I学业水平小测让爭! 生趙热打伕消化所学.! ! stst竦谡度又球准度I能力练课下能力提升,捉速 提能.毎课一检测，步训练提能区-11-D.D.起点相同的向量解析：选 C C 显然AO BO CO互不平行，但长度相等，所以 I I I I= = | | BQ|BQ| = = I IQ|.4 4如图所示，四边形ABCD四边形ABD郵是平行四边形.若，=3 3，则向量的模等于 : 解析： 相等向量既模相等，又方向相同，所以与山 3 相等的向量有(2)若|丽|=4则|丽| = |万0=3.:.IEC| =2X3=6*答案tUyAB.DC(2

14、)65.5._如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出 _个互不相等的非零向量.I I LA B C D解析：可设AD的长度为3,那么长度为1的向量有个冷 其中鬲=BC=CD.BA=CB = T)C,长度为2的向量有4个密其中犹=Bf)fCA=DB长度为3的向量有2个分 别是兀 Q 和所以最多可以写出6个互不相等的向量*答案：6 66 6 .我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名

15、设某城市的地图如图( (街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1 1 个单位) )：请作出某人从经 1 1 纬 2 2 路口走到经 3 3 纬4 4 路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小.(1)(1)与向量丘匚相等的向量有-12-解：如图，用向量表示某人的位移.位移的大小为，2 22+ 2 22= 2 2 2 2 个单位长度.从A走到B,必然向右走 2 2 个单位，向下走 2 2 个单位，所以走过的路程为 4 4 个单位长度.、课下能力提升（十三）一、选择题1 1 .给出下列命题：若a=b,则 | |a| | = | |b| | ；若 | |a|b| |，则a tan 0=兰=阿，|

16、AB|4经 1 经 2 经 3 经彳经 5纬 2韩 31-13-6060 . .3 3 .下列说法中正确的是（）A.A. 平行向量一定方向相同B.B. 共线向量一定相等C.C. 起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量D.D. 与任意向量都平行的向量不一定是零向量解析：选 C C 非零平行（共线）向量要么方向相同，要么方向相反，所以A A、B B 均不正确；只有零向量与任意向量平行，故 D D 不正确；C C 正确.4.4. 已知集合A=与a共线的向量,B= 与a长度相等的向量 ,C= 与a长度相等，方向相反的向量，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是（）A A.C AB B.An

17、B=CC.C.C BD D.AnB C解析：选 B B / /AnB中还含有向量a,故 B B 错.二、填空题5.5. 如图，在四边形ABCDK 且|AB| = |A/5|则四边形ABCD_解析：由=DC且AH =DC所以四边形为平行四边形又|丽| =AI）.因此四边形ABCD为菱形*答案：菱形6.6.在? ?ABCD中,E,F分别是AB CD勺中点，如图所示的向量中，设J=a,，=b,-14-则与a相等的向量是_ ；与b共线的向量是_.答案：FT7 7 如图，设每一个正方形小方格的边长为 1 1，则向量GH的长度从小到大排列依次为 _ 解析:|=/22+22=2|(7)| =3； | EF|

18、 = 4；| FG| =/厂+3, =； GH=/ + 3, = 3罷.答案：2/2,3,4, /T.3吃8.8.如图，已知矩形ABCDK设点集 M=M= A, B, C, D ,集合T= PQ| |P、Q QM,且PQ工 00 则集合T中有_个元素.解析：集合T= PQ| |P、Q M且PQ工 00中的元素为非零向量PQ，且向量的起点与终点lir分别为矩形的顶点A、B、C、D根据集合元素的互异性，得集合T=A乩BA,Ab.DA.AC.CAb.DB共含有 8 8 个元素.答案：8 8三、解答题9 9 .一架测绘飞机从 A A 点向北飞行 200200km到达 B B 点，再从 B B 点向东飞行 100100km到达 C C 点，再从 C C