2015年山西省太原市第五中学高三五月月考试卷 数学(理)

1、2015届山西省太原市第五中学高三五月月考试卷数学(理)一选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合, ， 则= （ ）A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数的虚部为 ( )A- B Ci D- i3将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A. B. C. 0 D. - 4阅读程序框图，若输入，则输出分别是（ ） A B C D5某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科文科141312118 6 69 8 810 9 8 9 80 12 6 8 86 9 96第（5

2、）题 图理科总分前10名学生的数学成绩（满分150分）抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图.若从数学成绩高于120分的学生中抽取3人，分别到三个班级进行数学学习方法交流，则满足理科人数多于文科人数的情况有( )种A 3081 B 1512 C 1848 D 2014 6某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）正视图侧视图俯视图A B C D7下列说法正确的是（ ）A命题“若 , 则 ”的逆否命题是“若, 则或”;B命题“, ”的否定是“, ”；C“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件；D已知命题；命题 , 则 “为真命题”.

3、8. 已知点M是DABC的重心，若A=60°，则的最小值为（ ）A B C D29设分别是方程和的根(其中), 则的取值范围是( )A. B. C. D. 10已知数列的前项和为，且，在等差数列中，且公差.使得成立的最小正整数为（ ）A2 B3 C4 D5 11已知为抛物线的焦点，点A、B在该抛物线上且位于轴两侧，且（O为坐标原点），则与面积之和的最小值为( )A. 4 B. C. D. 12已知函数设函数且函数的零点均在区间内,则的最小值为（ ） 二填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）13已知，则展开式中的常数项为_14任取,直线与圆相交于两点，则的概率是 15. 已知数

4、列的前项和为， 满足， 则 16已知， 若 且（a,b,cÎR），则实数的取值范围是 三解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17( 本小题满分12分) 在中，若，且 （1）求角的大小； （2）求的面积.18. ( 本小题满分12分) 某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.活动次数参加人数512510152032第18题图（2）从该班中任意选两名学生，用表示这两

5、人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.（3）从该班中任意选两名学生，用表示这两人参加活动次数之和，记“函数在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率.19(本题满分12分)已知四棱锥中，且底面是边长为1的正方形，是侧棱上的一点(如图所示).（1）如果点在线段上，且，求的值；PCDABEF第19题图（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.20(本题满分12分)已知椭圆的离心率为,且过点,抛物线的焦点坐标为.（1）求椭圆和抛物线的方程；(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别是，直线交椭圆于两点.(i)求证：直线过定点，并求出该定点的坐

6、标；(ii)当的面积取最大值时，求直线的方程.OxyMBALQP第20 题图21.(本小题满分12分)已知函数（1）若直线是曲线的切线，求的值；（2）若直线是曲线的切线，求的最大值；（3）设是曲线上相异三点，其中求证：ACPDOEF B选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为上一点,AEAC ,交于点,且, （I）求的长度. （II）若圆F与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度23.(本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已

7、知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为(1)求圆心C的直角坐标；(2)由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数 (1) 解关于的不等式； (2) 若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.2015届山西省太原市第五中学高三五月月考试卷参考答案数学(理)一CBBAC BDBAC BC 二13 _-20_ ；14. ；15.- ；16. , 三解答题17. 解：（1）由题可知：在DABC中，÷÷ = 2, ×cosC + ×cosA = ×sinB，因为： + ，×cosC +

8、 ×cosA = （+）×sinB，即：（cosC sinB） + （cosA sinB） -2分而、是两不共线向量，所以：Þ cosC cosA，0 < A,C < p , A = C , DABC 为等腰三角形.在等腰DABC中，A + B + C p ， 2A + B = p , A = - ；由上知：cosA = cos( - )= sin = sinB, sin = 2sincos, cos , 0 < < , = , B = ,-6分（2）由（1）知：则A = C = , 由正弦定理得：= , ÷÷ = 2

9、, SDABC = ÷÷×÷÷sin = ×2×2 ×= -12分18.解：（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：P = = ,故P = 1 - = .-4分(2) 从该班中任选两名学生，用x表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则x的可能取值分别为：0 ，1，2，于是P(x = 0)= , P(x = 1)= = ,P(x = 2)= = , 从而x的分布列为：x 0 1 2P Ex = 0´+ 1´ + 2´ = .-8分(3) 因为函数f(x) = x2 -

10、 hx 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点，则f(3)×f(5) < 0 , 即：(8 - 3h)(24- 5h) < 0 , < h < -10分又由于h的取值分别为：2,3,4,5,6,故h = 3或4, 故所求的概率为：P(A)= = .-12分19解：(1)连接CF并延长交AB于K，连接PK，因为：EF/平面PAB ,EFÌ 平面PCK，平面PCKÇ平面PAB = PK， EF/ PK，因为DF=3FB，AB/CD ， CF=3KF，又因为：EF/ PK， CE= 3PE, = -4分(2) 以C 为原点，CD，CB，CP所在直

11、线为x轴，y轴，z轴建立空间坐标系PCDABEF第19题图Kxyz（如图所示）则有：C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, ),F(,0)故= (,- ),= (,- ,0)= (,0)-6分设= (x1 ,y1 ,z1)是平面BEF的一个法向量则有：,取x=1得：= (1，1，)-8分同理：平面CEF的一个法向量为：= (3,-1,0) -10分cos<,> = = 所以：二面角BEFC的余弦值为：- .-12分20解：(1)椭圆C1：+ y2=1；C2：x2=-2y -4分(2)(i)设点M(x0,y0),且满

12、足2x0-4y0+3=0,点A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 对于抛物线y= - ,y¢ = - x , 则切线MA的斜率为-x1 ,从而切线MA的方程为：yy1=-x1(x-x1),即：x1x+y+y1=0 ,同理：切线MB的方程为：x2x+y+y2=0 ， 又因为同时过M点，所以分别有：x1x0+y0+y1=0和x2x0+y0+y2=0，因此A，B同时在直线x0x+y+y0=0上，又因为：2x0-4y0+3=0，所以：AB方程可写成：y0(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线AB过定点：(- ,- ).-6分(ii)直线AB的方程为：x0x+y+y0=0，代入椭圆方

13、程中得：(1+4x02)x2+8x0y0x+4y02-4=0令P(x3,y3),Q(x4,y4) , D = 16(4x02- y02+1)>0,x3+x4 = - ；x3x4 = |PQ| = ·= ·-8分点O到PQ的距离为：d= 从而SDOPQ = ·|PQ|·d = ×·×= 2×£ =1 -10分当且仅当y02 = 4x02- y02+1时等号成立,又2x0-4y0+3=0联立解得：x0= ,y0= 1或x0= - ,y0= ；从而所求直线AB的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10

14、=0-12分21.解：(1)设切点为(x0,lnx0), k=f¢(x)= = ,x0 = 2 ,切点为(2,ln2),代入y= x + m得：m = ln2-1.-4分(2)设y = ax+b切f(x)于(t,lnt)(t>0), f¢(x)= , f¢(t)= ,则切线方程为：y = (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1ab= (lnt-1), 令g(t)= (lnt-1), g¢(t)= - (lnt-1)+ = 若tÎ(0,e2)时，g¢(t)>0， g(t)在(0,e2)上单

15、调增；tÎ(e2,+¥)时，g¢(t)<0, g(t)在(e2,+¥)上单调递减；所以，当t= e2时，ab的最大值为：g(e2)= (lne2-1)= -8分(3)先证：<< ,即证：<< , 只证：1- <ln< - 1 , 令= t >1, 设h(m) =lntt +1 ,h¢(m)= - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ¥)上单调递减，则h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,即证：ln< 1. 以下证明：1- <ln令p(t)= lnt+-1 , p¢(t)= - >0 , 所以：p(t)= lnt+-1在(1,+ ¥)上单调递增，即：p(t)>p(1)= 0 ,即有：lnt+-1>0, 1- <ln 获证.故<< 成立 ,同理可证：<< ，综上可知：> 成立-12分选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22.解：（I）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系ACPDOEF B结合题中条件弧长等于弧长可得,又,从而,故, 4分