2015年江西省九江一中等八所重点中学高三联考数学文试题 （解析版）

1、2015届江西省九江一中等八所重点中学高三联考数学文试题 （解析版）【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1设全集，集合，集合，则（ ）A B C D【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：，【思路点拨】主要考查集合之间的关系和集合运算.【题文】2若复数满足，则的虚部为（ ）A B C D 【知识点】复数的基本概念及运算. L4【答案】【解析】B 解析：由得，所以的虚部为【思路点拨】主要考查复数的基本运算，复数的定义.【题文】3已知为坐标原点，点坐标为(2，1)，在平面区域上取一点，则使取得最小值时

2、，点的坐标是( ) A.(0，0) B. (0，1) C. (0，2) D. (2，0) 【知识点】简单的线性规划问题. E5【答案】【解析】B 解析：做出不等式组表示的平面区域，得如图的三角形ABO及其内部，其中A（2,0），B（0,2）,O(0，0)，点N是区域内动点，运动点N可得坐标为（0,1）时，MN垂直y轴，此时,取得最小值2，故选B.【思路点拨】做出不等式组表示的平面区域，再将区域内点N进行移动并加以观察，可得当N坐标为（0,1）时，取得最小值，由此即得答案。【题文】4已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（ ）A B C D【知识点】抛物线及其几何性质. H7【答案】【解析】C 解

3、析：把化为，即2，又p=2,所以a=.【思路点拨】主要考查了抛物线的定义，标准方程及其性质的应用.【题文】5已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（ ）A. B. C.6 D.【知识点】函数的奇偶性与周期性.B4【答案】【解析】B 解析：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时f（x）=3x+m（m为常数），f（0）=30+m=0，解得m=-1，故有x0时f（x）=3x-1f（-log35）=-f（log35）=-（3log35-1）=-4【思路点拨】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（-log35）=-f（log

4、35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确答案.【题文】6正项等比数列满足：，若存在，使得，则的最小值为()A. B. C. D.【知识点】等比数列及等比数列前n项和. D3【答案】【解析】C 解析：正项等比数列满足：即：，解得（舍），或存在，使得m+n=6，的最小值为【思路点拨】正项等比数列满足：，知q=2，由存在，使得，知m+n=6，由此问题得以解决【题文】7已知函数，则下列结论正确的是（ ）A.是奇函数 B.在上递增 C.是周期函数 D.的值域为【知识点】三角函数的图像与性质. C3【答案】【解析】C 解析：由题意可得：=，故A，B不正确，C正确当 x2k+，2k+时，f（x），1当

5、 x2k，2k+时，f（x），1故可求得其值域为，1，故D不正确【思路点拨】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之【题文】8执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A3 B4 C5 D6【知识点】算法与程序框图. H1【答案】【解析】C 解析：s=1+（1-1）2=1，不满足判断框中的条件，k=2，s=1+（2-1）2=2，不满足判断框中的条件，k=3，s=2+（3-1）2=6，不满足判断框中的条件，k=4，s=6+（4-1）2=15，不满足判断框中的条件，k=5，s=15+（5-1）2=31，满足判断框中的条件，退出循环，输

6、出的结果为k=5【思路点拨】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环输出结果.【题文】9已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【知识点】空间几何体的三视图和直观图. G2【答案】【解析】C 解析：该几何体体积=(4 4 )4-(24)4=【思路点拨】这个题不难，关键在于画出立体图形，是一个横着的三棱柱从上面截去一个三棱锥（底在左边，顶点在右边）。【题文】10已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. (1,2B. 2 +) C. (1,3 D. 3，+)

7、【知识点】双曲线及其几何性质. H6【答案】【解析】C 解析：由定义知：|PF1|-|PF2|=2a，所以|PF1|=2a+|PF2|，+4a+|PF2|8a，当且仅当=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号,设P（x0，y0） （x0a），由焦半径公式得：|PF2|=-ex0-a=2a，又双曲线的离心率e1，e（1，3，故选C【思路点拨】本题主要考查双曲线的定义及几何性质，均值定理的应用【题文】11. 已知为球的直径，是球面上两点，且若球的表面积为，则棱锥的体积为（ ） ABCD 【知识点】多面体与球. G8【答案】【解析】A 解析：如图，由题意球O的表面积为64，可得球的半径为：4，知O

8、P=OC=OA=OB=4，AB=6，APC=BPC=ACP=BCP=，PAC=PBC=，AOPC，BOPC，PC平面AOB，BP=BC=4，SOAB=ABh=6=3，棱锥APBC的体积V=PCSOAB=故选：A【思路点拨】由题意知OP=OC=OA=OB=4，APC=BPC=ACP=BCP=，PAC=PBC=，求出棱锥APBC的体积【题文】12已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【知识点】导数的应用. B12【答案】【解析】B 解析：f（x）=xlnx-ax2（x0），f（x）=lnx+1-2ax令g（x）=lnx+1-2ax，函数f（x）=x（lnx-ax）有

9、两个极值点，则g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根g（x）= ，当a0时，g（x）0，则函数g（x）在区间（0，+）单调递增，因此g（x）=0在区间（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去当a0时，令g（x）=0，解得x= 令g（x）0，解得0x，此时函数g（x）单调递增；令g（x）0，解得x，此时函数g（x）单调递减当x= 时，函数g（x）取得极大值当x趋近于0与x趋近于+时，g（x）-，要使g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根，则g()=ln 0，解得0a实数a的取值范围是(0，)【思路点拨】f（x）=xlnx-ax2（x0），f（x）=lnx+1-2ax令g（x）=lnx+1-

10、2ax，由于函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点g（x）=0在区间（0，+）上有两个实数根g（x）= -2a= 当a0时，直接验证；当a0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x= 时，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g()=ln 0，解得即可【题文】二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.【题文】13. 已知实数，则的概率为 .【知识点】几何概型. K3【答案】【解析】 解析：即，P=.【思路点拨】本题考查几何概型的长度型问题.【题文】14. 已知函数则满足不等式的的取值范围是 .【知识点】函数的单调性与最值. B3【答案】【解析】 解析：由题意可得

11、1）或2），由1）可得-1x0,由2）可得，综上可得，实数x的取值范围为.【思路点拨】主要考查了一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想.【题文】15.在数列中，已知，记为数列的前项和，则 .【知识点】数列求和. D4【答案】【解析】-1006 解析：由，得，由上可知，数列是以4为周期的周期数列，且，所以【思路点拨】由已知结合数列递推式求出数列前5项，得到数列是以5为周期的周期数列，由此求出答案.【题文】16在中，则的面积为 .【知识点】平面向量的数量积及应用；解三角形. F3 C8【答案】【解析】解析：得=,则=，则，则=【思路点拨】根据题意，由可求得,以及，由数量积公式可得cosA的

12、值，进而结合同角三角函数基本关系可得sinA，再结合面积公式，可得答案.三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】17（本小题满分12分）在直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边为射线(1)求的值；(2)若点分别是角始边、终边上的动点，且，求面积最大时，点的坐标【知识点】三角函数的求值、化简与证明；不等式的综合应用. C7 E8【答案】【解析】(1) (2) 解析：(1)由射线的方程为，可得， 2分故. 5分(2)设. 在中因为， 6分即，所以9 8分当且仅当，即取得等号. 10分所以面积最大时，点的坐标分别为12分【思路点拨】（1）由射线l的方程找出斜率即为的正切值，

13、根据为第一象限的角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin和cos的值，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把所求的式子化简后，把各自的值代入即可求出值；（2）由P和Q的坐标，利用两点间的基本公式表示出PQ2，把PQ的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，且求出ab取最大值时a与b的值，利用三角形的面积公式，由OP的长与Q点的纵坐标乘积的一半即可表示出三角形POQ的面积，把ab的最大值代入即可求出面积的最大值，然后把求出的a与b代入P和Q的坐标中确定出两点坐标【题文】18.（本小题满分12分）2014年“双节”期间，高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中

14、按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：后得到如图的频率分布直方图（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(2)若从车速在的车辆中任抽取2辆，求车速在的车辆恰有一辆的概率.【知识点】随机抽样；古典概型.I1 K2【答案】【解析】 (1) 77.5 (2) 解析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于 2分设图中虚线所对应的车速为，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为 5分 （2）从图中可知，车速在的车辆数为：（辆），6分车速在的车辆数为：（辆） 7分 设车速在的车辆设为，

15、车速在的车辆设为，则所有基本事件有：共15种 10分其中车速在的车辆恰有一辆的事件有：共8种 11分所以，车速在的车辆恰有一辆的概率为. 12分。【思路点拨】（1）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数（2）从图中可知，车速在60，65）的车辆数和车速在65，70）的车辆数从车速在（60，70）的车辆中任抽取2辆，设车速在60，65）的车辆设为a，b，车速在65，70）的车辆设为c，d，e，f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可【题文】19.（本小题

16、满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.【知识点】空间中的垂直关系. G5【答案】【解析】(1) 见解析 (2) 解析：（1）证明：由条件有 平面， 又 是的中点， 平面 由已知，平面 6分（2）8分 10分 点到平面的距离为. 12分【思路点拨】（1）证明AMDCAMSD推出AM平面SDC即可证明SCAM然后利用直线与平面才知道判定定理证明SC平面AMN（2）通过，结合已知条件通过VNACM求解点N到平面ACM的距离【题文】20.（本小题满分12分）动圆过点，且与直线相切，圆心为。(1) 求的轨迹方程，(2) 直

17、线与圆：相切，并与的轨迹相交于两点，以为直径的圆恒过圆的圆心，当值最大时，求直线的方程.【知识点】直线与圆. H4【答案】【解析】（1） (2) 解析：（1）易知的轨迹为顶点在原点，焦点为的抛物线，所以的轨迹方程为. 4分（2）设直线方程为，则有联立 得设则 7分以为直径的圆恒过圆的圆心， 10分 ,当时此时直线的方程为 12分【思路点拨】（1）由题意可得：曲线C为抛物线：y2=4x（2）设直线的方程为y=k（x1），（k0），与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）与抛物线方程联立化为k2x2（2k2+4）x+k2=0可得根与系数的关系，利用焦点弦长公式|AB|=x1+x2+2=+2

18、=36，解出即可【题文】21（本小题满分12分）设函数(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；(2) 当时，的最大值为，求的取值范围.【知识点】导数的应用. B12【答案】【解析】（1） (2) 解析：（1）当时， 所以曲线在点处的切线方程为 4分(2) 令得 6分 当时，在递减，在递增当时， 当即时，在和递减，在递增解得,所以 当即时，在递减, 当即时，在和递减，在递增，解得,所以 当即时，在递增，不合题意 11分综上所述：的取值范围为 12分第（2）问另解：当时的最大值为，等价于对于恒成立，可化为对于恒成立 7分令，则于是在上递增，在上递减，的取值范围是12分【思路点拨】（1）利用a=1，化

19、简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程（2）求出函数的导数，利用导数为0，得到极值点，然后当a1时，当，当，当，当，分别求解函数的单调性推出最值，解得a的取值范围第（2）问另解：f（x）当x0时的最大值为a，等价于f（x）a对于x0恒成立，转化a的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可【题文】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分：【题文】22（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)已知中，外接圆劣弧上的点（不与点重合）,延长至,延长交的延长线于（1）求证：；（2）求证：【知识点】选修4-1 几何证明选讲. N1【答案】【解析】(1)见解析 (2)见解析 解析：(1)证明：、四点共圆2分且,4分5分(2)由(1)得,又,所以