数值分析习习题与答案

1、欢迎阅读(1)欢迎阅读第一章绪论习题一1.设 xO,x*的相对误差为 8，求 f(x)=ln x的误差限。解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有 珥巧Httx)- g氐“蟲I r(x)iJ(X*)已知 x*的相对误差满足一八二而常W mr 故1 1*1|lnx-lnx*K-I |x-x*伍_L文宀| x - X* | 1S即一I -I -2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数 一一iF/ /:; ) ) J字，并给出其误差限与相对误差限。x*= 1.1021,1；= 0.031X- 560.40解：直接根据定义和式(1.2.

2、2有 5 位有效数字，其误差限 ，相对误差限有 2 位有效数字，- -有 5 位有效数字，2：3. 下列公式如何才比较准确？声+11(1)加1 + X2解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式欢迎阅读欢迎阅读-dx coretan(N + 1) - arctanN1+x欢迎阅读欢迎阅读4.近似数 x*=0.0310,是 3 位有数数字5.计算-取匚-，利用：二一 式计算误差最小第二、三章插值与函数逼近习题二、三亠I| I1. 给定：I的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54 的近似值并估计误差限.解：仍可使用 n=1 及 n=2 的 Lagrange 插值或 Newto

3、n 插值，并应用误差估计（5.8 ）。线性插值时，用0.5 及 0.6 两点，用 Newton 插值In 0.54対-0.620219 + /0 5,0.0 7(0.54 - 0.5)(0.54-0.0 = -0.620219 + (-1 40850) x0.04x (-0.06) = -0.616839四个选项：一，故二次插值时，用 0.5，0.6，0.7 三点，作二次 Newton 插值欢迎阅读欢迎阅读、口|A2W|-3|(x-0.5)U-0 6)(x-0.7)|/llW = tJ3二益伽误差限欢迎阅读欢迎阅读2.在-4Wx4 上给出-的等距节点函数表， 若用二次插值法求的近 似值，要使误

4、差不超过，函数表的步长 h 应取多少？解：用误差估计式（5.8 ），- u r.D：r令- _| ;_| - - :9 1因；-I-以i2Lix10 0.0066得 3. 若 f 閒 T+卅 U1，求出0和几現乳公.解：由均差与导数关系蚀=只+X4+% + 1丿（打=7!丿阖=0工曰/Q冷=1霞 2in于是4. 若了仗）=聲叙=（盂-為）“-可）（工-耳）卡。=0 丄加互异，求 子可內,.的值， fJ I这里 p_吗）（兀一兀件1）1黑&了一戸2（&百札出欢迎阅读欢迎阅读二有-1- . - I11而当 p= n+ 1 时了心心兀】二壬了（馬”心（无）二二1A Pn-r曰/【心內

5、,丹=九p丄1于是得P = n+1U +、H工厂纵一纵5.求证*.解：解：只要按差分定义直接展开得乞比二士3沖-啊)J-0；-0=4_Ay_i_他4+ +為_峡-_二 / 二二N 二二、亠亠I| I6.已知n-的函数表X, 、I”: I / /求出三次 Newton 均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余Ji F/,/) 1 )项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表Kif( (Ki)一阶均差差三阶均差000. 200.201341.00670,300.304521,03180.08967CL 500.521121.08300.170670.17400-J.由式(5.14

6、)当 n=3 时得 Newton 均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得欢迎阅读欢迎阅读f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得I地(0 23)1二/心 S 也，0皿(0羽由I I - : j 21H 欢迎阅读欢迎阅读區(0.23)| 0 033133x 0 23x 0.03 x 0 07 x 0 27 4 32xl0fi7. 给定 f(X)=COSX 的函数表 用 Newton 等距插值公式计算 cos 0.048 及 cos0.566 的近似值并估计误差 解：先构造

7、差分表f (Xi)4W)Aazcvay)A3Z(V7)A5Z(V7)1.00000-0.005000,99500-0.00993-0.014930,000130*98007-0.009800. 00012-Q.024730,00025-0,000020.95534-0.009550.00010-0.034230.00035-0,00001pO?92106-0.009200. 00009-0,04348OQOQ44-0.00870-CLO62240.S5234、丄皆cos 0,048,忑二0.043二01J二 二0.48计算，N4（X0二丛）二 & +峡+ 警垃一1）十警论-1）（；一2

8、） +学f（f一1）心-2）0 - 3）误差估计由公式(5.17 )得|K4(0.048)| I” y I I&求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足p(oj=pxo)=olP(i)=pxi)|=iX?=i解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造二使它满足= 5二况，显然角 GH)，再令p(x)=x2(2 -x)+Ax2(x -1)2由 p(2)=1 求出 A=，于是刀二H2-二;？(兀-卯449. 令称为第二类 Chebyshev 多项式，试求-的表达式，并证明*是-1,1 上带权的正交多项式序列。角军：因J上一- -上2乂4十+ 1.66X+ 2 66x1

9、 21 624)= 0.02534-0.34 x计算一：，.工二时用 Newton 后插公式(5.18)z= 0.566,= 0-6/ =兀毛=-0.34欢迎阅读欢迎阅读sin（n+ 1） arccos jrJl-F10.用最小二乘法求一个形如一的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线 - 5，即-：* = -，故法方程系数4-艺闪 ）二5i-0（眦，亦=5327.（,） = * =7277699i2-0（術 R= 271 4,（） = 369321.5Mi-0法方程为一 _ .- 315+5327Z= 271.4*32花+72776996 = 369321 5ta解

10、得 - -15 r最小二乘拟合曲线为y 11 11: *1均方程为问仁吨 （術= 00150321|=0.122611.填空题JF0,5mnm-n耳（忑）=冲+ 兀+1（孟）=令兀=cos &=J；in（料+1）0111（删 +l）&f日欢迎阅读欢迎阅读满足条件的插值多项式 p（x）=（）.（2）i -,则 f 1,2,3,4 : =（） , f :123,4,5:=（）.欢迎阅读欢迎阅读4设：.-h 为互异节点，为对应的四次插值基函数，则 I 斗工（兀：+2兄（力），一 =（ ）.设肛工匚 7 是区间0,1 上权函数为 P （x）=x 的最高项系数为 1的正交多项式序列，其中

11、r-v _I ,则= （） ,-=（答：欢迎阅读欢迎阅读(1 )戸二d+i）（xT）(2)/U3.4=2iyiU3；45 = 0(3)Z讥(0)=(M +纠=十 +zi-0?-0(4)l,jt=O20心0第 4 章 数值积分与数值微分习题 41.分别用复合梯形公式及复合Simpson 公式计算下列积分.I II岳如=8本题只要根据复合梯形公式（6.11 ）及复合 Simpson 公式(6.13 )直接计算即可。对，,取 n=8,在分点处计算 f（x）的值构造函数表。按式（6.11 ）求出-二，按式（6.13 ）求得丄，积分欢迎阅读欢迎阅读2. 用 Simpson 公式求积分，并估计误差解：直接

12、用 Simpson 公式（6.7 ）得（摩7必岗*（1 + 4丁耳+） = 063233由（6.8 ）式估计误差，因 *7 ：-，故180A23. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.亠“ - （3）匸、加 |三解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数（1 ）令rwr 代入公式两端并使其相等，得A+B + C=严1EH、+ C =2I -二01&? + C =-3. - .；14,，X - A - B C -解此方程组得，1_-； 一，于是有打 S 如存（o）+ |熄+”（i）和、4f （）* + =再令 Ax） =

13、X4，得h3 2& 24故求积公式具有 3 次代数精确度。（2 ）令一-代入公式两端使其相等，得欢迎阅读欢迎阅读也+4o也=4A* A_Y/J)= 0 T +J4J= 04.i(-A)a+裁=|(2i)3f爭Q4解出I 得f:屜匸靱(一研而对厂不准确成立，故求积公式具有3 次代数精确度。(3)令: -代入公式精确成立，得月+月=2必一卞p - hA + Bx= 0. .+= -V. 1 (I)3xlO56.46xl04即X1A-门二二取 n=255 才更使复合梯形公式误差不超过5. 用 Romberg 求积算法求积分： ，取：解：本题只要对积分使用 Romberg 算法(6.20 )，

14、计算到 K= 3,结果如下表所示fk06 68394010.6452350.63233320.6354100.6321360.63212230.6329490.6921210.6321200.632120于是积分 匚,积分准确值为 0.7132726.用三点 Gauss-Legendre 求积公式计算积分解：本题直接应用三点 Gauss 公式计算即可X = ft + 1)由于区间为，所以先做变换二欢迎阅读欢迎阅读于是1- x2exdx =本题精确值:：& 用三点 Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分_-11解：本题直接用 Gauss-Chebyshev 求积公式计算右 T

15、亡即-|7/于是丁,抵二匚 X 竺1怎北=0工26，因 n=2,即为三点公式，于是即 T十 1丄+丄-2.6304113故8.试确定常数 A, B, C,及 a,使求积公式- 4AT +型十労有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少是否为 Gauss 型的求积公式？解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令-1 人公式精确成立，得到欢迎阅读欢迎阅读欢迎阅读欢迎阅读A + B + Cdx=4-必+心Jj如。a2A+a2C =必=$ + (7 = 0（2）（4）由（2） （ 4）得 A=C 这两个方程不独立。故可令、：得(5)02_10 16由（3） （ 5）解得一.

16、代入（1）得.j/_- 则有求积公式 仃（如孰一月+学（。）+利用- I一.X令公式精确成立，故求积公式具有 5 次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为 5 次，故它是 Gauss 型的。第五章 解线性方程组的直接法习题五1.用 Gauss 消去法求解下列方程组c- i Ix. += 9415265欢迎阅读欢迎阅读解本题是 Gauss 消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式 直接计算即可。欢迎阅读欢迎阅读111.X,十一花+ x, = 9 4152631 1 ,_ 一一 & = T60245313一g = -154x153 = -177.69x2= -60(-4 +右眄=

17、476.92挤=4(9-1-1)227 08故 _2.用列主元消去法求解方程组列式 detA 的值解：先选列主元,2 行与-183-1-15112- 33151116 消元3 行与 2 行交换12xt-3z-j + ?心T5卜18不1 + 3叼+坯=_于兀1+左+左=6行交换得-18_731718-15.31T并求出系数矩阵A 的行1-1-183-1-15-183-1-150717310717 316187618 67350722 660-1消兀6T回代得解行列式得7 22det= Tg一 = -666 7欢迎阅读欢迎阅读12111126A =241221k =251546733161546解

18、：A 中，若 A 能分解，一步分解后，工 二_ ：11 ! - . + -，一 . / I I相互矛盾，故 A 不能分解，但- ，若 A 中 1 行与 2 行交换，则可分解为 LU对 B，显然 ，但它仍可分解为1111 -8 =2 100-1.3切1_00切-2_分解不唯一，：为一任意常数，且 U 奇异。C 可分解，且唯3.用 Doolittle分解法求解：由矩阵乘法得14A= LU一1 32-36再由亠-求得厂（9T厂1对由-解得A= (-227.08.476 92-177.69/4.11561 160451315下述矩阵能否作 Doolittle的解.分解，若能分解，分解式是否唯欢迎阅读欢

19、迎阅读1 1 2 6_0=2 11363 1_1 _解：用分解直接算得4L= 12.、一2-33由二及* - 求得_7=(-126)兀=(一学4,2)7.设-证明 卜 L-kL - /讥解：就=瞬皆|詔心十十 4 怵 即二，另一方面卜 II；“+盂;+* 3 翻忖卜机 故 JAI-2-10001-12-10000-12-10戈=000-12-10000-120A5.用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中解：用解对三角方程组的追赶法公式(3.1.2.34561 1 1_门2 1 1 1r丿7亍亍亍歹&八6 3 2 3 6J6. 用16445S-4P91-48-422B10aJ欢迎阅读欢迎阅

20、读0.60.5y1计计算 A 的行范数，列范数及F-范数和 2 范数x|4 = 0 8jp4|F= 731 = 0 84故制工二J0.68534二0.82785L=1A =9. 设解: -IA=0.37 0.330 33 0 34= 0.68534证明II jll _max画丽rH令一，因 P 非奇异，故 x 与 y 为一对一，于是K七1训=昨|10.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计,40-179卫40-179.5MH即一-319.52400.1I240-319-0-0.5-/二-179240 _1劃二-0.50_则丄的解二 厂， 故讣*而二 f 为-的解I.AI 厂-i.r即QA

21、十氏4)(兀十=b解: 记欢迎阅读欢迎阅读10 .设工为上任一种范数，卜是非奇异的，定义-I ,阀 TFT证明：根据矩阵算子定义和 丨 L 定义，得IPAPPA欢迎阅读欢迎阅读IK =05JKILMt= 0 56012由（3.12 ）的误差估计得圖L幻刃钿L“ID表明估计虽 L略大，是符合实际的。11.是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）:题目中 I1I /._IX ,= ）（1 ）若 A 对称正定，:则 丄是上的一种向量范数（）（2） 定义rriaX是一种范数矩阵（）a（3） 定义風 2 严是一种范数矩阵（）（4） 只要，则 A 总可分解为 A=LU,其中 L 为单位下三角阵，U 为非一

22、. / I I奇上三角阵（）（5） 只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解 （）（6） 若 A 对称正定，则 A 可分解为匸“，其中 L 为对角元素为正的下三 角阵（）1240499 1793192403(机步IL IK= 626.2IKHL0.56012i-cw(&“IMLW0.439881.274欢迎阅读欢迎阅读答案:(1)( + )( 2)(-)( 3)( + )( 4)(-)（7）对任何- 都有ll（）（8）若 A 为正交矩阵，则-； J|-（）(5)( + )( 6)( + )( 7)( )( 8)( + )第六章解线性方程组的迭代法习题六1.证明对于任意的矩阵 A,序列：

23、- 丫 收敛于零矩阵解：由于 10 口 K 而匕冷阀故2.方程组了 巧 +2X2+= -12-开1 + 4兀2斗2帀=20 2心 -3.X2+10X3=3(1)考查用 Jacobi 法和 GS 法解此方程组的收敛性(2)写出用 J 法及 GS 法解此方程组的迭代公式并以八计算到 I 严-門存叩为止521_A= -142解：因为 b-3卩一 . / 1 |*1 I具有严格对角占优，故 J 法与 GS 法均收敛。(2) J 法得迭代公式是X严= *(12十胡十即) 眉旳詁(20 +护-2孕)x严二丄(3-2申+%护)卞=0丄(欢迎阅读欢迎阅读取E，迭代到 18 次有欢迎阅读其迭代矩阵欢迎阅读严=(

24、-3.999996,2.999974,1.99999)J|xcl7)-x(ie3|L F必I由f?得 GS 法收敛得充要条件是6.用 SOR 方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）._ 1 1r e精确解，要求当：一1时迭代终止，并对每一个3值确定迭代次数解：用 SOR 方法解此方程组的迭代公式为0aio0100_ b0_ b,det(-U R)= A abTo101010aa000 -2555二成B)=10故 J 法收敛的充要条件是!L| 100恥亍。GS 法迭代矩阵为10 0 0_0 a 0G = b 10 000 -b0 a 50 0 0 J010b而a V 5001io

25、a500 -c0 00 00-b0b101 a b7L 50-2) = 0100 *-1欢迎阅读沖叫妙申+扌（1+铲） 屮=（1 亦字+扌（4+严+幼 护=（血）晋）+专（J +护）“01取,当时，迭代 5 次达到要求严二（0.5000043,1 0000002-0 4999995）r若取工-一.：，迭代 6 次得= (p.5000035A99989-0.5000003)r7.对上题求出 SOR 迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J 法;一_亠I_0Z /与 GS 法的渐近收敛速度.若要使卩-於 11小旷那么 J 法 GS 法和 SOR法各需迭代多少次？解：J 法的迭代矩阵为2 2劭=,

26、-=1 03337l + Jl-p3)f + gJ 法收敛速度R（B）= -In p（B）=J# = 1.03972由于，：-T，故欢迎阅读（小二泸，因 A 为对称正定三对角阵，最优松弛因01 ,det(2Z-) =0014欢迎阅读欢迎阅读R Cq.-fa3.4001.=15 425.14.S5w对于 J 法.-i |，取 K= 15对于 GS 法*，取 K= 88.填空题10引要使fc=o 应满足（）法的迭代矩阵是（）門卜*山勾 M,a 为实数.当 a 满足（），且 Ov3 v 2 时 SOR 迭代法收敛.若要求10_IK）L=5X10_于是迭代次数对于 SOF 法崗土二竺生心二I ，取 K

27、= 5是否收敛1 2 0.321! ，则解此方程组的 Jacobi 迭代法（）.它的渐近收敛速度R(B)=().设方程组 Ax=b,其中2 -11其 J法的(4)要条件是用 GS 法解方程组a 满足（）.其中 a 为实数，方法收敛的充(5)1给定方程组卜已知方程组欢迎阅读欢迎阅读(1)I(2)J 法是收敛的，R&) = (-In #3) = _lnQ= Q.223)_ nn_(3)J 法迭代矩阵是孑 丄 GS 法迭代矩阵L 3满足(5)也满足制 cl第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程1的正根，使误差小于0.05I I解使用二分法先要确定有根区间。本题 f(x)=x2-x-1=0, 因f(1)=-1,f(2)=1, 故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。N务bn為F(坯)符号0121.511 521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-4L56251 251.53375-|其误差；- 二2.求方程J在=1.5 附近的一个根， 将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式X -