动点问题中的最值最短路径问题

1、专题01动点问题中的最值、最短路径问题动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想(转化思想)，本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法.一、基础知识点综述1 .两点之间，线段最短;2 .垂线段最短；3 .若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PAPB最大，最大值为线段AB的长(如下图所示)P'

2、;4 .最短路径模型(1)单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置.如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.(2)双动点模型P是/AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作PMN周长最小值作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P'、P','连接P'P'与动点所在直线的交点M、N即为所求.5.二次函数的最大（小）值2yaxhk,当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k.二、主要思想方法利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图

3、形解答.（详见精品例题解析）三、精品例题解析例1.（2019凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12,AE=3,点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQLEP,交CD于点Q,则CQ的最大值为D【答案】4.【解析】解：:PQXEP,，/EPQ=90°,即/EPB+ZQPC=90四边形ABCD是正方形，/B=/C=90°,/EPB+/BEP=90°./BEP=ZQPC,BEPACPQ,BEBP，CPCQAB=12,AE=3,BE=9,设CQ=y,BP=x,CP=12-x,(0<x<12)9x.-,12xyx12x当x=6时，y有最大值为4,即CQ

4、的最大值为4.【点睛】此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题.例2.(2019自贡)如图，已知A、B两点的坐标分别为(8,0),(0,8).点C、F分别是直线x=-5和x轴上的动点，CF=10,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E,当ABE面积取最小值时，tan/BAD=()A.B.C.4D.-171799【答案】B.1 【解析】解：&abe=BEOA4BE,2 ,当BE取最小值时，ABE面积为最小值.设x=5与x轴交于点G,连接DG,因为D为CF中点，CFG为直角三角形，一,1-_所以DG=一CD52，.D点的运动轨迹为以G为

5、圆心，以5半径的圆上，如图所示x=-5由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图,x=-5过点E作EH，AB于H,OG=5,OA=8,DG=5,在RtAADG中，由勾股定理得:AD=12,AOEAADG,AOADOEDG10求得：OE=",3由OB=OA=8,得:14BE=,/3B=45°,AB=872172.-.EH=BH=be272,AH=AB-BH=3.tan/BAD=-EHAH7<223L117217,3故答案为B.进而构造以【点睛】此题解题的关键是找到ABE面积最小时即是AD与D的远动轨迹圆相切的时刻/BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长

6、，代入三角函数定义求解例3.（2019南充）如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出结论：点A从点O出发，到点O为止，点E经过的路径长为12天OOAB的面积的最大值为144;当OD最大时，点B在x轴B运动至点D的坐标为2526125.26（填写序号）(,-),其中正确的结论是【答案】.2626【解析】解：根据题意可知：OE=1AB=12,2即E的轨迹为以O为圆心以12为半径的四分之一圆（第一象限的部分）根据弧长公式，得点E的路径长为：里12=6式，故错误；180因为AB=24,当斜边AB上的高取最大值时，

7、OAB的面积取最大值，点O在以AB为直径的圆上（圆心为E）,当OELAB时，斜边AB上的高最大,所以OAB的面积取最大值为：12412=144,故正确；连接OE、DE,得：ODWOE+DE,当O、E、D三点共线时取等号，即OD的最大值为25,如图，过点D作DFy轴于F,过点E作EGy轴于G,即：EGDF,25AFAD5EGAE12，51即：AFEGDF,125设DF=x,在RtAADF中，由勾股定理得:2526x=,26221x2-x25,解得:5在RtAODF中，由勾股定理得:一125、,26OF=26252612526、上国即点D的坐标为（,）,故正确2626综上所述，答案为：例4.（20

8、19天津）已知抛物线2，yxbxc(b、c为常数，b>0)经过点A(-1,0),x轴正半轴上的动点.若点Q（bl,yQ）在抛物线上，当后AM22QM的最小值为翌Y2时,4M（m,0）是求b的值.【答案】见解析.【解析】解：:yx2bxc经过点A（-1,0）,1-1+b+c=0,即yx2bxb1丁点Q(b12.,一,yQ）在抛物线yxbxc上,234，2AM2QM22AMQM2所以只要构造出AMQM即可得到J2AM2QM的最小值2取N(1,0),连接AN,过M作MG±AN于G,连接QM,如图所示,AGM为等腰直角三角形,GM=§AM,即当G、M、Q三点共线时,GM+MQ

9、取最小值，即,2AM2QM取最小值,此时MQH为等腰直角三角形,-bQM=.、历QH=22.2am2QM区AMQM=2233、24QH=MH,联立得:27m=4,b=4.bm=2即当,2AMb=4.,3322QM的最小值为334时,4【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将,2AM"化为24AMQM,进而根据两点之间线段最短及等腰三角形性质求解例5.（2019舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC12cm.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的

10、路径长为cm；连接BD,则ABD的面积最大值为2【答案】24-12、,2;36.224,312,6【解析】解：如图1所示，当E运动至E',F滑动到F'时,过D'作D'GAC于G,D'H，BC交BC延长线于点H,可得/E'D'G=/F'D'H,D'E'D'F',E'D'GZRtAF'D'H,D'G=G'H,D'在/ACH的角平分线上，即C,D,D'三点共线.通过分析可知，当D'EAC时，DD'的长度最大，随后返回初

11、始D点，如图2所示，D点的运动路径为D-D'fD,行走路线长度为2DD'A(E)图2./BAC=30°,AC=12,DE=CDBC=43,CD=DE=6,2,由图知：四边形E'CF'D'为正方形，CD'EF=12,.DD'CD'-CD=12-6T2d点运动路程为2DD'=2412无;ABD'的面积最大，最大面积为:SAABCS正方形E'CF'D'SAAE'D'SABD'F=1438.36.52162126>216、24,362222=36.224.31

12、2.6【点睛】准确利用全等、角平分线判定得到D点的运动轨迹是关键，利用三角函数及勾股定理求解，计算较为繁琐，尤其是利用割补法求解三角形的面积时对学生计算能力要求较高，此题难度较大，新颖不失难度.例6.(2019巴中)如图，在菱形ABCD中，连接BD、AC交于点O,过点O作OH，BC于点H,以O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.(1)求证：DC是圆O的切线；(2)若AC=4MC,且AC=8,求图中阴影部分面积；(3)在(2)的前提下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.【答案】见解析.【解析】(1)证明：过点O作ON，CD于N,AC是菱形ABCD的对角线，AC平分/BCD,OH±BC,ONXCD,.OH=ON,又OH为圆O的半径，.ON为圆O的半径，即CD是圆O的切线.(2)由题意知：OC=2MC=4,MC=OM=2,即OH=2,在RtAOHC中，OC=2OH,可得：/OCH=30°,/COH=60°,由勾股定理得：CH=2.3Sh影二SzOCHS扇形OMH2.3J3(3)作点M关于直线BD的对称点M',连接M'H交BD于点P,PH+PM最小,可知：PM