重庆中考数学24题专题

1、重庆中考几何、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1如图，在直角梯形ABCD中，AD/ BC,/ABC=90,E为AB延长线上一点，连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点， 且/BEH玄HEG(1)若HE=HG求证：EBHAGFC(2)若CD=4 BH=1,求AD的长.(1)证明：HE=HG/HEG2HGE-/HGE2FGC/BEH2HEG/BEH玄FGCG是HC的中点，HG=GCHE=GC-/HBE玄CFG=90.EBHAGFC(2)解：过点H作HI丄EG于I, G为CH的中点，HG=GC/ EF丄DCHI丄EF

2、,/HIG=ZGFC=90,/FGC=z HGI,GIHAGFC/EBHAEIH(AAS,FC=HI=BH=1AD=4-1=3.2、已知，RtABC中，/ACB=90，/CAB=30.分别以AB AC为边，向形外作等边厶ABD和等边ACE(1) 如图1,连接线段BE、CD求证：BE=CD(2) 如图2,连接DE交AB于点F.求证：F为DE中点.证明：(!)-ABDDACE是等边三角形， AB=AD AC=AE/DAB玄EAC=60,/DAB+ZBAC=/ EAC+ZBAC即/DACMBAE在厶DACnBAE中，AC=AEZDACZBAE AD=AB,DACABAE( SAS,DC=BE(2)如

3、图，作DG/ AE,交AB于点G,由ZEAC=60，ZCAB=30得：ZFAE=ZEAC+ZCAB=90, ZDGFZFAE=90,又TZACB=90, ZCAB=30, ZABC=60,又ABD为等边三角形，ZDBG=60,DB=ABZDBGZABC=60,在厶DGB ACB中,ZDGBZACBZDBGZABC DB=ABDGBAACB( AAS,DG=AC又AEC为等边三角形，AE=ACDG=AE在厶DGFDEAF中，ZDGFZEAFZDFGZEFA DG=EADGFAEAF(AAS,DF=EF即F为DE中点.3、如图，在直角梯形ABCD中，AD丄DC,AB/DC,AB=BC,AD与BC延

4、长线交于点F,G是DC延长线上一点，AG丄BC于E.(1) 求证：CF=CG;(2) 连接DE, 若BE=4CE,CD=2, 求DE的长.解答：(1)证明：连接AC,/ DC/AB,AB=BC, Z1 =ZCAB, ZCAB=Z2,/1 =/2;/ADC=/AEC=90 ,AC=AC, ADCAEC,CD=CE;/FDC=/GEC=90。，/3=/4,FDCGEC,CF=CG.(2)解：由(1)知，CE=CD=2,BE=4CE=8,AB=BC=CE+BE=10,在RtABE中，AE= AB2-BE2=6,在RtACE中,AC= AE2+CE2=2 . 10由(1)知，ADCAEC,CD=CE,

5、AD=AE,C、A分别是DE垂直平分线上的点，DE丄AC,DE=2EH; (8分)11在RtAEC中，SAEC= AE?CE= AC?EH,224、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ,DP丄CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;求证：(BCQCDP;(2)OP=OQ.证明：四边形ABCD是正方形， /B=/PCD=90 ,BC=CD,/2+/3=90,又DPICQ, /2+/1= 90, / 仁 /3,在厶BCQ和厶CDP中，/B=/PCD BC=CD/1 =/3 BCQCDP.AE CEAC_ 6 2203 105DE=2EH=2x3.106

6、.105=5BCDCAB(2)连接OB.由(1) : BCQCDP可知：BQ=PC,四边形ABCD是正方形，/ABC=90 ,AB=BC,而点0是AC中点，11二B0=AC=CO/4= /ABC=45=/PCO,22在厶BCQ和厶CDP中，BQ=CP/4=/PCO BO=CO BOQCOP,OQ=OP.5、在等腰梯形ABCD中,AD/ BC AB=AD=CDZ ABC=60 ,延长AD到E,使DE=AD延长DC到F,使DC=CF连接BE、BF和EF.求证：ABEACFB;如果AD=6,tan/EBC的值.解：(1)证明：连结CE,在BAE与FCB中，/ BA=FC,ZA=ZBCF,AE=BC,

7、BAEAFCB(2)延长BC交EF于点G,作AbUBG于H,作AMLBQ/BAEAFCBAEB=Z FBQ BE=BFBEF为等腰三角形,又: AE/BC,/AEB=/ EBQEBG=/ FBQBGL EF, v/AMGMEGMAEG=90,四边形AMGE矩形,AM=EGJ3L在RtABM中,AM=ABsin60=6X=3 3,2BG=BM+MG=62+6Xcos60=15, tan/EBC=BGEG=AM3j3,1556、如图，在梯形ABCD中 ,AD/ BC,/C=90,E为CD的中点，EF/AB交BC于点F(1) 求证：BF=AD+CF(2)当AD=1, BC=7且BE平分/ABC时,求

8、EF的长.(1)证明：如图(1),延长 AD 交 FE 的延长线于 Nv/NDE=/FCE=90/ DEN= / FECDE=ECDN=CFvAB/FN,D N EAN / BF 四边形 ABFN 是平行四边形/ BF=AD+DN=AD+FC(2)解：TAB / EF,./ ABN= / EFC，即/ 1+ / 2= / 3，又：广2+ / BEF= / 3,二/ 1= / BEF，二 BF=EF ,:1= / 2,二/ BEF= / 2，二 EF=BF，又: BC+AD=7+1/ BF+CF+AD=8而由(1 )知 CF+AD=BF/ BF+BF=8/ 2BF=8，/ BF=4，二 BF=E

9、F=4图7、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若/E=60，且AE=8时，求梯形AECD的面积.(1) 证明：连接BF/ ABCD为矩形 AB丄BC AB丄AD AD=BCABE为直角三角形TF是AE的中点AF=BF=BE/ FAB= / FBA/ DAF= / CBFTAD=BC,/DAF=/CBF ,AF=BF , DAFCBF/ ADF= / BCF/ FDC= / FCD/ FGH= / FHGFG=FH;(2) 解：TAC=CE/E=60 ACE为等边三角形CE=AE=8TAB

10、丄BC.4_D1BC=BE=CE=42.根据勾股定理AB=4.311一 l.梯形AECD的面积=x(AD+CE)xCD= x(4+8)x 4、3=24. 322/ AD/BC,AB/DF,.AD=BF, /ABC=/DFC.在RtDCF中，/tan/DFC=tan/ABC=2,.CD=2,CF即CD=2CF,/ CD=2AD=2BF,.BF=CF,11 BC=BF+CF= CD+ CD=CD.22即BC=CD.(2)vCE平分/BCD, /BCE=/DCE,由(1) 知BC=CD,/CE=CE,BCEDCE,BE=DE,由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG,DE=DG,C,D都在EG的垂直

11、平分线上，CD垂直平分EG.(3)连接BD,由(2)知BE=DE, /1 =/2./AB/DE,8如图，直角梯形ABCD中，AD/BC, /BCD=90作DE/AB，交/BCD的平分线于点(1)(2)(3)证明：，且CD=2AD,tan/ABC=2，过点DE,连接BE.求证：BC=CD；将厶BCE绕点C，顺时针旋转 延长BE交CD于点P.求证:（1）延长DE交BC于F,90 得到DCG,P是CD的中点.连接EG.求证：CD垂直平分EG; /3=/2./1 =/3./ AD/BC，/4=/DBC.由(1)知BC=CD， /DBC=/BDC， /4=/BDP. 又BD=BD, BADBPD(ASA

12、)DP=AD.TAD=1CD , DP=CD . P是CD的中点.2 29.(2011南岸二诊)如图，已知点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF丄DP, 交AB于点E， 交CD于点G， 交BC的延长线于点F， 连接DF.(1)若DF =3,2，求DP的长;(2)求证：AE二CF.解答：(1)证明：连接BE,梯形ABCD中，AB=DC, AC=BD，可证ABCDCB， /GCB=/GBC, 又/BGC=/AGD=60AGD为等边三角形，(2)解：TBE BCG的中线，BE丄AC,在RtABE中，EF为斜边AB上的中线,EF= AB=5cm.210.如图，正方形CGEF勺对角线CE在

13、正方形ABCD的边BC的延长线上(CG BC) ,M是线段AE的中点，DM勺延长线交CE于N.(1)线段AD与NE相等吗？请说明理由;(2)探究：线段MD MF的关系，并加以证明.11、如图，梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC=10cm, 分别为CG、AB的中点.(1) 求证：AGD为正三角形；(2) 求EF的长度.E、F12、如图，梯形ABCD中，AD/BC,DE=EC,EF/AB交BC于点F,EF=EC，连接DF.(1) 试说明梯形ABCD是等腰梯形；(2) 若AD=1，BC=3，DC=，试判断DCF的形状；(3)在条件(2)下，射线BC上是否存在一点卩，使厶PCD是等腰三角形，若存在

14、，请直接 写出PB的长；若不存在，请说明理由.解答：解：(1)证明：EF=EC,./EFC=/ECF,vEF/ABB=/EFC,/ B=/ECF,梯形ABCD是等腰梯形；(2) DCF是等腰直角三角形，证明：vDE=EC,EF=EC,EF= CD,2 CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形)，v梯形ABCD是等腰梯形，CF=(BC-AD)=1,vDC=匚，2由勾股定理得：DF=1DCF是等腰直角三角形；(3)共四种情况：vDF丄BC,当PF=CF时，PCD是等腰三角形，即PF=1, PB=1；当P与F重合时，PCD是等腰三角形，PB=2；当P

15、C=CD=2(P在点C的左侧)时，PCD是等腰三角形，PB=3- _； 当PC=CD=匚(P在点C的右侧)时，PCD是等腰三角形，PB=3+匚.故共四种情况：PB=1,PB=2,PB=3-V7, PB=3+二(每个1分)13.在梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD，且DE丄AD于D，/EBC=/CDE,/ECB= 45 求证：AB=BE；延长BE,交CD于F.若CE=、,2,tan/CD E=-，求BF的长.13.证明：延长DE,交BC于G.vDE丄AD于D, /ADE=90又AD/BC,DGC=/BGE =/ADE=90而/ECB=45 ,EGC是等腰直角三角形，EG=CG在厶BEG和厶D

16、CG中，EBG CDG #EGB = CGDEG二CGBEGDCG (AAS)BE=CD=AB由(1)知CF二CG.BF CF =DC CG,即：BC二DG连结BD/EBC=/CDE EBC +/BCD =/CDE+/BCD=90,即/BFC=90CG _ 1 DG 3BEGDCG,BG=DG= 3.BE f；BG2EG2CD=BE=.1011BCLDG CD_BF,22 -10LBFBF二605EFB =90：45；=45. CFG =45：AD/BC, ADC =90. FCG =90”.FCG =45, CF二CG(2)连接AF,EF是AB的中垂线AF = BF ,FE _ AB AFE

17、=/BFE=45AFB =90AFBDCBAF/CD, AD/BC AF=DC, BF = DC法二：经探索得,BEGs BFC,BEBGBCBF103- BF五BF/BC, ADC= 90；,. ABC =45；, AB的垂直平分线EG14如图，直角梯形ABCD中，ADG.求证：（1）CF证明：(1) -EF _ AB, B = 45=CG;(2)BC =DG.1/ CE= .2,EG=CG= 1又tan/CDE=_,3, DG=3二,10D4分FBCEGBF C.CBD的平分线相交于点E，连接AE 交 BD 于 F,连接GE。、有关“截长补短”题型1、在L ABCD中，对角线BD _BC,

18、G 为 BD延长线上一点且- ABG为等边三角形，BAD、(1)若2:解:(2)证明：过F作FH丄AE于H/ AF平分/DAE，/D=90 ,FH丄AE,.AHF ADF(HL).又DF=FC=FH,FE为公共 AH=AD,HF=DF.FHE FCE. AE=AH+HE,AH=AD=CD,HE=CE,3.如图，直角梯形ABCD中，AD/BC,ZB=90 ,/D=45 .(1)若AB=6cm，求梯形ABCD的面积;ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH,AH_D(2)若E、F、G、H分别是梯形A_北DB24趙囹2.如图，在正方形ABCD中,F是CD的中点，E是BC边上的一点，

19、且AF平分/DAEBC(1)EF二.CE2CF h 1222/DAF=/EAF,在厶AHF与厶ADF中, AF为公共边，/DAF=/EAF,FH=FD分析：(1)连AC,过C作CM丄AD于M，在RtABC中，利用三角函数求出BC,在RtCDM中，/D=45利用等腰直角三角形的性质得到DM=CM=AB=6， 则AD=6+8=14， 然后根据梯 形的面积公式计算即可；(2)过G作GN丄AD，贝U DN=GN，由AD/BC,得/BFH=/FHN，而/EFH=/FHG，得 到/BFE=/GHN，易证RtBEF也RtNGH，贝U BE=GN,BF=HN，经过代换即可得到结论.解答： 解： (1)连AC,

20、过C作CM丄AD于M， 如图，在RtABC中，AB=6,sin/ACB=丄=三AC 5 AC=10, BC=8,在RtCDM中，/D=45DM=CM=AB=6,AD=6+8=14,2梯形ABCD的面积=?(8+14)?6=66(cm);2(2)证明：过G作GN丄AD，如图，/D=45 DNG为等腰直角三角形，DN=GN,又AD/BC, /BFH=/FHN,而/EFH=/FHG, /BFE=/GHN,/EF=GH,RtBEF也RtNGH,BE=GN,BF=HN,DH=HN+DN=HN+NG=BF+BE.4、如上图，梯形ABCD中，AB/CD,AD=DC=BC, /DAB=60,E是对角线AC延长

21、线上 一点，F是AD延长线上的一点，且EB丄AB,EF丄AF.(1) 当CE=1时，求BCE的面积；(2) 求证：BD=EF+CE.考点：梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理。专题：计算题。分析：(1)先证明/BCE=90，/CBE=30, BCE为直角三角形，又CE=1，继而求出BE的 长，再根据三角形的面积公式求解即可；(2)过E点作EM丄DB于点M， 四边形FDME是矩形，FE=DM，/BME=/BCE=90, /BEC=/MBE=60, BMEECB,BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE.解答：(1)解：AD=CD, /DAC=/DCA,接ED过D作DF丄BC于F.(1

22、)若.BEC =75；, FC =3，求梯形ABCD勺周长.(2)求证：ED二BE FC;5解：；BEC =75 ABC -90，?ECB =15V ECD =45：DCF =60在Rt DFC中：DCF =60；,FC =3.DF -3.3, DC =6由题得，四边形ABFD!矩形 DC/AB, /DCA=/CAB,-*-,I ， DC/AB,AD=BC, /DAB=/CBA=60,ZACB=180-(ZCAB+ZCBA)=90,/BCE=180-ZACB=90, BE丄AB, ZABE=90, ZCBE=ZABE-ZABC=30,在RtBCE中,BE=2CE=2，:丁.,SARI却OCE二

23、舟XIX(2)证明：过E点作EM丄DB于点M,四边形FDME是矩形， FE=DM, ZBME=ZBCE=90, ZBEC=ZMBE=60, BM=CE,BD=DM+BM=EF+CE(10分)5.已知，如图,AD /BC, . ABC =90：, AB =BC，点E是AB上的点,.ECD = 45；，连(5分).AB：ABBCBF二DF =3、.3-BC=3、3二BC FC =3、3 -3=DF =3,3-3C梯形ABCD= 3、3 3,3 6 3、3 - 3 = 9、3 3延长EB至G,使BGCF,连接CG：BGC 二 DFC, =/272DCF =90. . 1. DCFA=906.如图，正

24、方形ABCD的对角线相交于点的平分线上一点，且BF丄CF与CO相交于点M.点(1)若OF=4，求FG的长;（2）求证：BF=OG+CF.:DCE6. （1）解：TCF平分/OCE,ZECG/OCF=/ECF. DCE=45=45ECG沁DEC EGC又/OC=CG, CF=CFED= EGOCFGCF:ED二.BEFC FG =OF=4,O.点E是线段DO上一点，连结CE.点F是/OCE24题图（1分）（3分）即FG的长为4.（4分）D/BOC=90,/OCB=180 上BOC /DBC=45./OCB=/DBC.OB=OC. .（6分）/ BF丄CF,/BFC=90./OBH=180ZBOC

25、 ZOMB=90 上OMB,/OCF=180ZBFC ZFMC=90ZFMC,且ZOMB=ZFMC,ZOBH=ZOCF . .（7分）OBHOCF.OH=OF,ZBOH=ZCOF . .（8分）vZBOH +ZHOM =ZBOC=90,ZCOF +ZHOM =90 即ZHOF=90.ZOHF =ZOFH=1（180ZHOF）=45.2ZOFC =ZOFH +ZBFC=135./OCFGCF,ZGFC =ZOFC=135,ZOFG=360ZGFCZOFC=90.ZFGO =ZFOG=1（180ZOFG）=45.2ZGOF =ZOFH, ZHOF =ZOFG. OG=FH.(9分)OG/FH,OH

26、/FG,四边形OHFG是平行四边形. OG=FH.(9分)BF=OG+CF.7、如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE _ DP交DP的延长线于点E,连接AE，过点A作AF _ AE交DP于点F，连接BF。（1）若AE =2，求EF的长;（2）求证：PF = EP EB。E在AB上，点F在BC上，并且EF/DC。若AD=3,CG=2，求CD;1若CF=AD+BF，求证：EF= CD.28. （1）解：连接BD/AD/ BC,/ABC=9 0, DG丄BG.四边形ABGD是矩形AB=DG BG=AD=3.BC=3+2=5/ BH丄DC,CH=DH, BD=BC=5在R

27、tABD中,AB=.52-32=4DG=4在RtCDG中,CD= .4222= 2 .5. 5分(2)证明：延长FE、DA相交于M. 6分EF/DC, AD/CF四边形CDMF是平行四边形CF=MD8.如图，在梯形ABCD中，AD/ BC,/ABC=9 0DGL BC于G,BH丄DC于H,CH=DH,点/BF=FH OG=FH.(9分)CF=AD+BF, MD=AD+AMAM=BFAM/BF/M=/BFE又T /AEM=/BEF1AEMm BEF.8分ME=EF MF21 “MF=CDEF= CD29、正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，.EAF=45。请问现在EF、DE

28、 BF又有什么数量关系？ 变形a解：(简单思路)解：数量关系为：EF= BF-DE.理由如下： 在BC上截取BG使得BG=DF连接AG由四边形ABCD是正方形得/ ADE= ABG=9(，AD=AB又DE=BG. .：ADE三.:ABG(SASN EAD*GAB AE=AG，由四边形ABCD是正方形得DAB=9C?=DAG+三GAB三兰DAG+ EAD= GAE. GAF= GAE-. EAF=90O-450=450.GAF= EAF=45o又AG=AE AF=AFEAF二:GAF ( SASEF=GF=BF-BG=BF-DE解： (1)作PM丄BG于M. /BG丄CD , PF丄CD,PM丄

29、BG， 四边形PMGF为矩形，PF=MG./ ABCD是等腰梯形，/ABC=/C . PM丄BG,CD丄BG, PM/CD./MPB=/C=/EBP.又/BEP=/PMB=90 ,BP=PB,BEPPMB, PE=BM. PE+PF=BM+MG=BG;(2)过点D作DN/AB交BC于点N.则ABND是平行四边形，DN=AB=DC=4.vBC=6,AD=4,NC=4. DNC是等边三角形，/C=60 .BG=BC ?sin60=6X32=33.10、如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB=CD,BG丄CD于点G.(1) 若点P在BC上，过点P作PE丄AB于E,PF丄CD于F,求证：PE+P

30、F=BG.(2) 若AD=4,BC=6,AB=2，求BG的长.四边形CDMF是平行四边形(2)11、正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，.EAF=45。12、 已知梯形ABCD中，AD/BC,AB=BC=DC， 点E、/BCD.(1)求证：BF=EF-ED;(2)连接AC,若/B=80。，/DEC=70，求/ACF的度数.(1)证明：TFC=FC,EC=EC,ZECF=ZBCF+/DCE=/ECF,.AFCEFCE,EF=EF=DF+ED,ABF=EF-ED;(2)解：/AB=BC，/B=80, /ACB=50 ,由(1)得/FEC=ZDEC=70ECB=70而/B=/B

31、CD=80 ,/DCE=10 ,/BCF=30 ,/ACF=/BCA-/BCF=20 .13.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG丄AP于点G,在AP的延长线上 取点E,使AG=GE，连接BE,CE.(1) 求证：BE=BC;_(2)ZCBE的平分线交AE于N点，连接DN，求证:“ 皿 总 3(3) 若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为请问现在EF、DE BF又有什么数量关系?:厶GAQ= EGA= EQA=9(f四边形AGEC为矩形，EQ=AG=AD-EF, EQ/AG(1)证明：TBG丄AP,AG=GE， 二BG垂直平分线段AE， 二AB=BE， 在正方形

32、ABCD中，AB=BC，二BE=BC;(2) 证明：AB=BE,/BAG=/BEG，vBG丄AP，/ABC=90,二/BAG=/PBG=/BEG，vBN为/CBE的平分线，二/EBN=/CBN，/-ZPBG+/CBN=/EBN+ZBEG，即ZBNG=ZNGB=45BNG是等腰直角三角形，BN=型GN，连接CN、AC,则ZCNE=2(ZEBN+ZBEG)=90,又ZADC=90，/A、D、C、N四点共圆，/ZCND=ZCAD=45，/ZAND=45，过D作DM丄AE于点M，则DNM为等腰直角三角形， /DN=说DM，vZDAM+ZADM=90，ZDAM+ZBAG=90，/ZADM=ZBAG，在A

33、BG和厶DAM中，ADM = BAGAMD= AGBi厂，/ABG DAM(AAS)，/AG=DM，/BN+DN=抑GN+拥AG=脸(GN+AG)=为AN;,.- 6=2X1(3) 根据勾股定理，AP=宀 宀=*+=-.，/BG=厂=-，vBP=PC，ZBGP=ZCNP=90BPG CNP(AAS)，/CN=BG，/CE= 2V5 2VK一CN= -X一=14、正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O,点E在BD上,AE平分乙DAC求证：AC/2=AD-EO过E作EG_ AD于G：四边形ABCD是正方形(2)解：(简单思路)Z ADC=96,BD平分N ADC AC丄BD.N ADB=Z ADC/2=45/AE平分.DAC EO_AC, EG_ADEAO= EAG .DGE= AOE= AGE=9(f又AE=AE .：AEQ .：AEG (AAS二AG=AQ EO=EG又N AD